大学物理习题答案全解1~10章.docx

第66页共66页 1 质点运动学习题详解 习题册-上-1
习题一
一、选择题
1． 质点沿轨道AB作曲线运动，速率逐渐减小，图中哪一种情况正确地表示了质点在C处的加速度? [ ]

(A) (B) (C) (D)
答案：C
解：加速度方向只能在运动轨迹内侧，只有[B]、[C]符合；又由于是减速运动，所以加速度的切向分量与速度方向相反，故选（C）。

2． 一质点沿x轴运动的规律是（SI制）。则前三秒内它的 [ ]
（A）位移和路程都是3m； （B）位移和路程都是-3m；
（C）位移是-3m，路程是3m； （D）位移是-3m，路程是5m。
答案：D
解：
，令，得。即时x取极值而返回。所以：

3． 一质点的运动方程是，R、为正常数。从t＝到t=时间内
（1）该质点的位移是 [ ]
（A） -2R； （B）2R； （C） -2； （D）0。
（2）该质点经过的路程是 [ ]
（A）2R； （B）； （C）0； （D）。
答案：B；B。
解：（1），；
（2）Dt内质点沿圆周运动了半周，故所走路程为pR。或者：
，

4． 一细直杆AB，竖直靠在墙壁上，B端沿水平方向以速度滑离墙壁，则当细杆运动到图示位置时，细杆中点C的速度 [ ]
（A）大小为，方向与B端运动方向相同；
（B）大小为，方向与A端运动方向相同；
（C）大小为, 方向沿杆身方向；
（D）大小为 ，方向与水平方向成角。
答案：D
解：对C点有
位置：；
速度：；所以，.
（B点：）。

5． 某人以4km/h的速率向东前进时，感觉风从正北吹来，如将速率增加一倍，则感觉风从东北方向吹来。实际风速与风向为 [ ]
(A) 4km/h，从北方吹来； (B) 4km/h，从西北方吹来；
(C)km/h，从东北方吹来； (D) km/h，从西北方吹来。
答案：D
解：
，
，

（从西北方吹来）。

二、填空题
1． 一物体作如图所示的斜抛运动，测得在轨道P点处速度大小为v，其方向与水平方向成30°角。则物体在P点的切向加速度
aτ = ，轨道的曲率半径= 。
答案：；。
解：
。又因 ，所以

2． 一质点在xy平面内运动，其运动学方程为，其中分别以米和
秒为单位，则从t = 1秒到t = 3秒质点的位移为 ；t =2秒时质点的加速
度为 ；质点的轨迹方程是 。
答案：；；。
解： ，
，消去时间t得 。

3. 一质点沿半径为R的圆周运动，运动学方程为，其中都是常数，t 时刻，质点的加速度矢量 ；加速度大小为b时，质点沿圆周运行的圈数为 。
答案：；。
解： （1），

（2） 令， 得
， 得

4．火车静止时，侧窗上雨滴轨迹向前倾斜角。火车以某一速度匀速前进时，侧窗上雨滴轨迹向后倾斜角，火车加快以另一速度前进时，侧窗上雨滴轨迹向后倾斜角，火车加速前后的速度之比为 。
答案：
解：设为火车静止时观察到的雨滴的速度，已知其倾角为（这也是雨滴相对地面的速度和倾角）。设火车以行驶时，雨滴相对火车的速度为，已知其倾角为，根据伽利略变换：
同理，火车以行驶时，雨滴相对火车的速度为，已知其倾角为，所以
(1) ； (2)
(3) ； (4)
联立（1）（2）式得，
联立（3）（4）式得，
所以，火车加速前后速度之比为

5.一质点沿半径为0.1m的圆周运动，其用角坐标表示的运动学方程为，的单位为rad，t 的单位为s。问t = 2s时，质点的切向加速度 法向加速度 ；等于 rad时，质点的加速度和半径的夹角为45°。
答案：；；。
解：（1），；，。
t = 2s时，，
（2）设时，和半径夹角为45°，此时，即，得
所以

三、计算题
1．一质点由静止开始做直线运动，初始加速度为，以后加速度均匀增加，每经过秒增加，求经过t秒后质点的速度和位移。
答案：；。
由题意可知，角速度和时间的关系为
根据直线运动加速度定义

