任意角三角函数定义的呈现方式.doc

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苏教版〈三角函数〉的编写意图
——也谈任意角三角函数定义的呈现方式
张乃达 石志群
1．引言
近来本刊已经发表了多篇文章，对任意角三角函数定义的不同呈现方式展开了讨论．这次讨论是由于人教（A）版教材和苏教版的教材对任意角三角函数采用了两种不同的定义方式而引发的．其中，发表于本刊2010年1-2期的题为《三谈“单位圆定义法”与“终边坐标定义法”》（文[1]）的文章，更从学生思维活动的视角探讨了任意角三角函数定义的不同呈现方式对学习活动的影响，从而使讨论进入了一个新的层面——即从对结果（定义）的静态分析，进入到对过程（活动）的动态分析，这无疑是一项有意义的进展，也是使讨论深入下去的正确方向．
需要指出的是，由于讨论是由两种教材的不同呈现方式引起的，因此，讨论必须在深入研究教材、理解教材的基础上展开．遗憾的是，文[1]在这方面尚存在着很多不足之处——例如，在我们看来，文章对苏教版教材就存在着许多误解（当然这些误解可能就是由教材的表达不清晰等原因造成的）！这些误解不仅影响了文章对学生思维活动分析的准确性，而且对读者造成了误导！为此，我们感到有必要就教材编写的意图（这是主观的想法）和教材本身（这是客观地呈现在读者面前的存在）做一些说明和澄清，并就相关问题发表我们的看法，供进一步讨论时参考．
2．两种建构路径的分析
2.1　苏教版教材的建构路径
文[1]认为：两种定义都是“从初中的以直角三角形为载体的锐角三角函数引入课题的”，两种教材都把锐角三角函数的定义看成“新知识学习的生长点”，这显然是不符合事实的，是对于苏教版教材的误解！
作为进一步讨论的基础，下面我们仅对苏教版教材建构三角函数概念的路径作一介绍和分析．
（1）建构活动从考察周期性运动开始
事实上，苏教版教材不是“以直角三角形为载体的锐角三角函数引入课题的”，而是从对周期运动的考察分析开始的．这一点清楚地表现在教材的引言中．
日落日出，寒来暑往……自然界中有许多“按一定规律周而复始”的现象，这种按一定规律不断重复出现的现象称为周期现象．周期现象一般与周期运动有关．一个简单又基本的例子便是“圆周上一点的运动”．
如图1，P是半径为r的圆O上一点，P点的运动可以形象地描述为“周而复始”．那么，点P按怎样的规律不断重复出现？用什么样的数学模型来刻画呢？

在提出了问题以后，苏教版教材并没有直接给出问题的答案，而是立即着手解决问题——立即对问题进行数学的分析．引言接着说：
为了回答上述问题，需要将点P表示出来．我们进行如下思考：
（1）如图2和图3，以水平方向作参照方向，有序数对（r，α），（r，l）都可以表示点P；
（2）如图4，以水平线为x轴，圆心O为原点建立直角坐标系，有序数对（x，y）也可以表示点P．

在表示点P的过程中，我们先后选用了角、弧长和直角坐标．
（2）提出中心问题
在对问题进行数学的分析以后，教材立即提出了本章的中心问题：
● α，l，x，y之间有着怎样的内在联系？
问题的提出，标志着我们已经取得了重要的阶段性成果——即发现了一个有价值的问题！
这是统率全章的中心问题！是任意角三角函数概念的生长点——解决这个问题的思维活动，不仅导致任意角三角函数概念的建立，而且构成了整个教学的过程！
（3）发现和锐角三角函数的联系
和人教（A）版教材不同，直到现在为止，苏教版教材的正文（目录、标题除外）中还没有提到过“三角函数”，更没有把锐角三角函数当成考察的对象，因为对学生来说，他们面临的问题是“怎样建立刻画周期性现象的数学模型”？由于他们并不知道三角函数和周期性现象的联系，因而不可能把三角函数纳入他们的视野！更不可能去“复习锐角三角函数的定义”！
