全国通用版高中数学第五章三角函数典型例题.pdf

(名师选题名师选题)全国通用版高中数学第五章三角函数典型例题全国通用版高中数学第五章三角函数典型例题 单选题 1、海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐.一般早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节每天的时间与水深值（单位：m）记录表 时刻 0：00 3：00 6：00 9：00 12：00 15：00 18：00 21：00 24：00 水深值 5.0 7.0 5.0 3.0 5.0 7.0 5.0 3.0 5.0 已知港口的水的深度随时间变化符合函数()=sin(+)+，现有一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4m，安全条例规定至少要有2m的安全间隙（船底与海底的距离），该船计划在中午12点之后按规定驶入港口，并开始卸货，卸货时，其吃水深度以每小时025m的速度减小，4小时卸完，则其在港口最多能停放（）A4小时 B5小时 C6小时 D7小时 答案：B 分析：由已知表格中数据求得()=2sin6+5,根据驶入港口()大于等于 6,离开时()大于等于 5，分析即可得答案.由表格中的数据可知，()max=7,()min=3，则=()max()min2=732=2,=()max+()min2=7+32=5.由T=12，=2=6，故()=2sin(6+)+5，当x=3 时，f(x)=7，则2sin(6+)+5=7 2cos=2，即cos=1，得=0.()=2sin6+5.由()=2sin6+5=6，得sin6=12，即6=6+2,或6=56+2,=12+1,或=12+5,.又该船计划在中午 12 点之后按规定驶入港口，k=1 时，x=13，即该船应在 13 点入港并开始卸货，卸货时，其吃水深度以每小时025m的速度减小，4小时卸完，卸完后的吃水深度为4 0.25 4=3，所以该货船需要的安全水深为 3+2=5 米，由()=2sin6+5=5，得sin6=0，即6=0+2,或6=+2,=12,或=12+6,.所以可以停留到 18 点，此时水深为 5 米，货船需要离港，则其在港口最多能停放 5 小时.故选：B 2、若sin()+cos()=15，(0,)，则tan(32 )的值为（）A43或34B43C34D34 答案：C 分析：根据同角三角函数的基本关系及诱导公式求解.由sin()+cos()=15可得：sin+cos=15，平方得：sin2+2sincos+cos2=125 所以tan2+2tan+1tan2+1=125，解得tan=43或tan=34，又sin+cos=15，所以|sin|cos|，故tan=43，故选：C 3、已知函数()=sin(2+3)，为了得到函数()=cos(2+3)的图象只需将=()的图象（）A向左平移4个单位 B向右平移4个单位 C向左平移2个单位 D向右平移2个单位 答案：A 分析：利用三角函数的平移结合诱导公式即可求解.解：因为 sin(2+3+2)=cos(2+3)所以sin(2+3)sin(2+2+3)，只需将f(x)的图象向左平移4个单位，故选：A.4、若sin+cossincos=12，则tan(+4)的值为（）A2B2C12D12 答案：C 分析：利用弦化切和两角和的正切展开式化简计算可得答案.因为sin+cossincos=12所以tan+1tan1=12，解得tan=3，于是tan(+4)=tan+tan41tantan4=3+11(3)=12 故选：C.5、已知tan=2，则sin(2+)cos()cossin()=（）A2B-2C0D23 答案：B 分析：根据tan=2，利用诱导公式和商数关系求解.因为tan=2，所以sin(2+)cos()cossin()，=2coscossin，=21tan=2，故选：B 6、若()=cos(3)在区间,上单调递增，则实数a的最大值为（）A3B2C23D 答案：A 分析：先求出函数的增区间，进而建立不等式组解得答案即可.易知将函数=cos的图象向右平移3得到函数()=cos(3)的图象，则函数()=cos(3)的增区间为23+2,3+2(Z)，而函数又在,上单调递增，所以 23 3 3，于是0 3，即a的最大值为3.