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函数与方程思想在解题中的应用
宁波东钱湖旅游学校 施亚娜
摘 要：函数与方程思想是中学数学中的基本思想。其中，函数思想是用变化的观点分析数学问题中的数量关系，建立函数、利用函数的性质解题；方程思想是将问题中的数量关系运用数学语言转化为方程模型来解题。它们还密切相关, 有时需要互相转化来解决问题。本文主要阐述函数与方程思想的地位和作用，函数与方程思想的概念及它们在解集合、不等式、数列等方面的应用，包括运用函数思想、方程思想，函数和方程统一思想。
关键词：数学思想；函数思想; 方程思想; 函数与方程思想
数学知识可以记忆一时，但数学思想和方法却随时随地发挥作用，使人受益终身。近年来我国许多考纲已明确提出不仅要考察学生的数学知识和思维能力，还要考察学生思想方法的运用能力。其中函数与方程的思想是众多考试考查的最基本的数学思想方法之一。学生仅仅学习了函数与方程的知识是不够的，应通过解题和对解题过程的反思来领悟函数与方程的思想。
一、函数与方程思想的地位和作用
数学思想是人们对现实世界空间形式和数量关系的本质认识，它是思维加工的产物，比一般的数学概念和数学方法具有更高的概括性和抽象性，因而更深刻，更本质。可以说，数学思想是数学知识的核心，是数学的精髓和灵魂。
目前高中阶段主要数学思想有：函数与方程、数形结合、分类与整合、划归与转化、特殊与一般、有限与无限、或然与必然。函数与方程思想，既是函数思想与方程思想的体现，也是两种思想综合运用的体现，是研究变量与函数、相等与不等过程中的基本数学思想。
函数与方程思想作为高中数学思想方法的重点，对学生的要求也越来越高。
考试中心指出：“高考把函数与方程的思想作为七种思想方法的重点来考查，使用选择题和填空题考查函数与方程思想的基本运算，而在解答题中，则从更深的层次，在知识网络的交汇处，从思想方法与相关能力相结合的角度进行深入考查。”
我们仅仅学习了函数与方程知识，在解决问题时往往是被动的，而建立了函数与方程思想，才能主动地去思考一些问题。因此应让学生自己体会函数与方程的联系，通过解题来领悟函数与方程的思想。
二、函数与方程思想
函数与方程思想，简单地说，就是学会用函数和变量来思考，学会转化已知与未知的关系。在解题时，用函数思想做指导就需要把字母看作变量，把代数式看作函数，利用函数性质做工具进行分析，或者构造一个函数把表面上不是函数的问题化归为函数问题。用方程思想做指导就需要把含字母的等式看作方程，研究方程的根有什么要求。
它们是两个不同的概念：
1．函数的思想，是用运动变化的观点分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。函数思想是对函数概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题。就中学数学而言，函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题：二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化繁为简，化难为易的目的。
2．方程的思想，是从问题的数量关系入手，经过一定的数学变换或构造，把已知和未知通过相等关系统一在方程中，使非方程问题转化为方程的形式，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。方程的思想是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题。方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系。
它们还有着密切的联系：方程f(x)＝0的解就是函数y＝f(x)的图像与x轴的交点的横坐标，函数y＝f(x)也可以看作二元方程f(x)-y＝0通过方程进行研究。
因此，许多有关方程的问题可以用函数的方法解决，如解方程f(x)＝0，就是求函数y＝f(x)的零点；反之，许多函数问题也可以用方程的方法来解决，如函数y＝f(x)，当y＝0时，就转化为方程f(x)＝0，也可把函数式y＝f(x)看做二元方程y－f(x)＝0。总之，可以通过互相转化、接轨来解决问题。