时刻， 所以
又，所以
时刻， 所以

2．一质点以初速度作一维运动，所受阻力与其速率成正比，试求当质点速率为时，质点经过的距离与质点所能行经的总距离之比。
答案：。
解：质点作一维运动。初始条件：时，，。又由题意，质点的加速度可表示为

式中，k为大于零的常数。
解法一：由加速度的定义有

分离变量
由初始条件时，有

积分得

所以
由初始条件时，积分得

上式可写为
其中，为质点所能行经的最大距离。
联立式（1）和式（2），得
故
将代入上式，得

解法二：由加速度的定义，并作变量替换有

即
由初始条件时，有

积分得

由上式得。故当时，

又由及式（3），有
由初始条件时，积分得

即
可见，质点所能行经的最大距离为
故当时，由式（4）及上式得

3．在离水面高度为h的岸边，有人用绳子拉船靠岸，船在离岸边s距离处，当人以速率v0匀速收绳时，试求船的速率和加速度大小。
答案：；。
解：建立如图所示的坐标系。
根据题意可得
由上图可得
船的速率
船的加速度大小
当 x = s时，，

4．如图，一超音速歼击机在高空 A 时的水平速率为1940 km/h，沿近似于圆弧的曲线俯冲到点B，其速率为2192 km/h，所经历的时间为3s，设圆弧 AB的半径约为3.5km，且飞机从A 到B 的俯冲过程可视为匀变速率圆周运动，若不计重力加速度的影响，求：（1）飞机在点B 的加速度；（2）飞机由点A 到点B 所经历的路程。
答案：（1），与法向成角；（2）。
解：（1）因飞机作匀变速率运动，所以和为常量
，，
已知，
，，所以
在点 B 的法向加速度
在点 B 的总加速度大小
与法向之间夹角
（2）在时间t内矢径所转过的角度为
飞机经过的路程为

5．如图所示，一条宽度为d的小河，已知河水的流速随着离开河岸的距离成正比地增加，靠两岸边河水的流速为零，而在河中心处流速最大，为。现有一人以不变的划船速度u沿垂直于水流方向从岸边划船渡河，试求小船到达河心之前的运动轨迹。
答案：，即运动轨迹为抛物线。
解：以河岸为参照系，建立如图所示的直角坐标。根据题意，初始条件为时，，，。
又根据题意，当时，水流速度可表示为 ，
且当时，。故
即
对小船有
，
利用前面各式及初始条件，对上两式分别积分，得
，
联立消去t，得

上式即为小船渡河的运动轨迹方程，为一抛物线。
注意，上式是小船划至河中心之前的轨迹方程。当时，水流速度应为

此时有
，
根据前半部的计算结果知，在河心，即时，，。
以此为新的初始条件代入，积分

可解得，当时

可见小船运动轨迹仍为抛物线。..
习题二

一、选择题
1．用铁锤把质量很小的钉子敲入木板，设木板对钉子的阻力与钉子进入木板的深度成正比。在铁锤敲打第一次时，能把钉子敲入1.00cm。如果铁锤第二次敲打的速度与第一次完全相同，那么第二次敲入的深度为 [ ]
（A）0.41cm； （B）0.50cm； （C）0.73cm； （D）1.00cm。
答案：A
解：

2． 一轻绳跨过一定滑轮，两端各系一重物，它们的质量分别为和，且 (滑轮质量及一切摩擦均不计)，此时系统的加速度大小为a，今用一竖直向下的恒力代替，系统的加速度大小为，则有 [ ]
（A）； （B）； （C）； （D）条件不足，无法确定。
答案：B
解：

，所以，。

3．对质点组有以下几种说法：
（1）质点组总动量的改变与内力无关；（2）质点组总动能的改变与保守内力无关；（3）质点组机械能的改变与保守内力无关。在上述说法中，[ ]
（A）只有（1）是正确的； 　　　　　 （B）（1）、（3）是正确的；
（C）（1）、（2）是正确的；　　　　 （D）（2）、（3）是正确的。
答案：B
解：略