故选：A.7、若角的终边上一点的坐标为(1，1)，则cos=()A1B22C22D1 答案：C 分析：根据任意角三角函数的定义即可求解.角的终边上一点的坐标为(1，1)，它与原点的距离=12+(1)2=2，cos=12=22，故选：C.8、将一条闭合曲线放在两条平行线之间，无论这条闭合曲线如何运动，只要它与两平行线中的一条直线只有一个交点，就必与另一条直线也只有一个交点，则称此闭合曲线为等宽曲线，这两条平行直线间的距离叫等宽曲线的宽比如圆所示就是等宽曲线其宽就是圆的直径如图所示是分别以、为圆心画的三段圆弧组成的闭合曲线（又称莱洛三角形），下列关于曲线的描述中，正确的有（）（1）曲线不是等宽曲线；（2）曲线是等宽曲线且宽为线段的长；（3）曲线是等宽曲线且宽为弧的长；（4）在曲线和圆的宽相等，则它们的周长相等；（5）若曲线和圆的宽相等，则它们的面积相等 A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 答案：B 分析：若曲线和圆的宽相等，设曲线的宽为1，则圆的半径为12，根据定义逐项判断即可得出结论.若曲线和圆的宽相等，设曲线的宽为1，则圆的半径为12，（1）根据定义，可以得曲线是等宽曲线，错误；（2）曲线是等宽曲线且宽为线段的长，正确；（3）根据（2）得（3）错误；（4）曲线的周长为3 16 2=，圆的周长为2 12=，故它们的周长相等，正确；（5）正三角形的边长为 1，则三角形对应的扇形面积为126=6，正三角形的面积=12 1 1 32=34，则一个弓形面积=634，则整个区域的面积为3(634)+34=232，而圆的面积为(12)2=4，不相等，故错误；综上，正确的有 2 个，故选：B.小提示：本题主要考查新定义，理解“等宽曲线”得出等边三角形是解题的关键 9、已知，为锐角，sin=45，cos(+)=22，则cos=（）A3210B210C7210D9210 答案：B 分析：利用同角三角函数基本关系式，求出cos,sin(+)，再利用角变换=+，利用两角差的余弦公式求得答案 由是锐角，sin=45，则cos=1 sin2=35，又，是锐角，得+(0,)，又cos(+)=22，则sin(+)=22，则cos=cos(+)=cos(+)cos+sin(+)sin=2235+2245=32+4210=210.故选：B 10、已知sincos=16,4 34，则sin-cos的值等于（）A233B233C63D43 答案：A 分析：结合同角三角函数的基本关系式，利用平方的方法求得正确结论.由于sincos=16,4 0,cos 0，所以sin cos=(sin cos)2=1 2sincos=1+13=233.故选：A 11、把函数()=sin(2 4)的图象上所有点的横坐标伸长为原来的 2 倍，纵坐标保持不变，再把所得的图象向左平移(0)个单位长度，得到函数=cos的图象，则可以是（）A8B4C2D34 答案：D 分析：根据三角函数的图象变换得到=sin(+4)，得到sin(+4)=cos，结合选项，逐项判定，即可求解.由题意，将函数()的图象上所有点的横坐标伸长为原来的 2 倍，纵坐标保持不变可得函数=sin(4)的图象，将该图象向左平移(0)个单位长度，得到=sin(+4)的图象，所以sin(+4)=cos，对于 A 中，当=8时，sin(+84)=sin(8)cos，故 A 错误；对于 B 中，当=4时，sin(+44)=sin cos，故 B 错误；对于 C 中，当=2时，sin(+24)=sin(+4)cos，故 C 错误；对于 D 中，当=34时，sin(+344)=sin(+2)=cos，故 D 正确 故选：D 12、已知sin(3)+3cos=13，则sin(2+6)的值为（）A13B13C79D79 答案：D 解析：利用两角和与差的正弦公式，诱导公式化简已知等式可得cos(6)=13，进而利用诱导公式，二倍角公式化简所求即可求解 因为sin(3)+3cos=12sin 32cos+3cos=12sin+32cos=sin(+3)=sin(2+6)=cos(6)=13，所以sin(2+6)=sin(2+2 3)=cos(2 3)=2cos2(6)1=2 (13)2 1=79，故选：D 填空题 13、如图所示，在 中，=90，=6，=8，为的中点，点在上，分别连接、，交点为，若=45，则=_.