山东省威海市文登区2022-2023学年数学九年级第一学期期末监测试题含解析.doc

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题(每小题3分,共30分)
1．对于实数，定义运算“*”；关于的方程恰好有三个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则t

anC的值是（　　）

A．2 B． C．1 D．
3．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，点P是BC边上的动点，则AP的长不可能是( )

A．3.5 B．4.2 C．5.8 D．7
4．若，相似比为1:2，则与的面积的比为（ ）
A．1:2 B．2:1 C．1:4 D．4:1
5．下图是用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图”，由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形，对其对称性表述，正确的是（ ）

A．轴对称图形 B．中心对称图形
C．既是轴对称图形又是中心对称图形 D．既不是轴对称图形又不是中心对称图形
6．如图所示，某公园设计节日鲜花摆放方案，其中一个花坛由一批花盆堆成六角垛，顶层一个，以下各层堆成六边形，逐层每边增加一个花盆，则第七层的花盆的个数是（ ）

A．91 B．126 C．127 D．169
7．在△ABC中，若三边BC，CA，AB满足BC：CA：AB＝3：4：5，则cosA的值为（　　）
A． B． C． D．
8．在二次函数的图像中，若随的增大而增大，则的取值范围是
A． B． C． D．
9．下列说法中，正确的个数（ ）
①位似图形都相似:
②两个等边三角形一定是位似图形；
③两个相似多边形的面积比为5:1．则周长的比为5:1；
④两个大小不相等的圆一定是位似图形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，将△ABC绕边AC所在直线旋转一周得到圆锥，则该圆锥的侧面积是
A．25π B．65π C．90π D．130π
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．计算：＝______．
12．如图，矩形中，，点在边上，且，的延长线与的延长线相交于点，若，则______.

13．用配方法解方程x2﹣2x﹣6＝0，原方程可化为_____．
14．如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且AB＝5，CD＝6，则四边形ABCD的周长为_______．

15．若反比例函数的图像在二、四象限，其图像上有两点，，则______（填“”或“”或“”）．
16．已知关于x方程x2﹣3x+a=0有一个根为1，则方程的另一个根为_____．
17．如图，AB是⊙O的直径，点C在AB 的延长线上， CD与⊙O相切于点D，若∠CDA=122°，则∠C=_______．

18．如图，的直径AB与弦CD相交于点，则______．

三、解答题(共66分)
19．（10分）如图，直线y＝x﹣1与抛物线y＝﹣x2+6x﹣5相交于A、D两点．抛物线的顶点为C，连结AC．
（1）求A，D两点的坐标；
（2）点P为该抛物线上一动点（与点A、D不重合），连接PA、PD．
①当点P的横坐标为2时，求△PAD的面积；
②当∠PDA＝∠CAD时，直接写出点P的坐标．

20．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，点M是AB边的中点.
(1)如图1，若CM=，求△ACB的周长；
(2)如图2，若N为AC的中点，将线段CN以C为旋转中心顺时针旋转60°，使点N至点D处，连接BD交CM于点F，连接MD，取MD的中点E，连接EF.求证：3EF=2MF.

21．（6分）定义：将函数C1的图象绕点P(m，0)旋转180°，得到新的函数C2的图象，我们称函数C2是函数C1关于点P的相关函数。例如：当m=1时，函数y=(x-3)2+1关于点P(1，0)的相关函数为y=-(x+1)2-1．
（1）当m=0时，
①一次函数y=-x+7关于点P的相关函数为_______；
②点A(5，-6)在二次函数y=ax2-2ax+a(a≠0)关于点P的相关函数的图象上，求a的值；
（2）函数y=(x-2)2+6关于点P的相关函数是y= -(x-10)2-6，则m=_______
（3）当m-1≤x≤m+2时，函数y=x2-6mx+4m2关于点P(m，0)的相关函数的最大值为8，求m的值．
22．（8分）计算:()-1 -cos45° -(2020+π)0+3tan30°
23．（8分）已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．请解答：
（1）点A、C的坐标分别是　　　　 、　　　　 ；
（2）画出△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°后的△AB'C'；
（3）在（2）的条件下，求点C旋转到点C'所经过的路线长(结果保留π)．

