全国通用版高中数学第二章一元二次函数方程和不等式高频考点知识梳理.pdf

(名师选题名师选题)全国通用版高中数学第二章一元二次函数方程和不等式高频考点全国通用版高中数学第二章一元二次函数方程和不等式高频考点知识梳理知识梳理 单选题 1、已知命题“R，42+(2)+14 0”是假命题，则实数的取值范围为（）A(,0 4,+)B0,4 C4,+)D(0,4)答案：A 分析：先求出命题为真时实数的取值范围，即可求出命题为假时实数的取值范围.若“R，42+(2)+14 0”是真命题，即判别式=(2)2 4 4 14 0，解得：0 0”是假命题，则实数的取值范围为：(,0 4,+).故选：A.2、关于的不等式2(2+1)+0的解集为|1 2，且2 1=1，则2+2=（）A3B32C2D23 答案：A 分析：根据一元二次不等式与解集之间的关系可得1+2=+1、12=1，结合(2 1)2=(1+2)2 412计算即可.由不等式2(2+1)+0的解集为|1 0，不等式对应的一元二次方程为2(2+1)+=0，方程的解为1、2，由韦达定理，得1+2=2+1=+1，12=1，因为2 1=1，所以(2 1)2=(1+2)2 412=1，即(+1)2 4=1，整理，得2+2=3.故选：A 3、已知关于的不等式(2+3)2(3)1 0(0,0)的解集为(,1)(12,+)，则下列结论错误的是（）A2+=1Bab的最大值为18 C1+2的最小值为 4D1+1的最小值为3+22 答案：C 分析：根据不等式的解集与方程根的关系，结合韦达定理，求得2+3=2，3=1，可判定 A 正确；结合基本不等式和“1”的代换，可判断 B 正确，C 错误，D 正确.由题意，不等式(2+3)2(3)1 0的解集为(,1 12,+)，可得2+3 0，且方程(2+3)2(3)1=0的两根为1和12，所以1+12=32+31 12=12+3，所以2+3=2，3=1，所以2+=1，所以 A 正确；因为 0，0，所以2+=1 22，可得 18，当且仅当2=12时取等号，所以的最大值为18，所以 B 正确；由1+2=(1+2)(2+)=4+4 4+24=4+4=8，当且仅当=4时，即2=12时取等号，所以1+2的最小值为8，所以 C 错误；由1+1=(1+1)(2+)=3+2 3+22=3+2，当且仅当=2时，即=2时，等号成立，所以1+1的最小值为3+22，所以 D 正确 故选：C 4、已知两个正实数，满足+=2，则1+9+1的最小值是（）A163B112C8D3 答案：A 分析：根据题中条件，得到1+9+1=13(1+9+1)+(+1)，展开后根据基本不等式，即可得出结果.因为正实数,满足+=2，则1+9+1=13(1+9+1)+(+1)=13(10+1+9+1)13(10+2+19+1)=163，当且仅当+1=9+1，即=34,=54时，等号成立.故选：小提示：易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.5、已知 2，则+42的最小值为（）A6B4C3D2 答案：A 分析：利用基本不等式可得答案.2，2 0，+42=2+42+22(2)42+26，当且仅当 2=42即=4时，+42取最小值 6，故选：A 6、若实数 32，13，不等式42(31)+92(23)2恒成立，则正实数的最大值为（）A4B16C72D8 答案：D 分析：令3 1=,2 3=，则(+3)2+(+1)2 2，由权方和不等式和基本不等式得(+3)2+(+1)2 16，即可求解 8 由42(31)+92(23)2得42(31)+92(23)2 因为 32，13，则3 1 0,2 3 0 令3 1=,2 3=则42(31)+92(23)2化为(+3)2+(+1)2 2恒成立，由权方和不等式得(+3)2+(+1)2(+4)2+=(+)+16+8 216+8=16 当且仅当+3=+1+=4，得=53,=73即=73,=109时等号成立 所以16 2 8 故选：D 7、若关于x的不等式|1|成立的充分条件是0 4，则实数a的取值范围是（）A(，1B(，1)C(3，)D3，)答案：D 分析：根据充分条件列不等式，由此求得的取值范围.|1|成立的充分条件是0 0，|1|1 0，则22+1+1()10+252取得最小值时，的值为（）A2B2C4D25 答案：A 解析：转化条件为原式=1+1()+()+(5)2，结合基本不等式即可得解.22+1+1()10+252=1+1()+()()+22 10+252=1+1()+()+2 10+252=1+1()+()+(5)2 21 +21()()+0=4，当且仅当=1()=1=5，即=2，=22，=25时，等号成立.故选：A.小提示：易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.11、不等式1+5 62 0的解集为（）A|1或 16B|16 1或 3D|3 2 答案：B 分析：解一元二次不等式，首先确保二次项系数为正，两边同时乘1，再利用十字相乘法，可得答案，法一：原不等式即为62 5 1 0，即(6+1)(1)0，解得16 1，故原不等式的解集为|16 1 法二：当=2时，不等式不成立，排除 A，C；当=1时，不等式不成立，排除 D 故选：B 12、若关于x的不等式2 6+11 ()min，从而可求出实数a的取值范围 设()=2 6+11，开口向上，对称轴为直线=3，所以要使不等式2 6+11 ()min即可，即 (3)=2，得 2，所以实数a的取值范围为(2,+)，故选：D 填空题 13、若关于的不等式2(+2)+2 0的解集中恰有 3 个正整数，则实数的取值范围为_ 答案：(5，6 分析：不等式化为()(2)0，根据解集中恰好有 3 个正整数即可求得m的范围.2(+2)+2 0可化为()(2)0，该不等式的解集中恰有 3 个正整数，不等式的解集为|2 ，且5 0,0,=10，则2+5的最小值为_ 答案：2 分析：化简2+5=2+102=2+2=2+2，结合基本不等式，即可求解.