不共线的三点确定二次-函数表达式.doc

不共线三点确定二次函数的表达式

1．通过对用待定系数法求二次函数解析式的探究，掌握求二次函数解析式的方法；(重点)
2．会根据不同的条件，利用待定系数法求二次函数的解析式，在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用．(难点)

一、情境导入

某广场中心标志性建筑处有高低不同的各种喷泉，其中一支高度为1米的喷水管喷出的抛物线水柱最大高度为3米，此时喷水水平距离为米．你能写出如图所示的平面直角坐标系中抛物线水柱的解析式吗？
二、合作探究
探究点一：不共线三点确定二次函数的表达式
【类型一】 用一般式确定二次函数解析式
已知二次函数的图象经过点(－1，－5)，(0，－4)和(1，1)．求这个二次函数的解析式．
解析：由于题目给出的是抛物线上任意三点，可设一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
解：设这个二次函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
依题意得解得
∴这个二次函数的解析式为y＝2x2＋3x－4.
方法总结：当题目给出函数图象上的任意三个点时，设一般式y＝ax2＋bx＋c，转化成一个三元一次方程组，以求得a，b，c的值．
【类型二】 用顶点式确定二次函数解析式
已知二次函数的图象顶点坐标是(－2，3)，且过点(－1，5)，求这个二次函数的解析式．
解：设二次函数解析式为y＝a(x－h)2＋k，
∵图象顶点是(－2，3)，
∴h＝－2，k＝3，
依题意得5＝a(－1＋2)2＋3，解得a＝2.
∴二次函数的解析式为y＝2(x＋2)2＋3＝2x2＋8x＋11.
方法总结：若已知抛物线的顶点或对称轴、极值，则设y＝a(x－h)2＋k.顶点坐标为(h，k)，对称轴为x＝h，最值为当x＝h时，y最值＝k.
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第7题
【类型三】 用交点式确定二次函数解析式
已知抛物线与x轴相交于点A(－1，0)，B(1，0)，且过点M(0，1)，求此函数的解析式．
解析：由于已知图象与x轴的两个交点，所以可设y＝a(x－x1)(x－x2)求解．
解：因为点A(－1，0)，B(1，0)是图象与x轴的交点，所以设二次函数的解析式为y＝a(x＋1)(x－1)．又因为抛物线过点M(0，1)，所以1＝a(0＋1)(0－1)，解得a＝－1，所以所求抛物线的解析式为y＝－(x＋1)(x－1)，即y＝－x2＋1.
方法总结：此题也可设y＝a(x－h)2＋k，因为与x轴交于(－1，0)，(1，0)，故对称轴为y轴．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题
探究点二：二次函数解析式的综合运用
如图，抛物线y＝x2＋bx＋c过点A(－4，－3)，与y轴交于点B，对称轴是x＝－3，请解答下列问题：

(1)求抛物线的解析式；
(2)若和x轴平行的直线与抛物线交于C，D两点，点C在对称轴左侧，且CD＝8，求△BCD的面积．
解析：(1)把点A(－4，－3)代入y＝x2＋bx＋c得16－4b＋c＝－3，根据对称轴是x＝－3，求出b＝6，即可得出答案；
(2)根据CD∥x轴，得出点C与点D关于x＝－3对称，根据点C在对称轴左侧，且CD＝8，求出点C的横坐标和纵坐标，再根据点B的坐标为(0，5)，求出△BCD中CD边上的高，即可求出△BCD的面积．

解：(1)把点A(－4，－3)代入y＝x2＋bx＋c得16－4b＋c＝－3，c－4b＝－19.∵对称轴是x＝－3，∴－＝－3，∴b＝6，∴c＝5，∴抛物线的解析式是y＝x2＋6x＋5；
(2)∵CD∥x轴，∴点C与点D关于x＝－3对称．∵点C在对称轴左侧，且CD＝8，∴点C的横坐标为－7，∴点C的纵坐标为(－7)2＋6×(－7)＋5＝12.∵点B的坐标为(0，5)，∴△BCD中CD边上的高为12－5＝7，∴△BCD的面积＝×8×7＝28.
方法总结：此题考查了待定系数法求二次函数的解析式，以及利用解析式分析二次函数的图象和性质，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题
三、板书设计

教学过程中，强调用待定系数法求二次函数解析式时，要根据题目所给条件，合理设出其形式，然后求解，这样可以简化计算.