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第一节任意角和弧度制及任意角的三角函数

1．角的概念 (1)分类
(2)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．
2．弧度的定义和公式
(1)定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.
(2)公式：①弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度；②弧长公式：l＝|α|r；③扇形面积公式：S扇形＝lr和|α|r2.
3．任意角的三角函数
(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，则sin α＝y，cos α＝x，tan α＝(x≠0)．
(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．
如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线，余弦线和正切线．

考点一
角的集合表示及象限角的判定
1.给出下列四个命题：①－是第二象限角；②是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角．其中正确的命题有______个．
2．终边在直线y＝x上的角的集合为________．
3．在－720°～0°范围内找出所有与45°终边相同的角为________．
4.设集合M＝，N＝，那么集合M，N的关系是______．

考点二
三角函数的定义
[典例]　(1)已知角α的终边上一点P的坐标为，则角α的最小正值为______．
(2)已知α是第二象限角，其终边上一点P(x，)，且cos α＝x，则sin＝________.
[针对训练]已知角α的终边在直线y＝－3x上，求10sin α＋的值．

考点三
扇形的弧长及面积公式
[典例]　(1)已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角．
(2)已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形面积最大？

若本例(1)中条件变为：圆弧长度等于该圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数是________.
[针对训练]已知扇形的圆心角是α＝120°，弦长AB＝12 cm，求弧长l.

[课堂练通考点] 1．如图所示，在直角坐标系xOy中，射线OP交单位圆O于点P，若∠AOP＝θ，则点P的坐标是________．

2．已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是________．
3．已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a的取值范围是________．
4．在与2 010°终边相同的角中，绝对值最小的角的弧度数为________．
5．(2014·南京期末)已知角α 的终边经过点P (x，－6)，且tan α＝－，则x的值为________．
6．(2014·扬州质检)已知sin α＝，且α∈，则tan α＝______.
[课下提升考能]第Ⅰ组：全员必做题
1．将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是______．
2．已知cos θ·tan θ<0，那么角θ是第________象限角．
3．已知角α和角β的终边关于直线y＝x对称，且β＝－，则sin α＝______.
4．点P从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q点的坐标为________．
5．给出下列各函数值：①sin(－1 000°)；②cos(－2 200°)；③tan(－10)；④，其中符号为负的是________(填写序号)．
6．在直角坐标系中，O是原点，A(，1)，将点A绕O逆时针旋转90°到B点，则B点坐标为__________．
7.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，角α的终边与单位圆交于点A，点A的纵坐标为，则cos α＝________.
8．设角α是第三象限角，且＝－sin，则角是第________象限角．
9．一个扇形OAB的面积是1 cm2，它的周长是4 cm，求圆心角的弧度数和弦长AB.

10．已知sin α<0，tan α>0. (1)求α角的集合； (2)求终边所在的象限；
(3)试判断tansincos的符号．

第Ⅱ组：重点选做题
1．满足cos α≤－的角α的集合为________．
2．如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P的位置在(0,0)，圆在x轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于(2,1)时，的坐标为________．

第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式

1．同角三角函数的基本关系式
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1(α∈R)． (2)商数关系：tan α＝.
2．六组诱导公式
角
函数　
2kπ＋α(k∈Z)
π＋α
－α
π－α
－α
＋α
正弦
sin_α
－sin_α
－sin_α
sin_α
cos_α
cos_α
余弦
cos_α
－cos_α
cos_α
－cos_α
sin_α
－sin_α
正切
tan_α
tan_α
－tan_α
－tan_α

对于角“±α”(k∈Z)的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号”．
考点一
三角函数的诱导公式
1.sin 600°＋tan 240°的值等于________．
2．已知tan＝，则tan＝________.
3．化简：＝________.
4．已知A＝＋(k∈Z)，则A的值构成的集合是______．
考点二
同角三角函数的基本关系
[典例]　已知α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝.
(1)求tan α的值； (2)把用tan α表示出来，并求其值．

保持本例条件不变，求：(1)； (2)sin2α＋2sin αcos α的值.
[针对训练]已知sin α＝2sin β，tan α＝3tan β，求cos α.

考点三
诱导公式在三角形中的应用
[典例]　在△ABC中，若sin(2π－A)＝－sin(π－B)，cos A＝－cos (π－B)，求△ABC的三个内角．

[针对训练]在△ABC中，sin A＋cos A＝，cos A＝－cos(π－B)，求△ABC的三个内角．

[课堂练通考点] 1．(2013·苏州期中)已知tan θ＝2，则＝______.
2．(2014·镇江统考)已知α为第四象限角，且 sin(π－α)＝－，则tan α＝________.
3．若△ABC的内角A满足sin 2A＝，则sin A＋cos A＝________.
4．cos－sin的值是________．
5．已知π<α<2π，cos(α－7π)＝－，求sin(3π＋α)·tan的值．

[课下提升考能]第Ⅰ组：全员必做题
1．(2014·南通调研)若sin＝，则cos＝________.
2．(2014·淮安模拟)若 tan α＝3，则 sin2 α－2 sin αcos α＋3 cos2 α＝______.
3．已知cos＝，且|φ|<，则tan φ＝______.
4．已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)＝1，则sin α的值是______．
5．已知f(α)＝，则f的值为________．
6．已知sin(π－α)＝log8，且α∈，则tan(2π－α)的值为________．
7．化简＋＝________.
8．若＝2，则sin(θ－5π)sin＝________.
9．求值：sin(－1 200°)·cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)＋tan 945°.

10．已知sin(3π＋α)＝2sin，求下列各式的值： (1)；(2)sin2α＋sin 2α.

第Ⅱ组：重点选做题1．若cos α＋2sin α＝－，则tan α＝______.
2.(2014·无锡模拟)如图，A，B是单位圆上的两个质点，点B坐标为(1,0)，∠BOA＝60°.质点A以1 rad/s的角速度按逆时针方向在单位圆上运动，质点B以1 rad/s的角速度按顺时针方向在单位圆上运动．
(1)求经过1 s 后，∠BOA的弧度；
(2)求质点A，B在单位圆上第一次相遇所用的时间．

3.(2014·镇江统考)如图，单位圆(半径为1的圆)的圆心O为坐标原点，单位圆与y轴的正半轴交于点A，与钝角α的终边OB交于点B(xB，yB)，设∠BAO＝β.
(1)用β表示α； (2)如果 sin β＝，求点B(xB，yB)坐标； (3)求xB－yB的最小值．

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