指数与指数函数考点解读.doc

基础梳理
1．根式
(1)根式的概念
如果存在实数x，使得xn＝a(a∈R，n＞1，n∈N*)，则x叫做a的n次方根．式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
(2)根式的性质
①当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时，a的n次方根用符号表示．
②当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数，这时，正数的正的n次方根用符号表示，负的n次方根用符号－表示．正负两个n次方根可以合写为±(a＞0)．
③n＝a.
④当n为奇数时，＝a；
当n为偶数时，＝ |a|＝.
⑤负数没有偶次方根．
2．有理数指数幂
(1)幂的有关概念
①正整数指数幂：an＝a·a·…· (n∈N*)；
②零指数幂：a0＝1(a≠0)；
③负整数指数幂：a－p＝(a≠0，p∈N*)；
④正分数指数幂：a＝(a＞0，m、n∈ N*，且n＞1)；
⑤负分数指数幂：a－＝＝(a＞0，m、n∈N*且n＞1)．
⑥0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．
(2)有理数指数幂的性质
①aras＝ar＋s(a＞0，r、s∈Q)
②(ar)s＝ars(a＞0，r、s∈Q)
③(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)．

3．指数函数的图象与性质
y＝ax
a＞1
0＜a＜1
图象

定义域
R

值域
(0，＋∞)

性质

过定点(0,1)

当x＞0时，y＞1；

x＜0时，0＜y＜1
当x＞0时，0＜y＜1；

x＜0时，y＞1.

在(－∞，＋∞)上是增函数
在(－∞，＋∞)上是减函数

一个关系
分数指数幂与根式的关系
根式与分数指数幂的实质是相同的，分数指数幂与根式可以相互转化，通常利用分数指数幂进行根式的化简运算．
两个防范
(1)指数函数的单调性是由底数a的大小决定的，因此解题时通常对底数a按：0＜a＜1和a＞1进行分类讨论．
(2)换元时注意换元后“新元”的范围．
三个关键点
画指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，.
双基自测
1．(2011·山东)若点(a,9)在函数y＝3x的图象上，则tan 的值为(　　)．

A．0 B. C．1 D.
解析　由题意有3a＝9，则a＝2，∴tan ＝tan ＝.
答案　D
2．(2012·郴州五校联考)函数f(x)＝2|x－1|的图象是(　　)．

解析　f(x)＝故选B.
答案　B
3．若函数f(x)＝，则该函数在(－∞，＋∞)上是(　　)．
A．单调递减无最小值 B．单调递减有最小值
C．单调递增无最大值 D．单调递增有最大值
解析　设y＝f(x)，t＝2x＋1，
则y＝，t＝2x＋1，x∈(－∞，＋∞)
t＝2x＋1在(－∞，＋∞)上递增，值域为(1，＋∞)．
因此y＝在(1，＋∞)上递减，值域为(0,1)．
答案　A
4．(2011·天津)已知a＝5log23.4，b＝5log43.6，c＝log30.3，则(　　)．
A．a＞b＞c B．b＞a＞c
C．a＞c＞b D．c＞a＞b
解析　c＝log30.3＝5－log30.3＝5log3，log23.4＞log22＝1，log43.6＜log44＝1，log3＞log33＝1，
又log23.4＞log2＞log3 ，∴log2 3.4＞log3 ＞log4 3.6
又∵y＝5x是增函数，∴a＞c＞b.
答案　C
5．(2012·天津一中月考)已知a＋a－＝3，则a＋a－1＝______；a2＋a－2＝________.
解析　由已知条件(a＋a－)2＝9.整理得：a＋a－1＝7
又(a＋a－1)2＝49，因此a2＋a－2＝47.
答案　7　47　　

