反比例函数与一次函数的综合题.doc

关注反比例函数与一次函数的综合题
反比例函数是中考命题的主要考点，近几年中考试卷中出现了不少将反比例函数与其他函数、几何图形、方程（组）等综合编拟的解答题。其中，将反比例函数与其他函数综合命题是中考命题的新动向。
例1. 已知正比例函数与反比例函数的图象都过，求此正比例函数的解析式及另一个交点的坐标。
分析：由A点坐标满足可求得m值，再将A点坐标代入可求得正比例函数解析式，联立方程组可求得另一交点坐标。
解：因图象过，即，故，即A（3，1）
将A（3，1）代入，得
所以正比例函数解析式为
联立方程组得
∴另一交点坐标为（）
点评：解此类题时，一般是先构造方程或方程组再来解决问题。

例2. 如图1所示，一次函数与反比例函数的图象分别是直线AB和双曲线。直线AB与双曲线的一个交点为C，CD垂直x轴于点D，。求一次函数和反比例函数的解析式。

图1
分析：由已知三条线段之间的关系，可求得A、B、C三点的坐标，由此利用待定系数法求出函数解析式。
解：由已知，得
设一次函数解析式为
点A、B在一次函数图象上

则一次函数解析式是
点C在一次函数图象上
当时，y=1，即
设反比例函数解析式为，点C在反比例函数图象上
则，得
故反比例函数解析式是
点评：反比例函数和一次函数的综合题常涉及特殊线段、三角形面积等条件，这些几何图形的边长常常与某些点的坐标相关。这类题体现了在知识交汇处命题的特色。

例3. 如图2所示，反比例函数的图象经过点，过点A作AB垂直x轴于点B，△AOB的面积为。
（1）求k和b的值；
（2）若一次函数的图象经过点A，并且与x轴相交于点M，求AB：OM的值。

图2
分析：以面积为突破口，可求出A点纵坐标b和系数k，结合A点的双重特性（A点既在直线上，又在反比例函数图象上）求解相应问题。
解：（1）∵AB⊥BO，A点坐标为

（2）∵点A在直线上

当y=0时，
所以M点的坐标为

点评：纵观近年来的中考试题，关于反比例函数的综合题大多是与一次函数相结合，做题时常利用交点的双重特性来构造方程（组）解决问题。

例4. 有一个Rt△ABC，∠A=90°，∠B=60°，。将它放在直角坐标系中，使斜边BC在x轴上，直角顶点A在反比例函数的图象上，求点C的坐标。
分析：通过画图可发现，点A的位置有2种情况（在第一象限的那支图象上或在第三象限的那支图象上），点B、C的位置也有2种情况（可能点B靠近原点，也可能点C靠近原点），解题时要注意利用反比例函数图象的对称性。
解：本题共有4种情况。
（1）如图3所示，过点A作AD⊥BC1于D

（2）如图4所示，过点A作AE⊥BC2于E，则仿（1）可求得，。
所以
根据双曲线的对称性，得点的坐标为
所以点C的坐标分别为：

图4
点评：根据题意，进行分类，是解决本题的突破口。此题涉及与反比例函数相关的许多问题，能较好地展示学生的思维过程和思维个性，考查学生灵活运用所学知识分析问题、解决问题的能力，具有较好的选拔功能。

练一练：
如图5所示，反比例函数与一次函数的图象交于A、B两点。
（1）求A、B两点的坐标；（2）求△AOB的面积。

答案：
（1） （2）