A
B
４．如图所示，系统置于以g/2加速度上升的升降机内，A、B两物块质量均为m，A所处桌面是水平的，绳子和定滑轮质量忽略不计。
（1）若忽略一切摩擦，则绳中张力为 [ ]
（A）mg；（B）mg/2；（C）2mg；（C）3mg/4。
（2）若A与桌面间的摩擦系数为 (系统仍加速滑动)，则绳中张力为 [ ]
A
B
（A）； （B）；
（C）； （C）。
答案：（1）D；（2）C。
解：（1）受力分析
B：
A：，

A
B
，，
（2）
，

，

5． 沙子从h = 0.8m高处落到以3m/s速度水平向右运动的传送带上。取g = 10m/s2，则传送带给予沙子的作用力的方向 [ ]
（A）与水平夹角向下； （B）与水平夹角向上；
（C）与水平夹角向上； （D）与水平夹角向下。
答案：B
解：

二、填空题
1．如图，已知水深为1.5m，水面至街道的距离为5m。把水从面积为50m2的地下室中抽到街道上来所需做的功为 。
答案：
解：该功数值上等于同一过程中重力做的功，取坐标如图，则有：

抽水所需的功

2．质量为m的质点在变力Ｆ=F0 (1－kt)（F0、k为常量）作用下沿ox轴作直线运动。若t =０时，质点在坐标原点，速度为v0，则质点运动微分方程为 ；速度随时间变化规律为v = ；质点运动学方程x = 。
答案：；；。
解： （1）
，所以，微分方程为：
（2）
所以，速度为：
（3）
运动方程为：

3．质量为m的子弹，以水平速度v0射入置于光滑水平面上的质量为M的静止砂箱，子弹在砂箱中前进距离l后停在砂箱中，同时砂箱向前运动的距离为S，此后子弹与砂箱一起以共同速度匀速运动，则子弹受到的平均阻力 ；砂箱与子弹系统损失的机械能 DE = 。
（注意：此题第一问有多种解法，也有多种答案）
答案：；。
解：设共同运动的速率为， 则
，
子弹停止时相对地面移动距离l + s，则有

能量损失

4． 如图所示，质量m =2.0kg的质点，受合力的作用，沿ox轴作直线运动。已知t =０时x0=0，v0=0，则从t = 0到t = 3s这段时间内，合力的冲量为 ；质点的末速度大小为 。
答案：；。
解：

；

5．一轻质弹簧的劲度系数为 k = 100N/m，用手推一质量m = 0.1kg的物体A把弹簧压缩到离平衡位置为x1 = 0.02m，如图所示。放手后，物体沿水平面移动距离x2 = 0.1m后停止。求物体与水平面间的滑动摩擦系数为 。
答案：0.2
解：在x1处，物体和弹簧分离，在物体整个运动过程中，弹性力做功，摩擦力做功，根据动能定理有，解得

三、计算题
A
B
T1
T2
m3
m2
m1
1． 图中A为定滑轮，B为动滑轮，三个物体m1=200g，m2=100g，m3=50g，滑轮及绳的质量以及摩擦均忽略不计。求：
（1）每个物体的加速度；
（2）两根绳子的张力T1与T2。
答案：（1），，；
（2），。
解：设两根绳子的张力分别为T1、T2；
m2、m3相对B轮的加速度为；
m1、m2、m3的加速度分别为a1、a2、a3。
根据牛顿运动定律
；
；
由以上六式解得

，加速度方向如图所示。

2．质量为60Kg的人以8Km/h的速度从后面跳上一辆质量为80Kg的，速度为2.9Km/h的小车，试问小车的速度将变为多大；如果人迎面跳上小车，结果又怎样？
答案：（1）；（2）。
解：（1）设人和车的质量分别为和，初速率分别为和。人和车组成的系统沿水平方向动量守恒，有，所以

（2）人迎面跳上小车，根据动量守恒

3． 一小球在弹簧的作用下振动（如图所示），弹力F = - kx，而位移x = Acoswt，其中k、A、w 都是常量。求在t = 0到t = p/2w 的时间间隔内弹力施于小球的冲量。
答案：
解法一：由冲量的定义得

解法二：由动量定理
而，
所以 ，（这里利用了）。

m2
m1
h
4．一质量为200g的砝码盘悬挂在劲度系数k = 196N/m的弹簧下，现有质量为100g的砝码自30cm高处落入盘中，求盘向下移动的最大距离（设砝码与盘的碰撞是完全弹性碰撞）。
答案：。
解：砝码从高处落入盘中，机械能守恒：

