全国通用版高中数学第六章平面向量及其应用知识点梳理.pdf

(名师选题名师选题)全国通用版高中数学第六章平面向量及其应用知识点梳理全国通用版高中数学第六章平面向量及其应用知识点梳理 单选题 1、在 中，角,的对边分别是,，若=45,=60,=23，则 等于（）A624B6+24C6 2D6+2 答案：D 分析：先求出，再由正弦定理求解即可.解：在 中，=180 45 60=75 由正弦定理可知sin=sin，所 以sin75=23sin60，故=23sin75sin60=4sin75=4sin(30+45)=4 6+24=6+2 故选：D.2、我国南宋著名数学家秦九韶发现了“三斜”求职公式，即 的三个内角,所对的边分别为,，则 的面积=1422(2+222)2.已知在 中，cos=6,=22，则 面积的最大值为（）A33B233C2D4 答案：D 分析：由条件cos=6,=22得2+2=20，由基本不等式得 10，再由=1422(2+222)2可求解.cos=2+222=2+222=6，又 =22，2+2=12+2=20.2+22=10（当且仅当=10时取等号）.=1422(2+222)2=14(22 62)14(102 62)=4，面积的最大值为 4.故选：D 3、下列说法错误的是（）A向量 的长度与向量 的长度相等 B零向量与任意非零向量平行 C长度相等方向相反的向量共线 D方向相反的向量可能相等 答案：D 分析：向量有方向、有大小，平行包含同向与反向两种情况.向量相等意味着模相等且方向相同，根据定义判断选项.A.向量 与向量 的方向相反，长度相等，故 A 正确；B.规定零向量与任意非零向量平行，故 B 正确；C.能平移到同一条直线的向量是共线向量，所以长度相等，方向相反的向量是共线向量，故 C 正确；D.长度相等，方向相同的向量才是相等向量，所以方向相反的向量不可能相等，故 D 不正确.小提示：本题主要考查向量的基本概念及共线（平行）向量和相等向量的概念，属于基础概念题型.4、在 中，已知=120，=19，=2，则=（）A1B2C5D3 答案：D 分析：利用余弦定理得到关于BC长度的方程，解方程即可求得边长.设=,=,=，结合余弦定理：2=2+2 2cos可得：19=2+4 2 cos120，即：2+2 15=0，解得：=3（=5舍去），故=3.故选：D.小提示：利用余弦定理及其推论解三角形的类型：(1)已知三角形的三条边求三个角；(2)已知三角形的两边及其夹角求第三边及两角；(3)已知三角形的两边与其中一边的对角，解三角形 5、下列说法正确的是（）A向量/就是 所在的直线平行于 所在的直线 B长度相等的向量叫做相等向量 C若 =,=，则 =D共线向量是在一条直线上的向量 答案：C 分析：根据共线向量的定义可判断 A，D；由相等向量的定义可判断 B，C；进而可得正确选项.对于 A：根据共线向量的定义可知向量/就是 所在的直线与 所在的直线平行或重合，故选项 A 不正确；对于 B：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，故选项 B 不正确；对于 C：若 =,=，则 =，故选项 C 正确；对于 D：方向相同或相反的非零向量叫平行向量，也叫共线向量，零向量与任意向量共线，故选项 D 不正确；故选：C.6、已知平面向量,满足|=2,|=1,(+2)，则向量,的夹角为（）A3B4C23D34 答案：D 解析：利用 (+2)=0求出 ，再求出夹角的余弦，再得到夹角即可.(+2),(+2)=0，即 2+2 =0,=1，cos,=|=121=22 ,0,=34 故选：D 7、已知菱形的对角线相交于点，点为的中点，若=2，=60，则=（）A2B12C72D12 答案：B 分析：根据题意,以对角线交点为坐标原点，对角线所在直线为,轴建立直角坐标系,利用坐标法求解.解：如图，以点为坐标原点，,所在直线为,轴建立平面直角坐标系，由=2，=60，所以(0,3)，(1,0)，(1,0)，(0,32)，所以=(1,3),=(1,32)，所以=1 32=12.故选：B 小提示：本题考查向量的数量积运算，解题的关键在于根据题意建立平面直角坐标系，利用坐标法求解，考查运算求解能力，是中档题.8、“黄金三角形”是几何历史上的瑰宝，它有两种类型，其中一种是顶角为 36的等腰三角形，暂且称为“黄金三角形A”如图所示，已知五角星是由 5 个“黄金三角形A”与 1 个正五边形组成，其中sin18=514，则阴影部分面积与五角形面积的比值为（）A514B55C5+16D3520 答案：B 分析：在三角形中，由sin18值，可得=512，即=512，设 的面积为x，由此可知 和 的面积均为512，的面积为x，由此即可求出结果.如图所示，依题意，在三角形中，sin18=2=514，故=512；所以=512，设 的面积为x，则 面积为512，同理 的面积为512，的面积为x，则阴影部分面积与五角形面积的比值为2+25122512+6=55.故选：B 9、某人先向东走 3km，位移记为，接着再向北走 3km，位移记为，则+表示（）A向东南走32kmB向东北走32km C向东南走33kmD向东北走33km 答案：B 分析：由向量的加法进行求解.由题意和向量的加法，得+表示先向东走 3km，再向北走 3km，即向东北走32km.