三、函数与方程思想在解题中的几个应用
一个函数若有解析表达式，那么这个表达式就可看成是一个方程。一个二元方程，两个变量存在着对应关系，如果这个对应关系是函数，那么这个方程可以看成是一个函数，一个一元方程，它的两端可以分别看成函数，方程的解即为两个函数图象交点的横坐标，因此，许多有关方程的问题可以用函数的方法解决；反之，许多有关函数的问题可以用方程的方法解决。总之，要领悟蕴含在知识和解题过程中函数和方程的思想，用它来指导解题。在解题中，还要从不同的角度去观察探索，寻求多种方法，从而得到最佳解题方案。
在解题中，善于挖掘题目中的隐含条件，构造出函数解析式和妙用函数的性质，是应用函数思想的关键。经常利用的性质有函数的单调性、奇偶性、周期性、最值、图像变换等。
用方程思想解题的关键是利用已知条件或公式、定理中的已知结论构造方程(组)。
（一）函数、方程思想
1．在集合方面的运用
集合是数学研究的基本对象之一。函数思想本身也是集合对应的思想，它用运动变化的观点去分析和研究数学问题中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图像和性质去分析、转化、解决问题。函数又与方程思想紧密相连，即通过分析数学问题中变量间的等量关系，从而建立方程（组），通过解方程（组）或运用方程的性质去分析、转化、解决问题。因此函数和方程思想在解集合相关题目时具有一定的指导作用，下面举例说明。
例1. 50名学生报名参加A、B两项课外兴趣小组，报名参加A组的人数是全体学生数的五分之三，报名参加B组的人数比报名参加A组的人数多3人，两组都没有报名的人数是同时报名参加两组的人数的三分之一多1人，求同时报名参加A、B两组的人数和两组都没有报名的人数。
可以看出此题是道应用题，若寻求集合与集合交集借助符合题意的文氏图，再利用方程思想就可很容易解决。

因此可设A∩B的元素为x个，则（30－x）＋x＋（33－x）＋（x＋1）＝50，解出x＝21，从而得到答案。
一般的，如果问题中变量间的关系可以用解析式表示出来，则可把关系式看作一个方程,通过对方程的分析使问题获解。特别的，当问题出现两数积与这两数和时，是构造一元二次方程的明显信号，如遇到, ,可知道b、c是关于x的一元二次方程的两根。
2．在不等式方面的运用
不等式反映的是不等量的关系，往往用等量关系去解决，这就是方程。
函数与不等式也可以相互转化，对于函数，当＞0时，就转化为不等式＞0，借助于函数的图像与性质可以解决不等式的有关问题，而研究函数的性质，也离不开解不等式。
例2．解不等式
本题如果直接将左边通分,然后采用解高次不等式的思维来做运算比较麻烦。我们注意到且题中出现 , 启示我们可以构造函数f(x)=x3+5x去解决问题。因此可把不等式化为，然后令f(x)=x3+5x，则不等式化为，这样利用函数单调性就很容易解决问题。
因此，一些表面上看来与函数、方程无关的问题,我们若用函数与方程思想去思考,往往能收到意想不到的效果。
特别的，在解含参不等式恒成立问题时会经常用到。下面这题就从多个角度运用了函数与方程思想。
例3：求最大的常数c，使得对满足0＜t≤的实数，恒有3t+ct-1≤0成立。
①分离参数法。我们观察到此题中含有两个变量c及t，其中t的范围已知，另一变量c的范围即为所求。故可考虑将c及t分离，把原不等式化为：c≤ = -3t + , (0＜t≤）。显然要使它恒成立，只需c≤（-3t + ）的最小值，故上述问题转化为求f(t)= -3t + 的最值问题。分离参数再构造函数，使其转化为函数的最值问题，方向明确，方法简洁，巧妙地运用了函数思想。
②图像法。要使ct≤- 3t+1，直接利用函数y= - 3t+1与y=ct的图像就可解决。这种方法也是巧妙利用了函数的性质。
③根的分布理论。设f(t)= 3t+ct-1,则f(0)≤0且f()≤0，解之，最大常数c为。
④求解法。利用求根公式解出3t+ct-1=0的根，再根据小根≤0，大根≥可得出c的最大值。这恰当运用了方程思想，用等量关系解决了不等量关系。
可以看出，以上方法都离不开函数与方程思想的指导。在解决含参不等式恒成立问题时，可以利用不等式与相应函数的联系，从函数的角度看待条件，将问题转化为函数的值域问题。同样，在解决函数的值域时也可利用函数的图象、基本不等式等各种常用方法。