又碰撞过程动量守恒，设共同运动速度为v2有：

砝码与盘向下移动过程机械能守恒

平衡时，有
解以上方程得：，解得盘向下移动的最大距离为。

v0
b
v
r
5．如图所示，从太阳系外飞入太阳系的一颗流星离太阳最近的距离为，这时它的速度为。若不考虑其他行星的影响，试求这颗流星在进入太阳系之前的速率和它飞向太阳的瞄准距离b。
答案：（1）；（2）。
解：对流星飞经太阳附近的过程，由机械能守恒得
由此得流星刚进入太阳系时的速率为

流星受太阳的引力总指向太阳，流星对太阳的角动量守恒：
流星飞向太阳的瞄准距离为
习题三

一、选择题
1．一根长为、质量为M的匀质棒自由悬挂于通过其上端的光滑水平轴上。现有一质量为m的子弹以水平速度v0射向棒的中心，并以v0/2的水平速度穿出棒，此后棒的最大偏转角恰为，则v0的大小为 [ ]
（A）； （B）； （C）； （D）。
答案：A
解：
，，
， ，
，，，所以

2．圆柱体以80rad/s的角速度绕其轴线转动，它对该轴的转动惯量为。在恒力矩作用下，10s内其角速度降为40rad/s。圆柱体损失的动能和所受力矩的大小为 [ ]
（A）80J，80； （B）800J，40；（C）4000J，32；（D）9600J，16。
答案：D
解：，，，

恒定，匀变速，所以有
，，

3．一个转动惯量为J的圆盘绕一固定轴转动，初角速度为。设它所受阻力矩与转动角速度成正比 (k为正常数)。
（1）它的角速度从变为所需时间是 [ ]
（A）； （B）； （C）； （D）。
（2）在上述过程中阻力矩所做的功为 [ ]
（A）； （B）； （C）； (D) 。
答案：C；B。
解：已知 ，，
（1），，
，，所以
（2）

4．如图所示，对完全相同的两定滑轮（半径R，转动惯量J均相同），若分别用F（N）的力和加重物重力(N) 时，所产生的角加速度分别为和，则 [ ]
（A） ； （B） ；
（C） ； （D）不能确定 。
答案：A
解：根据转动定律，有，
依受力图，有，
所以，。

5． 对一绕固定水平轴O匀速转动的转盘，沿图示的同一水平直线从相反方向射入两颗质量相同、速率相等的子弹，并停留在盘中，则子弹射入后转盘的角速度应 [ ]
（A）增大； （B）减小； （C）不变； （D）无法确定。
答案：B
解：
，
所以

二、填空题
1．半径为的飞轮，初角速度，角加速度，若初始时刻角位移为零，则在 时角位移再次为零，而此时边缘上点的线速度为 。
答案：；。
解：已知 ，，，。
因，为匀变速，所以有 。
令 ，即 得，由此得
，所以

2． 一根质量为 m、长度为 L的匀质细直棒，平放在水平桌面上。若它与桌面间的滑动摩擦系数为m，在时，使该棒绕过其一端的竖直轴在水平桌面上旋转，其初始角速度为w0，则棒停止转动所需时间为 。
答案：
解：
，，
又，，所以
，，两边积分得：，
所以

3． 在自由旋转的水平圆盘上，站一质量为m的人。圆盘半径为R，转动惯量为J，角速度为w。如果这人由盘边走到盘心，则角速度的变化 Dw = ；系统动能的变化DEk = 。
答案：；。
解：应用角动量守恒定律
解得 ，角速度的变化
系统动能的变化 ，即

4． 如图所示，转台绕中心竖直轴以角速度作匀速转动，转台对该轴的转动惯量 。现有砂粒以的流量落到转台，并粘在台面形成一半径的圆。则使转台角速度变为所花的时间为 。
答案：5s
解：由角动量守恒定律
得 ， 由于
所以