故选：B.10、在 中，点D在边AB上，=2记=，=，则=（）A3 2 B2 +3 C3 +2 D2 +3 答案：B 分析：根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出 因为点D在边AB上，=2，所以=2，即 =2()，所以=3 2=3 2 =2 +3 故选：B 11、给出下列物理量：密度；温度；速度；质量；功；位移.正确的是()A是数量，是向量 B是数量，是向量 C是数量，是向量 D是数量，是向量 答案：D 分析：根据向量的定义即可判断.密度、温度、质量、功只有大小，没有方向，是数量；速度、位移既有大小又有方向，是向量 故选：D 12、下列命题：（1）零向量没有方向；（2）单位向量都相等；（3）向量就是有向线段；（4）两向量相等，若起点相同，终点也相同；（5）若四边形为平行四边形，则=,=其中正确命题的个数是（）A1B2 C3D4 答案：A 分析：零向量的方向是任意的可判断（1）；单位向量方向不一定相同可判断（2）；有向线段只是向量的一种表示形式可判断（3）；根据向量的二要素可判断（4）；由相等向量的定义可判断（5），进而可得正确答案.对于（1）：零向量不是没有方向，而是方向是任意的，故（1）不正确 对于（2）：单位向量只是模均为单位1，而方向不相同，所以单位向量不一定都相等，故（2）不正确 对于（3）：有向线段只是向量的一种表示形式，向量是可以自由移动，有向线段不可以自由移动，不能把两者等同起来，故（3）不正确，对于（4）：两向量相等，若起点相同，终点也相同；故（4）正确；对于（5）：如图：若四边形为平行四边形，则=，且方向相同，=但方向相反，所以 与 不相等，故（5）不正确；所以正确的有一个，故选：A.填空题 13、已知非零向量 ，满足|=2|，且()(3 +2)，则 与 的夹角为_ 答案：34#135 分析：由垂直转化得数量积为 0，再将数量积转化为模长公式，即可求解.由()(3 +2)可得()(3 +2)=0，即3 2 2 2 =0，因为|=2|，不妨令|=1，则|=2，3 2 2 2 =0 3|2 2|2|cos,=0，代值化简得cos,=22，因为向量夹角范围为0,，故 与 的夹角为34.所以答案是：34 14、已知向量 =(,3),=(1,+1)若 ，则=_ 答案：34#0.75 分析：直接由向量垂直的坐标表示求解即可.由题意知：=+3(+1)=0，解得=34.所以答案是：34.15、若向量 ，不共线，且|=4，|=7，则|+|的取值范围是_ 答案：(3,11)分析：设向量 ，的夹角为，利用|+|=(+)2展开计算，再将1 cos 1代入，写出|+|的范围.设向量 ，的夹角为，因为|=4，|=7，所以|+|=(+)2=|2+2|cos+|2=16+2 4 7 cos+49=65+56cos，又向量 ，不共线，所以1 cos 1，所以3 65+56cos 11，即3|+|11.所以答案是：(3,11).16、已知向量,满足：=|=1,|+|=5，则向量 与的夹角是_ 答案：4 分析：由|+|=5平方可求得|=2，再利用定义即可求出夹角.=|=1,|+|=5，|+|2=2+2 +2=1+2+|2=5，则|=2，则cos=|=12=22，0,，故向量 与的夹角是4.所以答案是：4.17、已知向量 =（4，3），=（6，m），且 ，则m=_.答案：8.分析：利用 转化得到 =0加以计算，得到.向量 =（4,3），=（6,），则 =0，4 6+3=0，=8.小提示：本题考查平面向量的坐标运算、平面向量的数量积、平面向量的垂直以及转化与化归思想的应用.属于容易题.解答题 18、在 中，sin2=3sin(1)求；(2)若=6，且 的面积为63，求 的周长 答案：(1)6(2)6+63 分析：（1）利用二倍角的正弦公式化简可得cos的值，结合角的取值范围可求得角的值；（2）利用三角形的面积公式可求得的值，由余弦定理可求得的值，即可求得 的周长.（1）解：因为 (0,)，则sin 0，由已知可得3sin=2sincos，可得cos=32，因此，=6.（2）解：由三角形的面积公式可得=12sin=32=63，解得=43.由余弦定理可得2=2+2 2cos=48+36 2 43 6 32=12，=23，所以，的周长为+=63+6.19、在平行四边形ABCD中，=，=，（1）如图 1，如果E，F分别是BC，DC的中点，试用 ,分别表示,.（2）如图 2，如果O是AC与BD的交点，G是DO的中点，试用 ,表示.答案：（1）12 +，=12（2）=14 +34.分析：（1）利用平面向量基本定理，结合平面向量线性运算性质、平行四边形的性质进行求解即可；（2）利用平面向量基本定理，结合平面向量线性运算性质、平行四边形的性质进行求解即可.（1）=+=+12=12=12 +，=+=+12=12=12；（2）=+=+14=+14(+)=14+34=14 +34.20、设作用于同一点的三个力1，2，3 处于平衡状态，若|1|=1，|2|=2，且1 与2 的夹角为23，如图所示（1）求3 的大小；（2）求2 与3 的夹角 答案：（1）|3|=3；（2）56 解析：（1）由题意|3|=|1+2|，利用平方，再开方的方法，即可求3 的大小；（2）由3=(1+2)，可得3 2=1 2 2 2，从而可求的大小 解：（1）由题意|3|=|1+2|1|=1，|2|=2，且1 与2 的夹角为23，|3|=|1+2|=1+4+2 1 2 (12)=3（2）3=(1+2)，3 2=1 2 2 2，3 2 cos=1 2 (12)4 cos=32=56 小提示：本题考查向量知识的运用，考查向量的模、夹角的计算，属于中档题