指数函数（二）.doc

第19课时 指数函数（二）
教学目标：
使学生巩固指数函数性质的理解与掌握、并能应用；培养学生观察分析、抽象概括能力、归纳总结能力、逻辑推理能力、化归转化能力；培养发现问题和提出问题的意识、善于独立思考的习惯，体会事物之间普遍联系的辩证观点。
教学重点：
指数函数的性质的应用
教学难点：
指数函数的性质的应用
教学过程：
教学目标
(一)教学知识点
1.指数形式的函数.
2.同底数幂.
(二)能力训练要求
1.熟练掌握指数函数概念、图象、性质.
2.掌握指数形式的函数求定义域、值域.
3.掌握比较同底数幂大小的方法.
4.培养学生数学应用意识.
(三)德育渗透目标
1.认识事物在一定条件下的相互转化.
2.会用联系的观点看问题.
●教学重点
比较同底幂大小.
●教学难点
底数不同的两幂值比较大小.
●教学方法
启发引导式
启发学生根据指数函数的形式特点来理解指数形式的函数，并能够利用指数函数的定义域、值域，结合指数函数的图象，进行同底数幂的大小的比较.
在对不同底指数比较大小时，应引导学生联系同底幂大小比较的方法，恰当地寻求中间过渡量，将不同底幂转化同底幂来比较大小，从而加深学生对同底数幂比较大小的方法的认识.
●教具准备
幻灯片三张
第一张：指数函数的定义、图象、性质(记作§2.6.2 A)
第二张：例3(记作§2.6.2B）
第三张：例4(记作§2.6.2 C）
●教学过程
Ⅰ.复习回顾
［师］上一节，我们一起学习了指数函数的概念、图象、性质，现在进行一下
回顾.
(打出幻灯片内容为指数函数的概念、图象、性质)