24．（8分）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，点的坐标为，请解答下列问题：

（1）画出关于轴对称的，点的坐标为______；
（2）在网格内以点为位似中心，把按相似比放大，得到，请画出；若边上任意一点的坐标为，则两次变换后对应点的坐标为______.
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣2，1），B（﹣1，4），C（﹣3，2）
（1）画出△ABC关于点B成中心对称的图形△A1BC1；
（2）以原点O为位似中心，位似比为1：2，在y轴的左侧画出△ABC放大后的图形△A2B2C2，并直接写出C2的坐标．

26．（10分）如图，已知是的直径，弦于点，是的外角的平分线．求证：是的切线．

参考答案

一、选择题(每小题3分,共30分)
1、C
【分析】设，根据定义得到函数解析式，由方程的有三个不同的解去掉函数图象与直线y=t的交点有三个，即可确定t的取值范围.
【详解】设，由定义得到
，
∵方程恰好有三个不相等的实数根，
∴函数的图象与直线y=t有三个不同的交点，
∵的最大值是
∴若方程恰好有三个不相等的实数根，则t的取值范围是，
故选：C.

【点睛】
此题考查新定义的公式，抛物线与直线的交点与方程的解的关系，正确理解抛物线与直线的交点与方程的解的关系是解题的关键.
2、B
【分析】在直角三角形ACD中，根据正切的意义可求解．
【详解】如图：

在RtACD中，tanC．
故选B．
【点睛】
本题考查了锐角三角比的意义．将角转化到直角三角形中是解答的关键．
3、D
【详解】解：根据垂线段最短，可知AP的长不可小于3
∵△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，∴AB=1，
∴AP的长不能大于1．
∴
故选D．
4、C
【解析】试题分析：直接根据相似三角形面积比等于相似比平方的性质.得出结论：
∵，相似比为1:2，
∴与的面积的比为1:4.
故选C.
考点：相似三角形的性质.
5、B
【分析】根据轴对称和中心对称图形的概念判断即可．
【详解】“赵爽弦图”是中心对称图形，但不是轴对称图形，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查轴对称和中心对称，会判断轴对称图形和中心对称图形是解题的关键．
6、C
【分析】由图形可知：第一层有1个花盆，第二层有1+6=7个花盆，第三层有1+6+12=19个花盆，第四层有1+6+12+18=37个花盆，…第n层有1+6×（1+2+3+4+…+n-1）=1+3n（n-1）个花盆，要求第7层个数，由此代入求得答案即可．
【详解】解：∵第一层有1个花盆，
第二层有1+6=7个花盆，
第三层有1+6+12=19个花盆，
第四层有1+6+12+18=37个花盆，
…
∴第n层有1+6×（1+2+3+4+…+n-1）=1+3n（n-1）个花盆，
∴当n=7时，
∴花盆的个数是1+3×7×（7-1）=1．
故选：C．
【点睛】
此题考查图形的变化规律，解题关键在于找出数字之间的运算规律，利用规律解决问题．
7、D
【分析】根据已知条件,运用勾股定理的逆定理可得该三角形为直角三角形,再根据余弦的定义解答即可.
【详解】解:设分别为,
,
为直角三角形,
.
【点睛】
本题主要考查了勾股定理的逆定理和余弦,熟练掌握对应知识点是解答关键.
8、A
【解析】∵二次函数的开口向下，
∴所以在对称轴的左侧y随x的增大而增大．
∵二次函数的对称轴是，
∴．故选A．
9、B
【分析】根据位似图形的定义（如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．）分别对①②④进行判断，根据相似多边形的面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比对③进行判断．
【详解】解：①位似图形都相似，故该选项正确；
②两个等边三角形不一定是位似图形，故该选项错误；
③两个相似多边形的面积比为5:1．则周长的比为，故该选项错误；
④两个大小不相等的圆一定是位似图形，故该选项正确．
正确的是①和④，有两个，
故选：B
【点睛】
本题考查的是位似图形、相似多边形性质，掌握位似图形的定义、相似多边形的性质定理是解决此题的关键．
10、B
【解析】解：由已知得，母线长l=13，半径r为5，
∴圆锥的侧面积是s=πlr=13×5×π=65π．
故选B．

