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1 (每日一练)高中数学第四章指数函数与对数函数知识汇总笔记 高中数学第四章指数函数与对数函数知识汇总笔记高中数学第四章指数函数与对数函数知识汇总笔记 单选题 1、已知函数()=2,2+4+2,，若方程()=0恰有三个根，那么实数的取值范围是（）A1,2)B1,2C2,+)D(,1 答案：A 分析：由题意得，函数=()与函数=有三个不同的交点，结合图象可得出结果.解：由题意可得，直线=与函数()=2()至多有一个交点，而直线=与函数()=2+4+2()至多两个交点，函数=()与函数=有三个不同的交点，则只需要满足直线=与函数()=2()有一个交点 直线=与函数()=2+4+2()有两个交点即可，如图所示，=与函数()=2+4+2的图象交点为(2,2)，(1,1)，故有 1.而当 2时，直线=和射线=2()无交点，故实数的取值范围是1,2).故选：A.2 2、设函数()=lg(2+1)，则使得(3 2)(4)成立的的取值范围为（）A(13,1)B(1,32)C(,32)D(,1)(32,+)答案：D 分析：方法一:求出(3 2),(4)的解析式,直接带入求解.方法二:设=2+1，则=，判断出()=(2+1)在0,+)上为增函数,由(3 2)(4)得|3 2|4|，解不等式即可求出答案.方法一:()=(2+1)由(3 2)(4)得lg(3 2)2+1 lg(4)2+1，则(3 2)2+1 (4)2+1，解得 32.方法二:根据题意，函数()=(2+1)，其定义域为R，有()=(2+1)=()，即函数()为偶函数，设=2+1，则=，在区间0,+)上，=2+1为增函数且 1，=在区间1,+)上为增函数，则()=(2+1)在0,+)上为增函数，(3 2)(4)(|3 2|)(|4|)|3 2|4|，3 解得 32，故选：D 3、已知函数()=4+1的图象经过定点P，则点P的坐标是（）A(1，5)B(1，4)C(0，4)D(4，0)答案：A 分析：令+1=0，即可求出定点坐标；当+1=0，即=1时，+1=0=1，为常数，此时()=4+1=5，即点P的坐标为(1，5).故选：A.小提示：本题考查指数型函数过定点，考查运算求解能力，属于基础题.4、若 0，则2+2+2 2 2+2等于（）A2B2C2D2 答案：C 分析：根据根式的计算公式，结合参数范围，即可求得结果.原式=|+|，0，+0，原式=(+)()=2 故选：C 小提示：本题考查根式的化简求值，属简单题，注意参数范围即可.5、已知2=5,log83=，则43=（）A25B5C259D53 4 答案：C 分析：根据指数式与对数式的互化，幂的运算性质以及对数的运算性质即可解出 因为2=5，=log83=13log23，即23=3，所以43=443=(2)2(23)2=5232=259 故选：C.6、化简36的结果为（）AB CD 答案：A 分析：结合指数幂的运算性质，可求出答案.由题意，可知 0，36=()13 16=13 16=13+16=12=.故选：A.7、中国的 5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：=log2(1+)，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C取决于信道带宽W信道内信号的平均功率S信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的 1 可以忽略不计，按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比从 1000 提升至 5000，则C大约增加了（）（附：lg2 0.3010）A20%B23%C28%D50%答案：B 分析：根据题意写出算式，再利用对数的换底公式及题中的数据可求解.将信噪比从 1000 提升至 5000 时，C大约增加了log2(1+5000)log2(1+1000)log2(1+1000)5 =log25001log21001log21001lg5000lg2lg1000lg2lg1000lg2=lg53=1lg23 0.23=23%.故选：B.8、若1，2是二次函数=2 5+6的两个零点，则11+12的值为（）A12B13C16D56 答案：D 分析：解方程可得1=2,2=3，代入运算即可得解.由题意，令2 5+6=0，解得=2或3，不妨设1=2,2=3，代入可得11+12=12+13=56.故选：D.9、已知实数,(1,+)，且log2+log3=log2+log2，则（）A B C D 答案：B 分析：对log2 log2 log2 log2，利用换底公式等价变形，得log2 1log2 log2 1log2，结合=1的单调性判断 ，同理利用换底公式得log2 1log2 log3，再根据对数运算性质得log2 log2，结合=log2单调性，继而得解.由log2+log3=log2+log2，变形可知log2 log2 log2 log2，利用换底公式等价变形，得log2 1log2 log2 1log2，由函数()=1在(0,+)上单调递增知，log2 log2，即 log3，得log2+log3 log3+log2，即log2 log2 log3 log3，同样利用()=1的单调性知，log2 log3，6 又因为log3=log3 log2，得log2 log2，即 ，所以 .