这就是说，锐角三角函数和当前课题之间的联系是应该让学生自己去发现的！这应该是当前建构活动中的又一个重要环节．对此，教材是这样处理的：
苏教版教材在第1.2节“任意角的三角函数”的节首语中重新提出了引言中提出的中心问题：
“用（r，a）与用坐标（x，y）均可表示圆周上点P，那么，这两种表示有什么内在联系？确切地说，
●用怎样的数学模型刻画(x，y)与(r，a)之间的关系？”
为了解决这个问题，学生自然会在直角坐标系中画出角a的终边，标出坐标，再让a绕原点旋转，当转到第一象限时，学生们就可以发现：如果a为锐角，则有sina= ，cosa= ，tana= 这样就发现了我们要寻求的联系！而它恰恰是锐角三角函数提供的．
于是，锐角三角函数进入了学生的视野！
于是，教材顺其自然地和学生一同回忆起锐角三角函数，并提出了新问题．
（4）提出将锐角三角函数推广的问题
于是，教材提出了“怎样将锐角三角函数推广到任意角？”这样一个问题！
由于上面的舗垫，学生顺理成章地展开了建构任意角三角函数的活动．
（5）反思
我们构建的数学模型是否满足对函数的要求？
（6）命名
把建构的数学模型称为“任意角三角函数”，简称“三角函数”．指出它和锐角三角函数的区别与联系（用现代函数的观点看锐角三角函数）．
（7）探究三角函数几何意义．
（8）特别地，给出单位圆“定义”．
2.2　人教（A）版教材的建构路径
为了更清晰地表达苏教版教材的编写意图和建构路径的特点，作为比较，我们仅对人教（A）版教材的建构路径作一概略的考察．
（1）直接告知学生“三角函数是刻画周期性变化”的数学模型．
和苏教版的引言相似，人教（A）版的引言在一开始也提出了和苏教版引言中提出的问题：
现实世界中有许多运动变化都具有循环往复周而复始的现象，这种变化规律称为周期性……如何用数学方法来刻画这种变化规律呢？
但是，人教（A）版教材并没有像苏教版那样，带领学生去解决这个问题，而是直接给出了问题的答案：“本章要学习的三角函数就是刻画这种变化规律的数学模型．”
这样一来，对周期性现象的数学研究就被对“三角函数”的研究所取代！于是周期性现象退出了我们的视野，而“三角函数”成为研究的主题！
接着引言又提出了本章的学习任务：
三角函数到底是一种什么样的函数？它具有哪些特有的性质？在解决具有周期性变化规律的问题中到底能发挥哪些作用？下面我们就来研究这些问题．
于是，三角函数是什么？锐角三角函数是怎样定义的？就成为本章学习的初始问题了！而怎样把锐角三角函数“推广”到任意角，自然成为本章的中心问题！
可是，三角函数为什么能刻画“周期性现象”呢？这个更本原、更深刻的问题就被越过了！掩盖了！
（2）复习并“改造锐角三角函数”．
在复习锐角三角函数定义以后，教材提出了问题：你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗？开始了三角函数概念的推广工作．
（3）建立锐角三角函数的“单位圆”定义．
（4）建立任意角三角函数的“单位圆”定义．
2.3　需要澄清的几个问题
（1）锐角三角函数不是建构活动的基础．
在苏教版教材中，并没有把锐角三角函数当成建构活动的基础，相反，我们把它的过早出现看成是对建构活动的干扰！因此，在教学中，我们要求教师出示的课题并不是“任意角三角函数”，而是“刻画周期性变化的数学模型”，直到得到三角函数的定义后，才把课题“刻画周期性变化的数学模型——三角函数”完整地展示出来．
（2）建构过程中，并没有引导学生“建立函数意义上的锐角三角函数定义”．