二、填空题(每小题3分,共24分)
11、-1．
【分析】由题意根据负整数指数幂和零指数幂的定义求解即可．
【详解】解：
＝1﹣2
＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点睛】
本题考查负整数指数幂和零指数幂的定义，熟练掌握实数的运算法则以及负整数指数幂和零指数幂的运算方法是解题的关键．
12、
【分析】设BC=EC=a,根据相似三角形得到，求出a的值，再利用tanA即可求解.
【详解】设BC=EC=a,
∵AB∥CD，
∴△ABF∽△ECF，
∴,即
解得a=（-舍去）
∴tanF==
故答案为：.
【点睛】
此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知矩形的性质及正切的定义.
13、（x﹣1）2＝1
【分析】方程常数项移到右边，两边加上1变形后，即可得到结果．
【详解】解：方程变形得：x2﹣2x＝6，
配方得：x2﹣2x+1＝1，即（x﹣1）2＝1．
故答案为：（x﹣1）2＝1．
【点睛】
本题考查了配方法求解方程,属于简单题,熟悉配方的方法是解题关键.
14、1
【分析】根据圆外切四边形的对边之和相等求出AD+BC，根据四边形的周长公式计算即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是⊙O的外切四边形，
∴AE=AH，DH=DG，CG=CF，BE=BF，
∵AB=AE+EB=5，CD=DG+CG=6，
AH+DH+BF+CF=AE+DG+BE+CG，
即AD+BC=AB+CD=11，
∴四边形ABCD的周长=AD+BC+AB+CD=1，
故答案为：1．

【点睛】
本题考查的是切线长定理，掌握圆外切四边形的对边之和相等是解题的关键．
15、＜
【解析】分析：根据反比例函数的增减性即可得出答案．
详解：∵图像在二、四象限， ∴在每一个象限内，y随着x的增大而增大，
∵1＜2， ∴．
点睛：本题主要考查的是反比例函数的增减性，属于基础题型．对于反比例函数，当k＞0时，在每一个象限内，y随着x的增大而减小；当k＜0时，在每一个象限内，y随着x的增大而增大．
16、1
【解析】分析：设方程的另一个根为m，根据两根之和等于-，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论．
详解：设方程的另一个根为m，
根据题意得：1+m=3，
解得：m=1．
故答案为1．
点睛：本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于-是解题的关键．
17、26°
【分析】连接OD，如图，根据切线的性质得∠ODC=90°，即可求得∠ODA=32°，再利用等腰三角形的性质得∠A=32°，然后根据三角形内角和定理计算即可．
【详解】连接OD，如图，

∵CD与⊙O相切于点D，
∴OD⊥CD，
∴∠ODC=90°，
∴∠ODA=∠CDA-90°=122°-90°=32°，
∵OA=OD，
∴∠A=∠ODA=32°，
∴∠C=180°-∠ADC+∠A=180°-122°-32°=26°．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．
18、
【解析】分析：
由已知条件易得△ACB中，∠ACB=90°，AC=3，AB=5，由此可得BC=4，结合∠ADC=∠ABC，即可由tan∠ADC=tan∠ABC=求得所求的值了.
详解：
∵AB是的直径，
∴∠ACB=90°，
又∵AC=3，AB=5，
∴BC=，
∴tan∠ABC=，
又∵∠ADC=∠ABC，
∴tan∠ADC=.
故答案为：.
点睛：熟记“圆的相关性质和正切函数的定义”解得本题的关键.

三、解答题(共66分)
19、（1）A（1，0），D（4，3）；（2）①当点P的横坐标为2时，求△PAD的面积；②当∠PDA＝∠CAD时，直接写出点P的坐标．
【分析】（1）由于A、D是直线直线y＝x﹣1与抛物线y＝﹣x2+6x﹣5的交点，要求两个交点的坐标，需可联立方程组求解；
（2）①要求△PAD的面积，可以过P作PE⊥x轴，与AD相交于点E，求得PE，再用△PAE和△PDE的面积和求得结果；
②分两种情况解答：过D点作DP∥AC，与抛物线交于点P，求出AC的解析式，进而得PD的解析式，再解PD的解析式与抛物线的解析式联立方程组，便可求得P点坐标；当P点在AD上方时，延长DP与y轴交于F点，过F点作FG∥AC与AD交于点G，则∠CAD＝∠FGD＝∠PDA，则FG＝FD，设F点坐标为（0，m），求出G点的坐标（用m表示），再由FG＝FD，列出m的方程，便可求得F点坐标，从而求出DF的解析式，最后解DF的解析式与抛物线的解析式联立的方程组，便可求得P点坐标．
【详解】（1）联立方程组，
解得，，，
∴A（1，0），D（4，3），
（2）①过P作PE⊥x轴，与AD相交于点E，