一般的，应用函数与方程思想处理不等式问题，关键在于构造一个适当的函数和用好方程理论，弄清函数、方程及不等式的内在联系，树立相互转化的观点。
3．在数列方面的运用
数列是一类特殊的函数，它的定义域是正整数集或其子集，数列的通项或前n项和就是以自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要。在运用函数的性质解决数列问题的同时，也是对数列概念的本质理解。
例4. 已知数列的通项公式为，这个数列从第几项起，各项的数值逐渐增大？从第几项起各项的数值均为正？数列中是否存在数值与首项相同的项？
易见，数列的点都在函数的图象上，如右图通过图象根据二次函数的性质可得，这个数列从第5项开始，各项的数值逐渐增大，从第9项起，各项的数值均为正数，第9项是与首项相同的项。
等差、等比数列通项公式，前n项和公式都可看成n的函数。因此，某些等差(比)数列问题常可用函数思想来分析，用函数方法来解决。下面再举一例。
例5．设等差数列的前n项和为，已知，，。求（1）公差d的取值范围（2）指出、、……中哪个值最大，并说明理由。
通过分析，对于（1），可考虑由，建立关于d的不等式组。对于（2）可根据等差数列前n项和的表达式的结构特点，设的形式，简化求最值的过程，减少运算量。因为其图象必过原点，又由于，，故图象与x轴的另一交点横坐标，满足，故对称轴为，，因此时最大。可见以上思维过程更为简洁。
一般的，数列问题都可将其转化为自变量n的函数，再利用函数思想来解决，就很方便。
（二）函数与方程统一思想
函数与方程思想是密切相关的，函数y=f(x)，当 y=0时，就转化为方程 f(x)=0或看作方程y-f(x)=0；而方程f(x)=0的解正是函数y=f(x) 图象与x轴交点的横坐标。
例6. 已知三次方程恰有三个相异实根，求实数m的范围。
根据题意，方程f(x)=0的根，即函y=f(x)图象与x轴交点横坐标，所以函数应与x轴有三个不同交点，故只需函数极大值与极小值异号即可。
即，。
此题通过方程函数互相转化，观察函数图象特点，直观又准确地看到了方程根的情况。特别用导数法求得极值点，用限制极值的方法使图象穿x轴三次，问题得到了解决。
一般的，利用函数图象交点个数及交点位置，使方程满足其根的某限制条件，是最常见的方程与函数统一的思想。

四、结束语
函数思想是用函数的概念、性质去分析和转化问题。我们应用函数思想的几种常见题型是：遇到变量，构造函数关系解题；有关不等式、方程、最值之类的问题，利用函数观点加以分析；含有多个变量的数学问题，选定合适的主变量，从而揭示其中的函数关系；实际应用问题，翻译成数学语言，建立数学模型和函数关系式，应用函数性质或不等式等知识解答；等差、等比数列中，通项公式、前n项和的公式，都可看成n的函数。
方程思想是从问题的数量关系分析入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型(方程或方程组)。在解析几何中的许多问题，例如直线和二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决，这涉及到二次方程与二次函数的有关理论。立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用布列方程或建立函数表达式的方法加以解决。
函数与方程属于代数领域，但实际上它们贯穿于高中数学的各个领域，在高等数学、其它学科及现实生活中都有着广泛的应用。
善于根据题意构造并抽象出函数、方程关系式是用函数与方程思想解题的关键。
由以上解题过程我们发现，只要我们勤于动脑，善于动脑，树立起运用数学思想解题的意识，就一定会在解题中有新的发现，新的创新，从而将数学知识学话，使我们的数学解题能力不断提高。

参考文献：
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[2]沈玉环.函数与方程的思想——高考数学思想方法之一.杭十一中
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