文[1]说：“学生建立起（x，y）与（r，α）以后，苏教版教材引导学生利用该模型建立起函数意义上的锐角的三角函数定义”，最终要建立起定义域为（0，）上的三角函数定义表达式”．其实教材并没有这样做，而且我们也感到没在必要这样做！其实这里学生合乎逻辑的想法是很简单的：当α是锐角时，学生利用锐角三角函数来表达α、x、y的联系，这时，在他们的眼中，锐角三角函数只是一个有用的工具，因此，他们希望在非锐角的情况下也有类似的工具，于是他们开始“建构”它！可见学生是不会产生文[1]中提出的问题的！我们认为，正
角α
0
π/6
π/4
π/3
π/2
2π/3
3π/4
5π/6
π
SINα
0
1/2
/2
/2
1
/2
/2
1/2
0
COSα
1
/2
/2
1/2
0
－1/2
-/2
-/2
-1
TANα
0
/3
1

－
－
－1
-/3
0

是由于不自觉地以人教（A）版的建构路径来分析这里的思维活动，才造成文[1]的误解——这正是受“锐角三角函数”干扰的结果！
2.4　两种建构路径的比较
文[1]在比较两种教材时说：“两种定义的出发点和落脚点相同，但定义的过程是有区别的．”我们认为，这个结论是不准确的！事实上，只要比较两种教材的建构路径，我们就会看到，两种教材不仅定义的过程有区别，而且它们的出发点和落脚点、呈现的方式、学习成果（建构的对象）、教材的定位以及由此设定的学习方式，都存在着重大的区别．（见下表）
下面仅就 “学习成果”（建构对象）和“学习状态”作一说明：

人教（A）版（推广的路径）
苏教版（建构的路径）
学习起点
复习锐角三角函数
考察周期性运动（圆周运动）
学习方式
概念的同化：偏向于接受性学习
概念的生成：偏向于发现性学习
中心问题
任意角三角函数是什么？
怎样构建刻画周期性变化的数学模型？
学习过程
把锐角三角函数推广到任意角
依托圆周运动建构新的数学模型
学习状态
操作性的、目的模糊的、被动的
清晰的、目的明确的、主动的和可理解的
学习成果
三角函数
刻画周期性变化的数学模型
（1）关于学习成果
应该指出的是，尽管从表面看，两种建构活动都得到了同一成果——任意角三角函数的定义，但是这一成果对学生来说，意义却是不同的！
在苏教版中，由于学生的建构活动一直是指向刻画周期性变化的数学模型的，所以在经过一番努力，最终得到了建构的结果（三角函数）时，他们自然会把三角函数看成是刻画周期性变化的数学模型，而“三角函数”只不过是为模型起的名称而已！
可是，在人教（A）版的建构活动中就不同了！在这里，学生所做的一切都是为了“把锐角三角函数推广到任意角”，他们并没有看到建构活动和“周期性”有任何关系．因此，在他们的眼中，任意角三角函数就是任意角三角函数，尽管教材（在引言中）曾经告知学生“三角函数就是刻画周期性变化的数学模型”，但是，由于建构活动和周期性变化“脱钩”，所以要想让学生真正认识到这一点，还需要做很多很多的事！
（2）关于学习状态
通过对两种教材建构路径的比较，我们发现，学生在使用不同的教材时，往往会进行相同的“操作”，会面临相同的问题，但是由于问题背景的不同，学生的学习状态和引发的思维活动却有很大的差异：
例如，在本节课中学生都会“复习锐角三角函数”，但是，在这样做的时候，学生面临的背景是有很大不同的．
人教（A）版教材是从讨论锐角三角函数开始的．对这样的安排，学生会问：
问：为什么要讨论锐角三角函数呢？
回答可能是“为了建立任意角的三角函数的概念”．
问：那么为什么要建立任意角的三角函数的概念呢？
回答可能是因为任意角的三角函数正是“刻画周期性现象的数学模型”．
问：为什么任意角的三角函数可以刻画周期性现象呢？
这就是学生无法回答的了！
