通用版2023高中数学导数及其应用知识点梳理.pdf

1 (每日一练每日一练)通用版通用版 20232023 高中数学导数及其应用知识点梳理高中数学导数及其应用知识点梳理 单选题 1、已知函数()=2+ln的图象在(1，f（1）)处的切线经过坐标原点，则函数y=f(x)的最小值为（）A1212ln2B14+ln2C12+12ln2D1 答案：C 解析：利用导数的几何意义求出=1，从而可得()=2 ln，求出导函数，利用导数判断出函数的单调性，由单调性即可求出最值.函数()=2+ln，则(1)=12+ln1=1 且()=2+，所以(1)=2+，所以(1)=(1)010=1=2+，解得=1，所以()=2 ln，（0）()=2 1，令()0，即2 1 0，解得 22，令()0，即2 1 0，解得0 0，3 当13 0，函数()单调递增；当1 2时，()0，函数()单调递减；当2 0，函数()单调递增，由(1)=52,(3)=2ln3 92，又由(3)(1)=2ln3 92+52=2ln3 2 2ln 1=0，所以(1)2，有(1)+(2)2(1)(2)12 答案：（）（i）=9 8；（ii）()的极小值为(1)=1，无极大值；（）证明见解析.解析：()(i)首先求得导函数的解析式，然后结合导数的几何意义求解切线方程即可；5 (ii)首先求得()的解析式，然后利用导函数与原函数的关系讨论函数的单调性和函数的极值即可；（）首先确定导函数的解析式，然后令12=，将原问题转化为与有关的函数，然后构造新函数，利用新函数的性质即可证得题中的结论.()(i)当k=6 时，()=3+6ln，()=32+6.可得(1)=1，(1)=9，所以曲线=()在点(1,(1)处的切线方程为 1=9(1)，即=9 8.(ii)依题意，()=3 32+6ln+3,(0,+).从而可得()=32 6+632，整理可得：()=3(1)3(+1)2，令()=0，解得=1.当x变化时，(),()的变化情况如下表：(0,1)=1(1,+)()0+()单调递减 极小值 单调递增 所以，函数g(x)的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，+)；g(x)的极小值为g(1)=1，无极大值.（）证明：由()=3+ln，得()=32+.对任意的1,2 1,+)，且1 2，令12=(1)，则(1 2)(1)+(2)2(1)(2)=(1 2)(312+1+322+2)2(13 23+ln12)=13 23 3122+3122+(1221)2ln12=23(3 32+3 1)+(1 2ln).令()=1 2ln,1,+).6 当x1 时，()=1+122=(1 1)2 0，由此可得()在1,+)单调递增，所以当t1 时，()(1)，即 1 2ln 0.因为2 1，3 32+3 1=(1)3 0，3，所以23(3 32+3 1)+(1 2ln)(3 32+3 1)3(1 2ln)=3 32+6ln+3 1.由()(ii)可知，当 1时，()(1)，即3 32+6ln+3 1，故3 32+6ln+3 1 0 由可得(1 2)(1)+(2)2(1)(2)0.所以，当 3时，任意的1,2 1,+)，且1 2，有(1)+(2)2(1)(2)12.小提示：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数 (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题(4)考查数形结合思想的应用