∵点P的横坐标为2，
∴P（2，3），E（2，1），
∴PE＝3﹣1＝2，
∴＝3；
②过点D作DP∥AC，与抛物线交于点P，则∠PDA＝∠CAD，

∵y=-x2+6x-5=-（x-3）2+4，
∴C（3，4），
设AC的解析式为：y=kx+b（k≠0），
∵A（1，0），
∴，
∴，
∴AC的解析式为：y=2x-2，
设DP的解析式为：y=2x+n，
把D（4，3）代入，得3=8+n，
∴n=-5，
∴DP的解析式为：y=2x-5，
联立方程组，
解得，，，
∴此时P（0，-5），
当P点在直线AD上方时，延长DP，与y轴交于点F，过F作FG∥AC，FG与AD交于点G，

则∠FGD=∠CAD=∠PDA，
∴FG=FD，
设F（0，m），
∵AC的解析式为：y=2x-2，
∴FG的解析式为：y=2x+m，
联立方程组，
解得，，
∴G（-m-1，-m-2），
∴FG=，FD=，
∵FG=FD，
∴=，
∴m=-5或1，
∵F在AD上方，
∴m＞-1，
∴m=1，
∴F（0，1），
设DF的解析式为：y=qx+1（q≠0），
把D（4，3）代入，得4q+1=3，
∴q=，
∴DF的解析式为：y=x+1，
联立方程组
∴，，
∴此时P点的坐标为(，)，
综上，P点的坐标为（0，-5）或(，)．
【点睛】
本题是一次函数、二次函数、三角形的综合题，主要考查了一次函数的性质，二次函数的图象与性质，三角形的面积计算，平行线的性质，待定系数法，难度较大，第（2）小题，关键过P作x轴垂线，将所求三角形的面积转化成两个三角形的面积和进行解答；第（3）小题，分两种情况解答，不能漏解，考虑问题要全面．
20、 (1)；(2)证明见解析.
【分析】（1）根据直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半可得AB的长度，根据30°所对的直角边等于斜边的一半可得BC的长度，最后根据勾股定理可得AC的长度，计算出周长即可；
（2）如图所示添加辅助线，由（1）可得ΔBCM是等边三角形，可证ΔBCP≌ΔCMN，进而证明ΔBPF≌ΔDCF，根据E是MD中点，得出，根据BPMC，得出，进而得出3EF=2MF即可．
【详解】解：(1) 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点M是AB边的中点，
∴
∴AB=2MC=，
又∵∠A=30°，
∴
由勾股定理可得，
∴△ABC的周长为++6=
(2)过点B作BPMC于P
∵∠ACB=90°，∠A=30° ，
∴
∵M为AB的中点 ，
∴
∴
∵∠ABC=60°
∴ΔBCM是等边三角形
∴∠CBP=∠MCN=30°,BC=CM
∴在ΔBCP与ΔCMN中
∴ΔBCP≌ΔCMN(AAS)
∴BP=CN ∵ CN=CD ∴BP=CD
∵∠BPF=∠DCF=90°
∠BFP=∠DFC
∴ΔBPF≌ΔDCF
∴PF=FC BF=DF
∵E是MD中点，
∴
∵BPMC，
∴
∴，
∴
∴