其实，这个问题教师是可以回答的，他可能会说：你们研究了三角函数的性质就知道了．
但是，还有一个更尖锐的也是更重要的问题等着他，这就是：
——研究周期性现象时，你怎么会想到“锐角三角函数”的？
可能这是编者、教师和学生都无法回答的！
这个问题不仅学生现在不能回答，而且对大多数学生来说，可能一生都弄不明白！
由此可见，在课堂上，尽管看起来学生确实是参与了建立三角函数概念的活动，但是他们并不完全知道这些活动的意义！所以我们说，学生的学习状态是“操作性的、目的模糊的、被动的”！
与之比较，我们再看看学习苏教版教材的状況．
在苏教版中，复习锐角三角函数是学生“自发自觉”的行动，请看下面的分析：
问：为什么要复习锐角三角函数呢？
——是因为利用它可以帮助我们建立（x, y）与（r,α）的眹系．
问：你是怎么知道它会帮助我们建立（x, y）与（r,α）的眹系的呢？
——因为，在锐角时，我们利用它已经建立了（x, y）与（r,α）间的联系！
问：可是，你是怎么想到要研究（x, y）与（r,α）间的联系的呢？它有什么用？
——这是因为用（r,α）（x, y）都可以表示圆周上的点．
问：为什么要表示圆周上的点呢？
——这是为了刻画圆周上点的运动．
问：为什么要刻画圆周上点的运动呢？
——这是因为它是周期现象的“一个简单又基本的例子”
问：为什么要研究周期现象呢？
——因为我们的任务就是要“建构刻画周期性现象的数学模型．”
可以看出，由于苏教版教材展示了建构数学模型的思维过程，学生自始至终地参与了建构的活动，理解每一歩“操作”的意义，了解毎一个问题的背景，知道问题是怎样被提出来的，因此，学生的学习状态是“清晰的、目的明确的、主动的和可理解的”！
这正是我们追求的结果！
3．教材的编写意图和定位
3.1　关于教材定位
通过上面的比较和分析可以看出，尽管两种教材都是讲的“三角函数”，可是它们的定位却是不同的．实际上，这在比较两种教材的引言时，就可以看到了！
根据我们的分析，人教（A）版教材的定位应该是“认识和研究描述周期现象的重要数学模型：三角函数”，设定的学习起点是：三角函数是什么？相应的学习方式是接受性学习！
苏教版教材是把对周期性现象的数学（分析）研究看成教学的起点的，教材的定位是“展示对周期现象进行数学研究的过程”，而从周期性现象的原型中，抽象出相应的数学模型就成为这个过程的第一阶段！因而相应地，它设定的学习方式是发现性学习！
相信明白了这些，就可以理解这两种教材为什么在建构路径和呈现方式上会具有那么大的差别了！
3.2　苏教版教材的编写意图
苏教版教材的定位是由它的编写思想（意图）决定的．
苏教版教材的编写意图可以概括为一句话，即：提供一个“数学地研究现实世界的一个范例！”
具体地，它表达下面几个层面的意思：
1．把（任意角）三角函数看成是刻画周期性现象的数学模型，用函数的观点来看待三角函数，把本章教学看成是函数学习的后续和深化．
2．要展示并让学生经历数学地研究的全过程，即：提出问题——建构数学模型——研究数学模型——应用数学模型解决问题的过程．特别是，要让学生经历从周期性运动的原型，经过数学抽象，建构数学模型的过程．
3．要突出三角函数是刻画周期性变化的数学模型的本质，突出周期性——不仅在概念的建构过程中，而且在研究模型的性质时（如：诱导公式的研究、三角函数的图象的学习等等）都要突出周期性的作用，并把这些研究活动看成是建构模型的有机部分．
4．采用“建构的思路”，引人任意角三角函数概念．
5．所有这一切，都体现了我们的价值观——它表明我们看重的不仅是作为一种数学模型的三角函数的应用价值，而且看重建构活动的价值，包括蕴含于活动中的思想、方法、思维、过程的价值，即数学活动本身的价值．
