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(名师选题名师选题)全国通用版高中数学第五章三角函数基础知识题库全国通用版高中数学第五章三角函数基础知识题库 单选题 1、将函数()=sin(+3)(0)的图像向左平移2个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是（）A16B14C13D12 答案：C 分析：先由平移求出曲线的解析式，再结合对称性得2+3=2+,，即可求出的最小值.由题意知：曲线为=sin(+2)+3=sin(+2+3)，又关于轴对称，则2+3=2+,，解得=13+2,，又 0，故当=0时，的最小值为13.故选：C.2、已知角的终边上一点P的坐标为(sin56,cos56)，则角的最小正值为（）A6B23C76D53 答案：D 分析：先根据角终边上点的坐标判断出角的终边所在象限，然后根据三角函数的定义即可求出角的最小正值 因为sin56 0，cos56 0，所以角的终边在第四象限，根据三角函数的定义，可知 sin=cos56=32，故角的最小正值为=2 3=53 故选：D 3、筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到应用.假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.如图，将筒车抽象为一个几何图形（圆），筒车半径为 4m，筒车转轮的中心O到水面的距离为 2m，筒车每分钟沿逆时针方向转动 4 圈.规定：盛水筒M对应的点P从水中浮现（即P0时的位置）时开始计算时间，且以水轮的圆心O为坐标原点，过点O的水平直线为x轴建立平面直角坐标系.设盛水筒M从点P0运动到点P时所经过的时间为t（单位：s），且此时点P距离水面的高度为h（单位：m），则点P第一次到达最高点需要的时间为（）s.A2B3C5D10 答案：C 分析：设点离水面的高度为()=sin(+)+2，根据题意求出,，再令()=6可求出结果.设点离水面的高度为()=sin(+)+2，依题意可得=4，=860=215，=6，所以()=4sin(215 6)+2，令()=4sin(215 6)=6，得sin(215 6)=1，得215 6=2+2，得=15+5，因为点P第一次到达最高点，所以0 2215=15，所以=0,=5s.故选：C 4、在地球公转过程中，太阳直射点的纬度随时间周而复始不断变化，太阳直射点回归运动的一个周期就是一个回归年.某科研小组以某年春分（太阳直射赤道且随后太阳直射点逐渐北移的时间）为初始时间，统计了连续 400 天太阳直射点的纬度值（太阳直射北半球时取正值，直射南半球时取负值）.设第天时太阳直射点的纬度值为，该科研小组通过对数据的整理和分析.得到与近似满足=23.4392911sin0.01720279.则每1200 年中，要使这 1200 年与 1200 个回归年所含的天数最为接近.应设定闰年的个数为（）（精确到 1）参考数据0.01720279 182.6211 A290B291C292D293 答案：B 分析：设闰年个数为，根据闰年个数对应天数一致的原则建立关系式366+365(1200 )=365.2422 1200，求解即可.解：=2=20.01720279=2 182.6211=365.2422，所以一个回归年对应的天数为365.2422天 假设 1200 年中，设定闰年的个数为，则平年有1200 个，所以366+365(1200 )=365.2422 1200 解得：=0.2422 1200=290.64.故选：B.5、已知函数()=sin(2+3)，为了得到函数()=cos(2+3)的图象只需将=()的图象（）A向左平移4个单位 B向右平移4个单位 C向左平移2个单位 D向右平移2个单位 答案：A 分析：利用三角函数的平移结合诱导公式即可求解.解：因为 sin(2+3+2)=cos(2+3)所以sin(2+3)sin(2+2+3)，只需将f(x)的图象向左平移4个单位，故选：A.6、若sin+cossincos=12，则tan(+4)的值为（）A2B2C12D12 答案：C 分析：利用弦化切和两角和的正切展开式化简计算可得答案.