由 0,0,=10，则2+5=2+102=2+2=2+2 222=2，当且仅当=2时取“=”，即2+5的最小值为 2 所以答案是：2.16、已知,(0,+),，若(+sin2+1)(+3 2sin2)=2，则3+的最小值为_.答案：2 分析：利用基本不等式即可求解.(+sin2+1)(+3 2sin2)=2，4=(2 2+2sin2+2)(+3 2sin2)即4=(2 2+2sin2+2)(+3 2sin2)(22+2sin2+2+32sin22)2=(3+2)24，所以(3+2)2 16，解得3+2，当且仅当2 2+2sin2+2=+3 2sin2时，取等号，所以3+的最小值为 2.所以答案是：2 小提示：易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.17、若实数 ，则下列说法正确的是_ （1）+；（2）；（3）1 2 答案：（1）分析：根据不等式的性质以及特殊值验证法，对四个说法逐一分析，由此确定正确的说法.根据不等式的性质（1）正确；（2）中如果 0时不成立，故错误；（3）若=1,=1时，1 2不成立，故错误.故答案为:（1）小提示：本小题主要考查不等式的性质，属于基础题.解答题 18、（1）用篱笆围一个面积为1002的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？（2）用一段长为36的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？答案：（1）当这个矩形菜园是边长为10的正方形时，最短篱笆的长度为40；（2）当这个矩形菜园是边长为9的正方形时，最大面积是812.解析：设矩形菜园的相邻两条边的长分别为、，篱笆的长度为2(+).（1）由题意得出=100，利用基本不等式可求出矩形周长的最小值，由等号成立的条件可得出矩形的边长，从而可得出结论；（2）由题意得出+=18，利用基本不等式可求出矩形面积的最大值，由等号成立的条件可得出矩形的边长，从而可得出结论.设矩形菜园的相邻两条边的长分别为、，篱笆的长度为2(+).（1）由已知得=100，由+2，可得+2=20，所以2(+)40，当且仅当=10时，上式等号成立.因此，当这个矩形菜园是边长为10的正方形时，所用篱笆最短，最短篱笆的长度为40；（2）由已知得2(+)=36，则+=18，矩形菜园的面积为2.由+2=182=9，可得 81，当且仅当=9时，上式等号成立.因此，当这个矩形菜园是边长为9的正方形时，菜园的面积最大，最大面积是812.小提示：本题考查基本不等式的应用，在运用基本不等式求最值时，充分利用“积定和最小，和定积最大”的思想求解，同时也要注意等号成立的条件，考查计算能力，属于基础题.19、某企业生产一种机器的固定成本（即固定投入）为 0.5 万元，但每生产 1 百台时又需可变成本（即需另增加投入）0.25 万元，市场对此商品的需求量为 5 百台，销售收入（单位：万元）的函数为=5 122(0 5)，其中x是产品生产并售出的数量（单位：百台）.（1）把利润表示为产量的函数.（2）产量为多少时，企业才不亏本（不赔钱）；（3）产量为多少时，企业所得利润最大？答案：（1）=122+194 12(0 5)12 14(5)；（2）年产量在 11 台到 4800 台之间时，企业不亏本；（3）年产量为 475 台时，企业所得利润最大.分析：（1）依题意对0 5与 5分类讨论，分别求出函数解析式，再写成分段函数形式即可；（2）要使企业不亏本，则 0，根据（1）中函数解析式分类讨论，分别解得即可；（3）根据二次函数的性质计算可得；解：（1）设利润为y万元，当0 5时，=5 122 0.25 0.5，当 5时=5 5 12 520.25 0.5=12 14，综上可得=122+194 12(0 5)12 14(5)；（2）要使企业不亏本，则 0.即0 5,122+4.75 0.5 0 或 5,12 0.25 0,得0.11 5或5 48，即0.11 48.即年产量在 11 台到 4800 台之间时，企业不亏本.（3）显然当0 5时，企业会获得最大利润，此时，=12(4.75)2+10.78125，=4.75，即年产量为 475 台时，企业所得利润最大.20、在 中，内角A，B，C对边分别为a，b，c，已知2cos=2 （1）求角A的值；（2）若=5，=5，求 的周长；（3）若2sin+2sin=+3，求 面积的最大值 答案：（1）=3;（2）20;（3）334.解析：（1）利用正弦定理及两角和的正弦公式展开，可得cos=12，可求得角A的值；（2）根据向量的数量积及余弦定理分别求出,，即可求得周长；（3）将利用正弦定理将角化成边，再利用余弦定理结合基本不等式可求得面积的最值；（1）2cos=2 2sin cos=2sin sin,2sin cos=2 sin(+)sin=2(sin cos+cos sin)sin,cos=12,0 ,=3;（2）=()=2=5 cos3 52=52 25=5 =8，在 中利用余弦定理得：2=2+2 2 cos=52+82 2 5 8 12=49，=7，的周长为：5+8+7=20；（3）=sin=sin=32=233，sin=32，sin=32，2 32+2 32=+3，3(2+2 2)=3 cos=2 3 12=2 =3，3(2+2 3)=3 2+2=3+，3+2 3，等号成立当且仅当=，面积的最大值为(12sin)=334.小提示：本题考查三角恒等变换、正余弦定理在解三角形中的应用，求解时注意选择边化成角或者角化成边的思路.