a＞1
0＜a＜1

图
象

性
质
(1)定义域：R
(2)值域：(0，＋∞)
(3)过点(0，1)
(4)在R上增函数
(4)在R上减函数
［师］这一节，我们主要通过具体的例子来熟悉指数函数的性质应用.
Ⅱ.讲授新课
［例3］求下列函数的定义域、值域
(1)y=；
(2)y=.
(3)y=2x+1
分析：此题要利用指数函数的定义域、值域，并结合指数函数的图象.注意向学生指出函数的定义域就是使函数表达式有意义的自变量x的取值范围.
解：(1)由x－1≠0得x≠1
所以，所求函数定义域为{x｜x≠1}
由≠0得y≠1
所以，所求函数值域为{y｜y＞0且y≠1}
评述：对于值域的求解，在向学生解释时，可以令=t.考查指数函数y=0.4t，并结合图象直观地得到，以下两题可作类似处理.
(2)由5x－1≥0得x≥
所以，所求函数定义域为{x｜x≥}
由≥0得y≥1
所以，所求函数值域为{y｜y≥1}
(3)所求函数定义域为R
由2x＞0可得2x+1＞1
所以，所求函数值域为{y｜y＞1}
［师］通过此例题的训练，大家应学会利用指数函数的定义域、值域去求解指数形式的复合函数的定义域、值域，还应注意书写步骤与格式的规范性.
［例4］比较下列各题中两个值的大小
(1)1.72.5,1.73
(2)0.8－0.1,0.8－0.2
(3)1.70.3，0.93.1
要求：学生练习(1)、(2)，并对照课本解答，尝试总结比较同底数幂大小的方法以及一般步骤.
解：(1)考查指数函数y=1.7x
又由于底数1.7＞1，所以指数函数y=1.7x在R上是增函数
∵2.5＜3
∴1.72.5＜1.73
(2)考查指数函数y=0.8x
由于0＜0.8＜1,所以指数函数y=0.8x在R上是减函数.
∵－0.1＞－0.2
∴0.8－0.1＜0.8－0.2
［师］对上述解题过程，可总结出比较同底数幂大小的方法，即利用指数函数的单调性，其基本步骤如下：
(1)确定所要考查的指数函数；
(2)根据底数情况指出已确定的指数函数的单调性；
(3)比较指数大小，然后利用指数函数单调性得出同底数幂的大小关系.
解：(3)由指数函数的性质知：
1.70.3＞1.70=1,
0.93.1＜0.90=1,
即1.70.3＞1，0.93.1＜1，
∴1.70.3＞0.93.1.
说明：此题难点在于解题思路的确定，即如何找到中间值进行比较.(3)题与中间值1进行比较，这一点可由指数函数性质，也可由指数函数的图象得出，与1比较时，还是采用同底数幂比较大小的方法，注意强调学生掌握此题中“1”的灵活变形技巧.
［师］接下来，我们通过练习进一步熟悉并掌握本节方法.
Ⅲ.课堂练习
1.课本P78练习2
求下列函数的定义域
(1)y＝;
(2)y＝5.
解：(1)由有意义可得x≠0
故所求函数定义域为{x｜x≠0}
(2)由x－1≥0
得x≥1
故所求函数定义域为{x｜x≥1}.
2.习题2.6 2
比较下列各题中两个值的大小
(1)30.8，30.7
(2)0.75－0.1，0.750.1
(3)1.012.7，1.013.5
(4)0.９９3.3，0.９９4.5
解：(1)考查函数y＝3x
由于3＞1，所以指数函数y＝3x在R上是增函数.
∵0.8＞0.7
∴30.8＞30.7
(2)考查函数y＝0.75x
由于0＜0.75＜1，所以指数函数y＝0.75x在R上是减函数.
∵－0.1＜0.1
∴0.75－0.1＞0.750.1
(3)考查函数y＝1.01x
由于1.01＞1，所以指数函数y＝1.01x在R上是增函数.
∵2.7＜3.5
∴1.012.7＜1.013.5
(4)考查函数y＝0.９９x
由于0＜0.９９＜1，所以指数函数y＝0.９９x在R上是减函数.
∴3.3＜4.5
∴0.９９3.3＞0.９９4.5.
Ⅳ.课时小结
［师］通过本节学习，掌握指数函数的性质应用，并能比较同底数幂的大小，
提高应用函数知
识的能力.
Ⅴ.课后作业
（一）课本P78习题2.6
1.求下列函数的定义域
(1)y＝23－x
(2)y＝32x＋1
(3)y＝（）5x
(4)y＝
解：(1)所求定义域为R.
(2)所求定义域为R.
(3)所求定义域为R.
(4)由x≠0得
所求函数定义域为{x｜x≠0}.
3.已知下列不等式，比较m、n的大小
(1)2m＜2n
(2)0.2m＞0.2n
(3)am＜an（0＜a＜1）
(4)am＞an（a＞1）
解：(1)考查函数y＝2x
∵2＞1，∴函数y＝2x在R上是增函数.
∵2m＜2n
∴m＜n；
(2)考查函数y＝0.2x
∵0＜0.2＜1
∴指数函数y＝0.2x在R上是减函数.
∵0.2m＞0.2n
∴m＜n；
(3)考查函数y＝ax
∵0＜a＜1
∴函数y＝ax在R上是减函数.
∵am＜an
∴m＞n；
(4)考查函数y＝ax
∵a＞1
∴函数y＝ax在R上是增函数，
∴am＞an
∴m＞n.
（二）1.预习内容：
函数单调性、奇偶性概念
2.预习提纲
(1)函数单调性，奇偶性的概念.
(2)函数奇偶性概念.
(3)函数单调性，奇偶性的证明通法是什么?写出基本的证明步骤.
●板书设计
§2.6.2 指数函数的性质应用(一)
1.比较同底数幂的方法：利用函数的单调性.
［例3］ ［例4］
(1) (1)
(2) (2)
(3) (3)
2.基本步骤
(1)确定所要考查的指数函数.
(2)确定考查函数的单调性.
(3)比较指数大小，然后利用指数函数单调性.
3.学生练习