2m
R
m
5． 如图所示，一轻绳跨过两个质量均为m、半径均为R的匀质圆盘状定滑轮。绳的两端分别系着质量分别为m和2m的重物，不计滑轮转轴的摩擦。将系统由静止释放，且绳与两滑轮间均无相对滑动，则两滑轮之间绳的张力为 。
答案：
解：列出方程组
其中，，
由（1）、（2）两式得：
可先求出a，解得
， ，，
将， 代入，得：

三．计算题
1．在半径为R1、质量为M的静止水平圆盘上，站一静止的质量为m的人。圆盘可无摩擦地绕过盘中心的竖直轴转动。当这人沿着与圆盘同心，半径为R2（< R1）的圆周相对于圆盘走一周时，问圆盘和人相对于地面转动的角度各为多少？
答案：（1）；（2）。
解：设人相对圆盘的角速度为，圆盘相对地面的角速度为。
则人相对地面的角速度为
应用角动量守恒定律 得，
解得
圆盘相对地面转过的角度为

人相对地面转过的角度为

2． 如图所示，物体1和2的质量分别为m1与m2，滑轮的转动惯量为J，半径为。
（1）如物体2与桌面间的摩擦系数为m，求系统的加速度a 及绳中的张力T1和T2；
（2）如物体2与桌面间为光滑接触，求系统的加速度a及绳中的张力T1和T2。（设绳子与滑轮间无相对滑动，滑轮与转轴无摩擦）。
答案：太长，略。
解：（1）用隔离体法，分别画出三个物体的受力图。
对物体1，在竖直方向应用牛顿运动定律

对物体2，在水平方向和竖直方向分别应用牛顿运动定律
，
对滑轮，应用转动定律
，并利用关系 ，
由以上各式， 解得
；；
（2）时
；；

3.一匀质细杆，质量为0.5Kg，长为0.4m，可绕杆一端的水平轴旋转。若将此杆放在水平位置，然后从静止释放，试求杆转动到铅直位置时的动能和角速度。
答案：（1）；（2）。
解：根据机械能守恒定律，有：。杆转动到铅直位置时的动能和角速度分别为：
；

k
J
4．如图所示，滑轮的转动惯量J =0.5kg×m2，半径r =30cm，弹簧的劲度系数k =2.0N/m，重物的质量m =2.0kg。当此滑轮——重物系统从静止开始启动，开始时弹簧没有伸长。滑轮与绳子间无相对滑动，其它部分摩擦忽略不计。问物体能沿斜面下滑多远？当物体沿斜面下滑1.00m时，它的速率有多大？
答案：（1）；（2）。
解：以启动前的位置为各势能的零点，启动前后应用机械能守恒定律

（1）时，得或
（2）时

5．长、质量的匀质木棒，可绕水平轴O在竖直平面内转动，开始时棒自然竖直悬垂，现有质量的子弹以的速率从A点射入棒中，A、O点的距离为，如图所示。求：（1）棒开始运动时的角速度；（2）棒的最大偏转角。
答案：（1）；（2）。

A
O
解：（1）应用角动量守恒定律

得
（2）应用机械能守恒定律

得 ，
习题四
一、选择题
1．两个质点各自作简谐振动，它们的振幅相同、周期相同，第一个质点的振动方程为。当第一个质点从相对于其平衡位置的正位移处回到平衡位置时，第二个质点正在最大正位移处，则第二个质点的振动方程为 [ ]
（A）；　 （B）；
（C）；　 （D）。
答案：B
解：由题意，第二个质点相位落后第一个质点相位，因此，第二个质点的初相位为，所以答案应选取B。

2．劲度系数分别为k1和k2的两个轻弹簧串联在一起，下面挂着质量为m的物体，构成一个竖挂的弹簧振子，则该系统的振动周期为 ［ ］
（A）； （B） ；
（C） ； （D）。
答案：C
解：两根弹簧串联，其总劲度系数，根椐弹簧振子周期公式，，代入可得答案为C。

3．一长为l的均匀细棒悬于通过其一端的光滑水平固定轴上，（如图所示），作成一复摆．已知细棒绕通过其一端的轴的转动惯量，此摆作微小振动的周期为 ［ ］
（A）； （B）； （C）； （D）。
答案：C
解：由于是复摆，其振动的周期公式为，所以答案为C。

