浙江省杭州高中2010-2011学年高二数学上学期期末考试试题-理.doc

杭高2010学年第一学期期末考试高二数学试卷(理科)
注意事项：
1.本卷考试时间90分，满分100分。
2.本卷所有答案必须答在答题卷上，否则无效。不能使用计算器。
一． 选择题
1．已知命题：，则（ ）
A. B.
C. D.
2．已知复数(是虚单位)，若，则的虛部是（ ）
A. B. C. D.
3．当a＞0时，设命题P：函数在区间（1，2）上单调递增；命题Q：不等式对任意x∈R都成立．若“P且Q”是真命题，则实数a的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
4．已知直线，给出下列四个命题：
①若②若③若④若
其中正确的命题是（ ）
A．①④ B． ②④ C．①③④ D．①②④
5．如图是一几何体的三视图，正视图是一等腰直角三角形，
且斜边长为2；侧视图为一直角三角形；
俯视图为一直角梯形，且,
则异面直线与所成角的正切值是（ ）。

6．已知是球表面上的点，，，，，则球的表面积等于(球的表面积为)（ ）
A．4 B．3 C．2 D．
7．直线l经过A（2，1）、B（1，m2）(m∈R)两点，那么直线l的倾斜角的取值范围是
A． B． C． D．
8．若圆和关于直线对称，则的方程是（ ）

9. 已知、是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．双曲线的一条渐近线与椭圆交于点、，则= （ ）
A. 　B. C. D. +

二． 填空题
11．若复数在复平面上对应的点位于第一象限，则的取值范围是 。
12．抛物线的准线l与y轴交于点P，若l绕点P以每秒弧度的角速度按逆时针方向旋转t秒钟后，恰与抛物线第一次相切，则t等于 ；
13．设成立，可得，
由此推得 　　 ．
14．在三棱柱中，各棱长相等，侧掕垂直于底面，点是侧面的中心，则与平面所成角的大小是 。
15．已知双曲线的左顶点为，右焦点为，为双曲线右支上一点，则 最小值为 _________ ．

三． 解答题
16．(本小题满分10分)
如图（1），是等腰直角三角形，，、分别为、的中点，将沿折起， 使在平面上的射影恰为的中点，得到图（2）．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求三棱锥的体积．
17．（本题满分10分）
在平面直角坐标系xoy中，以C（1，—2）为圆心的圆与直线相切。 （I）求圆C的方程；
（II）是否存在斜率为1的直线l，使得以l被圆C截得的弦AB为直径的圆过原点，若存在，求出此直线方程，若不存在，请说明理由。

18．（本题满分10分）
已知函数，。
（Ⅰ）对，有成立，求实数的取值范围。
（Ⅱ）对，，使，求实数的取值范围。

19．（本题满分10分）
右图为一简单组合体，其底面ABCD为正方形，
平面，，且，
（Ⅰ）若N为线段的中点，求证：平面；
（Ⅱ）若，求平面PBE与
平面ABCD所成的二面角的大小．

20．已知抛物线的方程为，直线
与抛物线相交于两点，
点在抛物线上.
（Ⅰ）若
求证：直线的斜率为定值；
（Ⅱ）若直线的斜率为且点到
直线的距离的和为，试判断
的形状，并证明你的结论．

杭高2011年高二数学期末试卷（理科）

三．解答题
16．解：（Ⅰ）证法一：在中，是等腰直角的中位线，
-----------1分
在四棱锥中，，，
平面， -----------3分
又平面,
-----------5分
证法二：同证法一 -----------1分

平面， -----------3分
又平面,
-----------5分
（Ⅱ）在直角梯形中，
,
-----------7分
又垂直平分，
-----------8分
∴
三棱锥的体积为 -----------10分
17．解：（1）设圆的方程是
依题意得，所求圆的半径，
∴所求的圆方程是 ………………4分
（2）设存在满足题意的直线l，设此直线方程为
设直线l与圆C相交于A，B两点的坐标分别为，
依题意有OA⊥OB
即 ………………6分
因为
消去y得：
所以 ………………8分

解得 ………………9分
经检验都符合题意
………………10分
18．解：（Ⅰ）由题意，对任意恒成立，只需成立，即。…………5分
（Ⅱ）（1）当时，在上的值域，
在上的值域，满足，所以；
（2）当时，在上的值域，
在上的值域，由题意，，得；
（3）当时，在上的值域，
在上的值域，由题意，，得；
综上，。………………10分

（Ⅱ）若直线的斜率为由（1）可得：

，
……………………8分
又点到直线的距离的和为，
所以点到直线的距离均为

所以是直角三角形． …………………………………………………10分

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