Ⅰ.复习引入
指数函数的定义与性质
Ⅱ.讲授新课
［例1］某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过1年剩留的这种物质是原来的84%. 画出这种物质的剩留量随时间变化的图象，并从图象上求出经过多少年，剩留量是原来的一半（结果保留一个有效数字）.
解：⑴先求出函数关系式：
设这种物质最初的质量是1，经过 x 年，剩留量是 y. 那么
经过1年，剩留量y＝1×84%＝0.841;
经过2年，剩留量y＝0.84×84%＝0.842;
…………
经过x年，剩留量y＝0.84x（x≥0）.
⑵描点作图：根据函数关系式列表如下：
x
0
1
2
3
4
5
6
…
y
1
0.84
0.71
0.59
0.50
0.42
0.35
…
根据上表描点作出指数函数y＝0.84x（x≥0）的图象（图略）.从图上看出y＝0.5，只需x≈4.
答：约经过4年，剩留量是原来的一半.
［例2］求下列函数的定义域和值域：
⑴ y＝ ⑵ y＝（）
活动设计：学生用图形计算器作出函数图像，观察图像，分析讨论定义域值域，然后准确解答，教师引导、整理

解：⑴要使函数有意义，必须1－ax≥0，即ax≤1
当a＞1时 x≤0； 当0＜a＜1时 x≥0
∵ax＞0 ∴0≤1－ax＜1 ∴值域为0≤y＜1
⑵要使函数有意义，必须 x＋3≠0 即 x≠－3
∵≠0 ∴y＝（）≠（）0＝1
又∵y＞0 ∴值域为 （0，1）∪（1，＋∞）
［例3］求函数y＝（）的单调区间，并证明
活动设计：学生用图形计算器作出函数图像，观察图像，分析讨论单调区间，然后准确解答，教师引导、整理（图见上）
解（用复合函数的单调性）：
设：u＝x2－2x 则：y＝（）u
对任意的1＜x1＜x2，有u1＜u2，又∵y＝（）u是减函数
∴y1＜y2 ∴y＝（）在[1，＋∞）是减函数
对任意的x1＜x2≤1，有u1＞u2，又∵y＝（）u是减函数
∴y1＜y2 ∴y＝（）在[1，＋∞）是增函数
引申：求函数y＝（）的值域 （0＜y≤2）
Ⅲ. 课堂总结
对于函数y＝f（u）和u＝g（x），如果u＝g（x）在区间（a，b）上是具有单调性，当x∈（a，b）时，u∈（m，n），且y＝f（u）在区间（m，n）上也具有单调性，则复合函数y＝f（g（x））在区间（a，b）具有单调性：
①若u＝g（x）在（a，b）上单调递增，y＝f（u）在（m，n）上单调递增，则复合函数y＝f（g（x））在区间（a，b）上单调递增；
②若u＝g（x）在（a，b）上单调递增，y＝f（u）在（m，n）上单调递减，则复合函数y＝f（g（x））在区间（a，b）上单调递减；
③若u＝g（x）在（a，b）上单调递减，y＝f（u）在（m，n）上单调递增，则复合函数y＝f（g（x））在区间（a，b）上单调递减；
④若u＝g（x）在（a，b）上单调递减，y＝f（u）在（m，n）上单调递减，则复合函数y＝f（g（x））在区间（a，b）上单调递增；
复合函数单调性的规律见下表：
y＝f（u）
增 ↗
减 ↘
u＝g（x）
增 ↗
减 ↘
增 ↗
减 ↘
y＝f（g（x））
增 ↗
减 ↘
减 ↘
增 ↗
以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”.
活动设计：教师提出问题，学生思考、分析讨论，教师引导、整理
下面只证明① 设x1、x2∈（a，b），且x1＜x2
∵u＝g（x）在（a，b）上是增函数，∴g（x1）＜g（x2），且g（x1）、g（x2）∈（m，n）
∵y＝f（u）在（m，n）上是增函数，∴f（g（x1））＜f（g（x2））.
所以复合函数y＝f（g（x））在区间（a，b）上是增函数。
Ⅳ. 课后作业
课本P54 习题：3，4，5，6.
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