故选：B.10、已知=log20.2,=20.2,=0.20.3，则 A B C D 答案：B 分析：运用中间量0比较,，运用中间量1比较,=log20.2 20=1,0 0.20.3 0.20=1,则0 1,0为增函数；而=1+在(0,1)上递减，在(1,+)上递增；所以在 (,0)上递减，在 (0,+)上递增；又=log2在定义域上递增，则在 (,0)上递减，在 (0,+)上递增；所以()在(,0)上递减，在(0,+)上递增，故最小值为(0)=1，()=log2(12+2)=log2(2+12)=()，故为偶函数.故选：BD 13、对于函数()的定义域中任意的1,2(1 2)，有如下结论:当()=2时，上述结论正确的是（）A(1+2)=(1)(2)B(1 2)=(1)+(2)8 C(1)(2)12 0D(1+22)0，正确；对于 D，(1+22)=21+22=21+212(21+22)=(1)+(2)2，又1 2，则(1+22)0)，所以当log2=1，即=2时，()取最小值4；D 错误，()没有最大值；E 错误，取=1，则(1)=3 (3).故选：ABC.小提示：本题主要考查对数型函数的图象和性质，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.15、已知关于x的方程2+(3)+=0，则下列说法正确的是（）A当=3时，方程的两个实数根之和为 0B方程无实数根的一个必要条件是 1 C方程有两个正根的充要条件是0 1D方程有一个正根和一个负根的充要条件是 1，1是1 9的必要条件，所以选项 B 正确；由题得0 1，所以方程有两个正根的充要条件是0 1，所以选项 C 正确；由题得 0，所以方程有一个正根和一个负根的充要条件是 0，所以选项 D 正确.对于选项 A，方程为2+3=0，方程没有实数根，所以选项 A 错误；对于选项 B，如果方程没有实数根，则=(3)2 4=2 10+9 0,所以1 1是1 0 0,所以0 1，所以方程有两个正根的充要条件是0 0 0,所以 0，所以方程有一个正根和一个负根的充要条件是 0，所以选项 D 正确.故选：BCD 小提示：方法点睛：判断充分条件必要条件，常用的方法有：（1）定义法；（2）集合法；（3）转化法.要根据已知条件，灵活选择方法判断得解.填空题 16、函数()=ln+2 3的零点个数为_ 答案：1 分析：解法一，将函数()=ln+2 3的零点转化为函数=ln与=3 2图象的交点问题，作出函数图象，数形结合，可得答案；解法二，利用零点存在定理结合函数的单调性，可得答案.解法一：令()=0，可得方程ln+2 3=0，即ln=3 2，故原函数的零点个数即为函数=ln与=3 2图象的交点个数 在同一平面直角坐标系中作出两个函数的大致图象（如图）由图可知，函数=3 2与=ln的图象只有一个交点，故函数()=ln+2 3只有一个零点，11 所以答案是：1 解法二：(1)=ln1+12 3=2 0，(1)(2)0且 1）的图像经过点(3,1).（1）解关于x的方程2()+(1)()+1 2=0；（2）不等式1+()()0的解集是(13,9)，试求实数a的值.答案：（1）=9或=181；（2）=2.分析：(1)根据给定条件求出m值，并代入方程，再解方程即得.(2)由给定解集借助对数函数单调性求出()范围，换元借助一元二次不等式即可得解.（1）由已知得(3)=1，即log3=1，则=3，于是得()=log3，方程2()+(1)()+1 2=0 2()+2()8=0，从而得()=2或()=4，即log3=2或log3=4，=9或=181，所以原方程的根为=9或=181；（2）依题意，函数()=log3中，(13,9)，从而得log3 (1,2).又1+()()0 (log3+1)(log3 )0，令log3=，即一元二次不等式(+1)()0的解集为(1,2)，因此有-1，2 是关于的方程(+1)()=0的两根，则=2，所以实数a的值为 2.20、某校手工爱好者社团出售自制的工艺品，每件的售价在 20 元到 40 元之间时，其销售量（件）与售价（元/件）之间满足一次函数关系，部分对应数据如下表所示（元/件）20 21 22 23 39 40（件）440 420 400 380 60 40(1)求此一次函数的解析式；(2)若每件工艺品的成本是 20 元，在不考虑其他因素的情况下，每件工艺品的售价是多少时，利润最大？最大利润是多少？13 答案：(1)=20+840(20 40)(2)每件工艺品的售价为 31 元时，利润最大，最大利润为 2420 元 分析：（1）设=+，任取两级数据代入求得参数值得解析式；（2）由（1）中关系式得出利润与的关系，由二次函数的性质得最大值（1）设=+，不妨选择两组数据(20,440)，(22,400)代入，可得440=20+,400=22+,解得=20,=840,一次函数的解析式为=20+840(20 40)（2）设利润为元，由题意可得=(20+840)(20)=202+1240 16800=20(31)2+2420，当=31时，max=2420，每件工艺品的售价为 31 元时，利润最大，最大利润为 2420 元