考向一　指数幂的化简与求值
【例1】►化简下列各式(其中各字母均为正数)．
(1)；
(2)a·b－2·(－3a－b－1)÷(4a·b－3).
[审题视点] 熟记有理数指数幂的运算性质是化简的关键．
解　(1)原式＝
＝a－－－·b＋－＝.
(2)原式＝－a－b－3÷(4a·b－3)
＝－a－b－3÷
＝－a－·b－
＝－·＝－.
化简结果要求
(1)若题目以根式形式给出，则结果用根式表示；
(2)若题目以分数指数幂的形式给出，则结果用分数指数幂表示；
(3)结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又有负指数幂．
【训练1】 计算：
(1)0.027－－－2＋－0；
(2)－·.
解　(1)原式＝－－(－1)－2－2＋－1
＝－49＋－1＝－45.
(2)原式＝·a·a－·b·b－＝a0·b0＝.
考向二　指数函数的性质
【例2】►已知函数f(x)＝·x3(a＞0且a≠1)．
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)讨论函数f(x)的奇偶性；
(3)求a的取值范围，使f(x)＞0在定义域上恒成立．
[审题视点] 对解析式较复杂的函数判断其奇偶性要适当变形；恒成立问题可通过求最值解决．
解　(1)由于ax－1≠0，且ax≠1，所以x≠0.
∴函数f(x)的定义域为{x|x∈R，且x≠0}．
(2)对于定义域内任意x，有
f(－x)＝(－x)3
＝(－x)3＝(－x)3
＝x3＝f(x)，
∴f(x)是偶函数．
(3)当a＞1时，对x＞0，由指数函数的性质知ax＞1，
∴ax－1＞0，＋＞0.
又x＞0时，x3＞0，∴x3＞0，
即当x＞0时，f(x)＞0.
又由(2)知f(x)为偶函数，即f(－x)＝f(x)，
则当x＜0时，－x＞0，有f(－x)＝f(x)＞0成立．
综上可知，当a＞1时，f(x)＞0在定义域上恒成立．
当0＜a＜1时，f(x)＝.
当x＞0时，1＞ax＞0，ax＋1＞0，
ax－1＜0，x3＞0，此时f(x)＜0，不满足题意；
当x＜0时，－x＞0，f(－x)＝f(x)＜0，也不满足题意．
综上可知，所求a的取值范围是a＞1.
(1)判断此类函数的奇偶性，常需要对所给式子变形，以达到所需要的形式，另外，还可利用f(－x)±f(x)，来判断．
(2)将不等式恒成立问题转化为求函数值域问题，是解决恒成立问题的常用方法．
【训练2】 设f(x)＝＋是定义在R上的函数．
(1)f(x)可能是奇函数吗？
(2)若f(x)是偶函数，试研究其在(0，＋∞)的单调性．
解　(1)假设f(x)是奇函数，由于定义域为R，
∴f(－x)＝－f(x)，即＋＝－，
整理得(ex＋e－x)＝0，
即a＋＝0，即a2＋1＝0显然无解．
∴f(x)不可能是奇函数．
(2)因为f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)，
即＋＝＋，
整理得(ex－e－x)＝0，
又∵对任意x∈R都成立，∴有a－＝0，得a＝±1.
当a＝1时，f(x)＝e－x＋ex，以下讨论其单调性，
任取x1，x2∈(0，＋∞)且x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝ex1＋e－x1－ ex2－e－x2
＝，
∵x1，x2∈(0，＋∞)且x1＜x2，
∴ex1＋x2＞1，ex1－ex2＜0，∴ex1＋x2－1＞0，
∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，
∴函数f(x)＝＋，
当a＝1时在(0，＋∞)为增函数，
同理，当a＝－1时，f(x)在(0，＋∞)为减函数．
考向三　指数函数图象的应用
【例3】►(2009·山东)函数y＝的图象大致为(　　)．

[审题视点] 函数图象的判断要充分利用函数的性质，如奇偶性、单调性．
解析　y＝＝1＋，当x＞0时，e2x－1＞0且随着x的增大而增大，故y＝1＋＞1且随着x的增大而减小，即函数y在(0，＋∞)上恒大于1且单调递减，又函数y是奇函数，故选A.
答案　A
利用指数函数的图象和性质可研究复合函数的图象和性质，比如：函数y＝，y＝，y＝lg(10x－1)等．
【训练3】 已知方程10x＝10－x，lg x＋x＝10的实数解分别为α和β，则α＋β的值是________．

解析　作函数y＝f(x)＝10x，y＝g(x)＝lg x，y＝h(x)＝10－x的图象如图所示，由于y＝f(x)与y＝g(x)互为反函数，∴它们的图象是关于直线y＝x对称的．又直线y＝h(x)与y＝x垂直，∴y＝f(x)与y＝h(x)的交点A和y＝g(x)与y＝h(x)的交点B是关于直线y＝x对称的．而y＝x与y＝h(x)的交点为(5,5)．又方程10x＝10－x的解α为A点横坐标，同理，β为B点横坐标．∴＝5，即α＋β＝10.
答案　10

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