答案：3011 分析：设=，=，=，可得+=45，tan=38，tan=6，利用两角和的正切公式可得出关于的方程，即可解得的值.设=，=，=，根据题意可得=90 =45+，整理可得+=45，所以tan(+)=tan+tan1tantan=1，在 中，tan=38，在 中，tan=6，则tan(+)=tan+tan1tantan=38+61386=1，解得=3011，所以=3011.所以答案是：3011.14、若 (0,2)，且cos2+cos(2 2)=710，则tan2=_ 答案：34 分析：利用诱导公式、二倍角正弦公式，将题设条件转化为1+2tantan2+1=710，结合角的范围求tan值，再应用二倍角正切公式求tan2即可.cos2+cos(2 2)=cos2+sin2=cos2+2sincossin2+cos2=1+2tantan2+1=710，tan=3或tan=17，又 (0,2)，tan=3，则tan2=2tan1tan2=34 所以答案是：34 15、自行车大轮 48 齿，小轮 20 齿，大轮转一周小轮转_周 答案：125 分析：通过两个车轮转动的齿数相同，计算即可得出结果.两个车轮转动的齿数相同，大轮有 48 齿，小轮有 20 齿，当大轮转动一周时，大轮转动了 48 个齿，小轮转动4820=125周.所以答案是：125.16、已知sin(+4)=66，(0,)，则cos(2+6)=_ 答案：2156 解析：构造角2+6=2(+4)3，求cos(+4)，再用两角和的余弦公式及二倍公式打开.(0,),+4(4,54)，sin(+4)=66 2恒成立，求实数a的取值范围 答案：(1)()=2sin(+6)；(2)22,3；(3)(2,23).分析：（1）利用给定的函数图象间的关系直接列式并化简作答.（2）利用正弦函数的性质求出()的范围，再分离参数求解作答.（3）根据给定范围，按a=0，a0，a 2 sin(+3)+2sin(6)2，当 3,23时，0 +3，2 62，若=0，因0 sin(+3)1，即sin(+3)2恒成立，则=0，若 0，因sin(6)在3,23上单调递增，则当=3时，sin(+3)+2sin(6)取得最小值，原不等式恒成立可转化为sin(3+3)+2sin(36)2恒成立，即2 2，因此0 23，若 2恒成立，即 2，因此2 0，所以a的取值范围是(2,23)19、已知角是第三象限角，tan=12.（1）求sin,cos的值；（2）求1+2sin()cos(2)sin2()sin2(52)的值.答案：（1）=55=255；（2）3.解析：（1）根据 tan=sincos=12，以及 sin2+cos21，结合范围求得 sin、cos 的值；（2）利用诱导公式与同角的三角函数关系，把正弦、余弦的比值化为正切 tan，代入正切值即求得结果 解：（1）tan=sincos=12，sin2+cos21，=55=255 或=55=255，而角是第三象限角，则sin 0,cos 0,0,0 )的图象如图所示.(1)求函数()的解析式；(2)首先将函数()的图象上每一点横坐标缩短为原来的12，然后将所得函数图象向右平移8个单位，最后再向上平移1个单位得到函数()的图象，求函数()在0,2内的值域.答案：(1)()=2sin(2+3)(2)1,3 分析：（1）依题意可得=2，13123=34，即可求出，再根据函数过点(1312,2)，即可求出，从而求出函数解析式；（2）首先根据三角函数的变换规则得到()的解析式，再由的取值范围求出4 6的取值范围，最后根据正弦函数的性质计算可得；(1)解：由图象得=2，13123=34=342，所以=2，由2 1312+=2+2，所以=53+2()，0 ，=3，()=2sin(2+3)(2)解：将函数()的图象上每一点横坐标缩短为原来的12，得到=2sin(4+3)，再将=2sin(4+3)向右平移8个单位得到=2sin(4(8)+3)=2sin(4 6)，最后再向上平移1个单位得到=2sin(4 6)+1，即()=2sin(4 6)+1 当 0,2时，所以4 6 6,116，所以sin(4 6)1,1，()1,3