因为sin+cossincos=12所以tan+1tan1=12，解得tan=3，于是tan(+4)=tan+tan41tantan4=3+11(3)=12 故选：C.7、若扇形周长为 20，当其面积最大时，其内切圆的半径r为（）A5 1sin1B1sin1+32C5sin11+sin1D5+51+sin1 答案：C 分析：先根据扇形周长求解出面积取最大值时扇形的圆心角和半径，然后根据图形中的内切关系得到关于内切圆半径的等式，由此求解出的值.设扇形的半径为，圆心角为，面积为，因为2+=20，所以=122=(10 )(10+2)2=25，取等号时10 =，即=5，所以面积取最大值时=5,=2，如下图所示：设内切圆圆心为，扇形过点的半径为，为圆与半径的切点，因为+=5，所以+sin=5，所以+sin1=5，所以=5sin11+sin1，故选：C.8、cos212 cos2512=（）A12B33C22D32 答案：D 分析：由题意结合诱导公式可得cos212 cos2512=cos212 sin212，再由二倍角公式即可得解.由题意，cos212 cos2512=cos212 cos2(212)=cos212 sin212=cos6=32.故选：D.9、已知tan=2，则2sin+coscossin=（）A4B12C1D13 答案：C 分析：利用齐次化可求三角函数式的值.2sin+coscossin=2tan+11tan=4+11(2)=1，故选：C 10、设0 ，sin+cos=713，则1tan1+tan的值为（）A177B717C177D717 答案：C 分析：依题意可知2 ，得到cos sin 0，再利用正余弦和差积三者的关系可求得cos sin的值，将所求关系式切化弦，代入所求关系式计算即可 由sin+cos=713，平方得到1+sin2=49169，sin2=49169 1=120169=2sincos，0 ，2 ，cos 0，cos sin 0；令=cos sin(0)，则2=1 sin2，2=1 sin2=1+120169=289169，0)，若对于任意实数，()在区间4,34上至少有 2 个零点，至多有 3 个零点，则的取值范围是（）A83,163)B4,163)C4,203)D83,203)答案：B 分析：=+，只需要研究sin=12的根的情况，借助于=sin和=12的图像，根据交点情况，列不等式组，解出的取值范围.令()=0，则sin(+)=12 令=+，则sin=12 则问题转化为=sin在区间4+,34+上至少有两个，至少有三个t，使得sin=12，求的取值范围.作出=sin和=12的图像，观察交点个数，可知使得sin=12的最短区间长度为 2，最长长度为2+23，由题意列不等式的：2 (34+)(4+)2+23 解得：4 163.故选：B 小提示：研究y=Asin(x+)+B的性质通常用换元法（令=+），转化为研究=sin的图像和性质较为方便.12、小说三体中的“水滴”是三体文明派往太阳系的探测器，由强相互作用力材料制成，被形容为“像一滴圣母的眼泪”小刘是三体的忠实读者，他利用几何作图软件画出了他心目中的水滴（如图），由线段AB，AC和优弧BC围成，其中BC连线竖直，AB，AC与圆弧相切，已知“水滴”的水平宽度与竖直高度之比为74，则cos=（）A1725B437C45D57 答案：A 分析：设优弧BC的圆心为O，半径为R，连接OA，OB，OC，如图，进而可得“水滴”的水平宽度为|+，竖直高度为2，根据题意求得=52，由切线的性质和正弦函数的定义可得sin=25，结合圆的对称性和二倍角的余弦公式即可得出结果.设优弧BC的圆心为O，半径为R，连接OA，OB，OC，如下图所示 易知“水滴”的水平宽度为|+，竖直高度为2，则由题意知+2=74，解得=52，AB与圆弧相切于点B，则 ，在Rt 中，sin=52=25，由对称性可知，=，则=2，cos=1 2sin2=1 2 (25)2=1725，故选：A 填空题 13、已知函数()=3sin2 2cos2+1，且方程()=0在3,6内有实数根，则实数a的取值范围是_ 答案：2,1 分析：由题意可得=()在3,6内有实数根，a的取值范围即为函数()的值域.()=3sin2 2cos2+1=3sin2 cos2=2sin(2 6)，方程()=0在3,6内有实数根，即=()在3,6内有实数根，3,6，2 6 56,6，得2 ()1，即a的取值范围是2,1，所以答案是：2,1 14、当 (0,2)时，若cos(56)=12，则sin(+6)的值为_ 答案：32#123 分析：先由已知条件求出sin(56)，然后利用诱导公式可求得结果.