【点睛】
本题考查含30°直角三角形的性质、全等三角形的性质与判定、旋转的性质，解题的关键是能够综合运用上述几何知识进行推理论证．
21、（1）①；②；（2）6；（3）的值为或．
【分析】（1）①由相关函数的定义，将旋转变换可得相关函数为；
②先求出二次函数的相关函数，然后求出相关函数，再把点A代入，即可得到答案；
（2）两函数顶点关于点P中心对称，可用中点坐标公式获得点P坐标，从而获得m的值；
（3）先确定相关函数，然后根据m的取值范围，对m进行分类讨论，以对称轴在给定区间的左侧，中部，右侧，三种情况分类讨论，获得对应的m的值．
【详解】解：（1）①根据相关函数的定义，
关于点P（0，0）旋转变换可得相关函数为；
故答案为：；
②∵，
关于点的相关函数为．
∵点在二次函数的图象上，
．
解得：．
（2）∵的顶点为（2，6）；
的顶点坐标为（10，-6）；
∵两个二次函数的顶点关于点P（m，0）成中心对称，
∴
故答案为：6；
（3）∵，
关于点的相关函数为．
①当，即时，当时，有最大值为2．

（不符合题意，舍去），．
②当，即时，当时，有最大值为2．
．
,（都不符合题意，舍去）．
③当，即，当，有最大值为2．
．
,（不符合题意，舍去）．
综上，的值为或．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质问题以及中心对称，以及相关函数的定义，旋转的性质，中心对称图形的性质，（3）是本题的难点，需要分三类进行讨论，研究函数的变化轨迹，是很好的一道压轴问题．
22、.
【分析】根据负指数次幂的性质、45°的余弦值、任何非0数的0次幂都等于1和30°的正切值计算即可.
【详解】解：()-1 -cos45° -(2020+π)0+3tan30°
=2--1+
=2-1-1+
=
【点睛】
此题考查的是实数的混合运算，掌握负指数次幂的性质、45°的余弦值、任何非0数的0次幂都等于1和30°的正切值是解决此题的关键.
23、（1）(1，4)；(5，2)；（2）作图见解析；（3）．
【分析】(1)根据图可得，点A坐标为(1，4)；点C坐标为(5，2)；
(2)画出△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°后的△AB′C′；
(3)在(2)的条件下，先求出AC的长，再求点C旋转到点C′所经过的路线长即可；
【详解】解：
（1）点A坐标为(1，4)；点C坐标为(5，2)．
故答案为：(1，4)；(5，2)；
（2）如图所示，△AB'C'即为所求；

（3）∵点A坐标为(1，4)；点C坐标为(5，2)，
∴，
∴点C旋转到C′所经过的路线长；
【点睛】
本题主要考查了作图-旋转变换，轨迹，掌握作图-旋转变换是解题的关键.
24、（1）图见解析，（2，1）；（2）图见解析，
【分析】（1）依次作出点A、B、C三点关于x轴的对称点A1、B1、C1，再顺次连接即可；根据关于x轴对称的点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数写出即可；
（2）根据位似图形的性质作图即可；先求出经过一次变换（关于x轴对称）的点的坐标，再根据关于（1，1）为位似中心的点的坐标规律：横坐标=－2×（原横坐标－1）+1，纵坐标=－2×（原纵坐标－1）+1，代入化简即可.
【详解】解：（1）如图所示，点的坐标为（2，1）；
（2）如图所示，点的坐标为，则其关于x轴对称的点的坐标是（m，－n），关于点位似后的坐标为（，），即两次变换后对应点的坐标为：.
故答案为：.

【点睛】
本题考查了对称变换和位似变换的作图以及对应点的坐标规律探寻，属于常考题型，熟练掌握两种变换作图是解题的关键.
25、（1）画图见解析；（2）画图见解析，C2的坐标为（﹣6，4）．
【解析】试题分析：利用关于点对称的性质得出的坐标进而得出答案；
利用关于原点位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案．
试题解析：(1)△A1BC1如图所示．

(2)△A2B2C2如图所示，点C2的坐标为(－6，4)．
26、见解析
【分析】根据垂径定理可证明∠BAD=∠CAD，再结合角平分线的性质可得∠DAM=∠DAF，由此可证明∠OAM=90°，即可证明AM是的切线．
【详解】证明：∵AB⊥CD，AB是⊙O的直径，
∴，
∴∠BAD=∠CAD，
∵AM是∠DAF的角平分线，
∴∠DAM=∠DAF ，
∵，
∴∠OAM=∠BAD＋∠DAM=90°，
∴OA⊥AM，
∴AM是⊙O的切线，
【点睛】
本题考查切线的判定定理，垂径定理，圆周角定理．理解“经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线”是解决此题的关键．