4．一个质点作简谐振动，振幅为A，在起始时刻质点的位移为，且向x轴的正方向运动，代表此简谐振动的旋转矢量图为［ ］
答案：B
解：根椐题意，此简谐振动的初相位为，或，所以答案为B。

5．一物体作简谐振动，振动方程为．则该物体在t = 0时刻的动能与t = T/8（T为振动周期）时刻的动能之比为［ ］
（A）1:4； （B）1:2； （C）1:1； （D）2:1。
答案：D
解：物体的速度为，动能为。所以在t = 0时刻的动能为，t = T/8时的动能为，因此，两时刻的动能之比为2:1，答案应选D。

二、填空题

1．一简谐振动用余弦函数表示，其振动曲线如图所示，则此简谐振动的三个特征量为
A = _______cm；w =__________rad/s；j =________。
答案：10；(p/6)；p/3。
解：由图可直接看出，A =10cm ，周期T=12s，所以 ；再由图看出，t = 0时刻质点在位移5cm 处，下一时刻向着平衡位置方向移动，所以其初相为 j = p/3。

2．一水平弹簧简谐振子的振动曲线如图所示。当振子处在位移为零、速度为、加速度为零和弹性力为零的状态时，应对应于曲线上的________点；当振子处在位移的绝对值为A、速度为零、加速度为和弹性力为的状态时，应对应于曲线上的____________点。
答案：（b，f）；（ a，e）。
解：因b和f点对应着位移为零、速度为、加速度为零和弹性力为零的状态，a，e.点对应着位移的绝对值为A、速度为零、加速度为和弹性力为的状态。

3．两个同方向的简谐振动曲线如图所示。其合振动的振
幅为__________________________；合振动的振动方程
为_____________________________。
答案：；。
解：由图可知，两振动其初相位差为，所以其合振动的振幅为又由公式，而，由此得。所以合振动的振动方程为

4．在一竖直轻弹簧下端悬挂质量的小球，弹簧伸长而平衡。经推动后，该小球在竖直方向作振幅为的振动，则小球的振动周期为__________；振动能量为_________________。
答案：；。
解：平衡时，有，所以。
（1） ；
（2） 。

5．为测定某音叉C的频率，选取频率已知且与C接近的另两个音叉A和B，已知A的频率为800 Hz，B的频率是797 Hz，进行下面试验：
第一步，使音叉A和C同时振动，测得拍频为每秒2次。
第二步，使音叉B和C同时振动，测得拍频为每秒5次。
由此可确定音叉C的频率为______________。
答案：802 Hz
解：设音叉C的频率为，由和，联立求得。

三、计算题
1．在一竖直轻弹簧的下端悬挂一小球，弹簧被拉长而平衡．再经拉动后，该小球在竖直方向作振幅为的振动，试证此振动为简谐振动；选小球在正最大位移处开始计时，写出此振动的数值表达式。
答案：。
解：设小球的质量为m，则弹簧的劲度系数

选平衡位置为原点，向下为正方向。小球在x处时，根据牛顿第二定律得

将 代入整理后得

所以此振动为简谐振动，其角频率为

设振动表达式为
由题意： 时，，，由此解得 。
所以

2．一质量的物体，在弹簧的力作用下沿x轴运动，平衡位置在原点. 弹簧的劲度系数。
（1）求振动的周期T和角频率；
（2）如果振幅，时物体位于处，且物体沿x轴反向运动，求初速及初相；
（3）写出振动方程表达式。
答案：（1），；（2），；
（3）。
解： （1） ，；
（2） ；当时，，，
由 
得
由 ，得，或
因，所以应取
（3）振动方程 (SI)

3．一质点作简谐振动，其振动方程为
(SI)
（1）当x值为多大时，系统的势能为总能量的一半？
（2）质点从平衡位置移动到上述位置所需最短时间为多少？
答案：（1）；（2）。
解：（1）势能 ； 总能量
由题意 ， 。
（2）周期
从平衡位置运动到的最短时间为T/8，所以

4．一质量的物体，悬挂在劲度系数的轻弹簧下端．一质量的子弹以的速度从下方竖直朝上射入物体之中 ，然后子弹与物体一起作谐振动 ．若取平衡位置为原点。x轴指向下方，如图，求：
（1）振动方程（因，m射入M后对原来平衡位置的影响可以忽略）；
（2）弹簧振子的总能量。
答案：（1）；（2）。
解：（1）由动量守恒定律 ，得 ；
又
时，
由上二式解得 ，，
所以，振动方程 (SI)
（2）振子中的总能量