(0,2)，56 (3,56)，sin(56)=1 cos2(56)=32，sin(+6)=sin (56)=sin(56)=32 所以答案是：32 15、计算：2cos50 tan402=_.答案：32#123 分析：先切化弦，再根据二倍角的正弦公式、诱导公式、两角差的余弦公式化简即可得解.2cos50 tan402=2sin40 sin402cos40=4sin40cos40 sin402cos40=2sin80 sin402cos40=2cos10 sin402cos40=2cos(40 30)sin402cos40=3cos40+sin40sin402cos40=32.所以答案是：32 16、函数ytan2x4tan x1，x4,4的值域为_ 答案：4，4 分析：根据正切函数的单调性可得1tan x1，令 tan xt，利用二次函数的性质即可求解.4x4，1tan x1.令 tan xt，则t1，1，yt24t1(t2)25.当t1，即x4时，ymin4，当t1，即x4时，ymax4.故所求函数的值域为4，4 所以答案是：4，4 小提示：本题考查了正切函数的单调性、二次函数的单调性求值域，属于基础题.17、已知一扇形的弧所对的圆心角为3，半径=20cm，则扇形的弧长为_cm.答案：203#203 分析：由弧长公式直接求解即可.由弧长公式可得，弧长为3 20=203 cm.所以答案是：203.解答题 18、已知函数()=cos2+3sincos 12()（1）求()的最小正周期；（2）讨论()在区间4,4上的单调性；答案：（1）.（2）()在区间4,6上单调递增；在区间6,4上单调递减.分析：（1）根据题意，利用三角恒等变换化简()为标准正弦型三角函数，利用最小正周期求解公式即可求得结果；（2）先求得()在上的单调增区间，结合区间4,4，即可求得结果.（1）依题意，()=cos2+3sincos 12=1+cos22+32sin2 12=sin(2+6)所以=2|=.（2）依题意，令2+2 2+62+2，Z，解得3+6+，所以()的单调递增区间为3+,6+，Z.设=4,4，=3+,6+，易知 =4,6，所以当 4,4时，()在区间4,6上单调递增；在区间6,4上单调递减.小提示：本题考查利用三角恒等变换化简三角函数解析式，以及用公式法求正弦型三角函数的最小正周期，用整体法求正弦型三角函数的单调区间，属综合中档题.19、如图，有一景区的平面图是一个半圆形，其中O为圆心，直径的长为2km，C，D两点在半圆弧上，且=，设=；（1）当=12时，求四边形的面积.（2）若要在景区内铺设一条由线段，和组成的观光道路，则当为何值时，观光道路的总长l最长，并求出l的最大值.答案：（1）624+14；（2）5 分析：（1）把四边形分解为三个等腰三角形：,，利用三角形的面积公式即得解；（2）利用表示（1）中三个等腰三角形的顶角，利用正弦定理分别表示，和，令=sin2，转化为二次函数的最值问题，即得解.（1）连结，则=12,=56 四边形的面积为2 12 1 1 sin12+12 1 1 sin56=624+14 （2）由题意，在 中，=2，由正弦定理 sin=sin(2)=1cos2 =sincos2=2sin2 同理在 中，=,=2，由正弦定理 sin(2)=sin =sin2sin=2cos =2+4sin2+2cos=2+4sin2+2(1 2sin22),0 2 令=sin2(0 0,0,|2)的部分图象如图所示 (1)求()的解析式及对称中心坐标：(2)先把()的图象向左平移6个单位，再向上平移 1 个单位，得到函数()的图象，若当 4,6时，求()的值域 答案：(1)()=2sin(2+3)1，(26,1)()(2)0,2 分析：（1）先根据图象得到函数的最大值和最小值，由此列方程组求得,的值，根据周期求得的值，根据(12)=1求得的值，由此求得()的解析式，进而求出()的对称中心；（2）根据三角变换法则求得函数()的解析式，再换元即可求出()的值域(1)由图象可知：+=1+=3,解得：=2,=1，又由于2=71212,可得：=,所以=2=2 由图像知(12)=1,sin(2 12+)=1,又因为36+23 所以2 12+=2,=3.所以()=2sin(2+3)1 令2+3=(),得：=26()所以()的对称中心的坐标为(26,1)()(2)依题可得()=(+6)+1=2sin(2+23)，因为 4,6，令2+23=6,，所以sin 0,1，即()的值域为0,2