3.3 两种不同的建构思路
一般地说，任意角三角函数的概念的建构有两种基本的思路，即：推广思路
与建构思路．
所谓推广的思路是由锐角三角函数出发，将其推广到任意角，从而建立起任意角三角函数概念的思路．所谓建构思路，是从现实世界的周期现象中选取原型，通过数学抽象，建构起刻画周期性变化的数学模型的思路，即通常所说的建模，苏教版教材采用的就是这种思路．
推广的思路，这也是传统教学中经常采用的思路，人教（A）版教材采用的这是这种思路．在教学中教师往往不自觉地就会走上这条思路．实际上，在教学中，学生只要看到学习的课题是任意角三角函数就会联想到锐角三角函数，认定任意角三角函数是锐角三角函数的推广，而走到这条路上来．因此，看起来这是很自然的思路．
我们之所以拒绝采用这个思路，除了它和我们的编写意图直接冲突以外，还出于教学方面的考虑：
在推广的思路中，教师实际上是把“任意角三角函数是什么？”当成教学的起点的，它对应的初始问题就是：怎样把锐角三角函数推广到任意角？现在我们看看，面对着这个问题学生会产生什么样的思维活动？
因为没有更多的信息，所以学生只能从字面上去寻求“任意角三角函数”的意义！他可能想到，“任意角三角函数”可能是一种“函数”，因而它应该有“定义域”和“对应关系”；它可能是一种刻画现实世界的变化规律的数学模型，可是具体地，它是怎么样的数学模型呢？学生就无法回答了！
当然，学生还可能想到，这种数学模型可能和锐角三角函数有关，很可能是后者的推广．于是学生可能会回忆锐角三角函数的意义，并力求将其“推广”！可是由于学生不知道推广的目的，就无法确定推广的方向，于是学生的建构活动只能到此为止，再也无法继续进行下去了！
造成上述现象的原因一方面在于学生掌握的信息太少，特别是建构的目标不清晰——对学生而言，“任意角三角函数”只是一个数学模型的名称，而没有任何确定的实质性的意义！因此学生的探索活动无法展开，从而造成教学的困难！
造成教学困难的更深层次的原因在于，在推广的思路中，学生误把“锐角三角函数”看成是任意角三角函数的原型．而这只是对任意角三角函数的误解．实际上，不管是从三角学的发展史来看，还是从对锐角三角函数和任意角三角函数的意义来看，它们之间都不存在“推广”和“特例”的关系．正如章建跃先生指出的：锐角三角函数是研究三角形各种几何量之间关系而发展起来的，任意角三角函数是研究现实中周期现象而发展起来的．它们研究的对象不同，表现的性质也不同，我们既不能把任意角的三角函数看成是锐角三角函数的推广（或一般化），又不能把锐角三角函数看成是任意角三角函数在锐角范围内的“限定”．因此，锐角三角函数并不是任意角三角函数的原型！“推广”的思路，是缺少逻辑的基础的，是很难走通的！这一点已经被教学实践所证实．而要克服教学中的困难，关键就是要引人周期性运动的原型，让学生的思维活动得到依托和支撑！
所以说，尽管这个思路看起来是“自然的”，但实质上并不自然！
4．一点说明
最后，应该说明的是，我们写作本文的主要目的是想对苏教版教材（三角函数）的编写意图和处理方式做些介绍，以供老师们在讨论和教学中参考．为了说明的需要，文章也谈到了我们对人教（A）版教材的认识，但并未对两者的优劣做任何判断．在文中，我们已清楚地表明了我们的观点：这两种教材分别适用于“发现性学习方式”和“接受性学习方式”．而众所周知，这两种方式是无高下之分的！重要的是教师要正确把握教材的特点，根据学生的情况，做好科学的设计！文中如有不当之处，敬请指正！
［1］肖栋坡，徐海虎，三谈“单位圆定义法”与“终边坐标定义法”——以学生的思维活动为视角，中学数学教学参考，2010，1-2．
［2］樊亚东、张乃达，高中课程标准实验教科书（苏教版）必修4教学问答．