5．一质点同时参与两个同方向的简谐振动，其振动方程分别为
(SI) ，
画出两振动的旋转矢量图，并求合振动的振动方程。
答案：（1）旋转矢量如图；（2）合振动方程。
解：
作两振动的旋转矢量图，如图所示。由图得，合振动的振幅和初相分别为
，，所以
合振动方程为 (SI)
习题五

一、选择题
1．已知一平面简谐波的表达式为 （a、b为正值常量），则 ［ ］
（A）波的频率为a； （B）波的传播速度为 b/a；
（C）波长为 p / b； （D）波的周期为2p / a。
答案：D
解：由，可知周期。波长为。

2．如图，一平面简谐波以波速u沿x轴正方向传播，O为坐标原点．已知P点的振动方程为，则 ［ ］
（A）O点的振动方程为 ;
（B）波的表达式为 ；
（C）波的表达式为 ；
（D）C点的振动方程为 。
答案：C
解：波向右传播，原O的振动相位要超前P点，所以原点O的振动方程为，因而波方程为，可得答案为C。

3．一平面简谐波以速度u沿x轴正方向传播，在时波形曲线如图所示．则坐标原点O的振动方程为［ ］

（A）；
（B）；
（C）；
（D）。
答案：D
解：令波的表达式为
当，
由图知，此时处的初相 ， 所以 ，
由图得 ，

故处

4．当一平面简谐机械波在弹性媒质中传播时，下述各结论哪个是正确的？［ ］
（A）媒质质元的振动动能增大时，其弹性势能减小，总机械能守恒；
（B）媒质质元的振动动能和弹性势能都作周期性变化，但二者的相位不相同；
（C）媒质质元的振动动能和弹性势能的相位在任一时刻都相同，但二者的数值不等；（D）媒质质元在其平衡位置处弹性势能最大。
答案：D
解：当机械波传播到某一媒质质元时，媒质质元在平衡位置处形变最大，因此其弹性势能也最大。运动到最大位移处形变最小，其弹性势能最小。媒质质元的振动动能和弹性势能是等相位的，能量向前传播，媒质质元机械能不守恒。所以答案应选D。

5．设声波在媒质中的传播速度为u，声源的频率为。若声源S不动，而接收器R相对于媒质以速度沿着S、R连线向着声源S运动，则位于S、R连线中点的质点P的振动频率为［ ］
（A）； （B） ； （C）； （D） 。
答案：A
解：位于S、R连线中点的质点P相对于声源并没有相对运动，所以其接收到的频率应是声源的频率

二、填空题
1．已知一平面简谐波的表达式为 (SI)，则
点处质点的振动方程为________________________________；
和两点间的振动相位差为_____________。
答案： (SI)；。
解：（1）的振动方程为
（2）因的振动方程为
所以与两点间相位差

2．如图所示，一平面简谐波沿Ox轴正向传播，波速大小为u，若P处质点的振动方程为，则
O处质点的振动方程___________________________________；

该波的波动表达式_____________________________________。
答案：；
解：（1）O处质点振动方程
（2）波动表达式

3．图示为一平面简谐波在时刻的波形图，则该波的波动表达
式__________________________________；
P处质点的振动方程
为_________________________________。
答案： (SI)；
(SI)。
解：（1）O处质点，时
，
所以 ， 又有
故波动表达式为 (SI)
（2）P处质点的振动方程为
(SI)

4．一平面简谐波，频率为，波速为，振幅为，在截面面积为的管内介质中传播，若介质的密度为，则该波的能量密度__________________；该波在60 s内垂直通过截面的总能量为_________________。
答案：；。
解： （1）
（2） 。

5．如图所示，两列相干波在P点相遇。一列波在B点引起的振动是 ；另一列波在C点引起的振动是；令，，两波的传播速度。若不考虑传播途中振幅的减小，则P点的合振动的振动方程为
____________________________________。
答案： (SI)。
解：第一列波在P点引起的振动的振动方程为

第二列波在P点引起的振动的振动方程为

所以，P点的合振动的振动方程