2023年人教版高中数学第四章指数函数与对数函数笔记重点大全.pdf

(名师选题名师选题)2023)2023 年人教版高中数学第四章指数函数与对数函数笔记重点大全年人教版高中数学第四章指数函数与对数函数笔记重点大全 单选题 1、Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：()=1+e0.23(53)，其中K为最大确诊病例数当I()=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则约为（）（ln193）A60B63C66D69 答案：C 分析：将=代入函数()=1+0.23(53)结合()=0.95求得即可得解.()=1+0.23(53)，所以()=1+0.23(53)=0.95，则0.23(53)=19，所以，0.23(53)=ln19 3，解得30.23+53 66.故选：C.小提示：本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题.2、设函数()=ln|2+1|ln|2 1|，则f(x)（）A是偶函数，且在(12,+)单调递增 B是奇函数，且在(12,12)单调递减 C是偶函数，且在(,12)单调递增 D是奇函数，且在(,12)单调递减 答案：D 分析：根据奇偶性的定义可判断出()为奇函数，排除 AC；当 (12,12)时，利用函数单调性的性质可判断出()单调递增，排除 B；当 (,12)时，利用复合函数单调性可判断出()单调递减，从而得到结果.由()=ln|2+1|ln|2 1|得()定义域为|12，关于坐标原点对称，又()=ln|1 2|ln|2 1|=ln|2 1|ln|2+1|=()，()为定义域上的奇函数，可排除 AC；当 (12,12)时，()=ln(2+1)ln(1 2)，=ln(2+1)在(12,12)上单调递增，=ln(1 2)在(12,12)上单调递减，()在(12,12)上单调递增，排除 B；当 (,12)时，()=ln(2 1)ln(1 2)=ln2+121=ln(1+221)，=1+221在(,12)上单调递减，()=ln在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知：()在(,12)上单调递减，D 正确.故选：D.小提示：本题考查函数奇偶性和单调性的判断；判断奇偶性的方法是在定义域关于原点对称的前提下，根据()与()的关系得到结论；判断单调性的关键是能够根据自变量的范围化简函数，根据单调性的性质和复合函数“同增异减”性得到结论.3、荀子劝学中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点我们可以把(1+1%)365看作是每天的“进步”率都是1%，一年后是1.01365 37.7834；而把(1 1%)365看作是每天“退步”率都是1%，一年后是0.99365 0.0255.若“进步”的值是“退步”的值的 100 倍，大约经过(参考数据：lg101 2.0043，lg99 1.9956)（）天 A200 天 B210 天 C220 天 D230 天 答案：D 分析：根据题意可列出方程100 0.99=1.01，求解即可.设经过x天“进步”的值是“退步”的值的 100 倍，则100 0.99=1.01，即(1.010.99)=100，=log1.010.99100=lg100lg1.010.99=lg100lg10199=2lg101 lg99 22.00431.9956=20.0087 230 故选：D 4、已知对数式log(+1)24（Z）有意义，则的取值范围为（）A(1,4)B(1,0)(0,4)C1,2,3D0,1,2,3 答案：C 分析：由对数的真数大于 0，底数大于 0 且不等于 1 列出不等式组，然后求解即可.由题意可知:+1 0+1 124 0 1 0 4，解之得:1 4且 0.Z，的取值范围为1,2,3.故选：C.5、设=log2，=log6，则（）A 0 B 0 C0 D0 0，0，11log22=1，0=log61 =log6 1,0 0，0，故排除 A、B 选项；又11=log6 log2=log3 log 0，所以0 ，故选：D.6、函数=|lg(+1)|的图像是（）AB CD 答案：A 分析：由函数=lg的图象与轴的交点是(1,0)结合函数的平移变换得函数=|lg(+1)|的图象与轴的公共点是(0,0)，即可求解.由于函数=lg(+1)的图象可由函数=lg的图象左移一个单位而得到，函数=lg的图象与轴的交点是(1,0)，故函数=lg(+1)的图象与轴的交点是(0,0)，即函数=|lg(+1)|的图象与轴的公共点是(0,0)，显然四个选项只有 A 选项满足.故选：A.7、若函数()=3+2 2 2的一个正零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：(1)=2(1.5)=0.625(1.25)=0.984(1.375)=0.260(1.4375)=0.162(1.40625)=0.054 那么方程3+2 2 2=0的一个近似根（精确度 0.1）为（）A1.2B1.4C1.3D1.5 答案：B 分析：根据二分法求零点的步骤以及精确度可求得结果.解：因为(1)0，所以(1)(1.5)0.1，所以不满足精确度0.1；因为(1.25)0，所以(1.25)(1.5)0.1，所以不满足精确度0.1；因为(1.375)0，所以(1.375)(1.5)0.1，所以不满足精确度0.1；因为(1.4375)0，所以(1.4375)(1.375)0，所以函数在(1.375,1.4375)内有零点，因为1.4375 1.375=0.0625 0，即得.由题意得3 0+1 0，解得1 3，即函数的定义域是(1,3.故选：C.10、已知()是定义在R上的奇函数，当 0时，()=log2(+2)+，(6)=（）A2B2C4D4 答案：A 分析：因()是定义在上的奇函数，所以(0)=0，从而可求，再由奇函数的定义即可求出(6)的值.解：()是定义在上的奇函数，又当 0时，()=log2(+2)+，(0)=log2(0+2)+=0，=1，当 0时，()=log2(+2)1，(6)=(6)=log2(6+2)1=(log223 1)=2，故选：A.11、已知函数()=+,03+(1),0 且 1)，则“3”是“()在R上单调递增”的（）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 答案：A 分析：先由()在 R 上单调递增求得a的取值范围，再利用充分条件，必要条件的定义即得.若()在 R 上单调递增，则 1 1 0+1 3，所以 2，由“3”可推出“2”，但由“2”推不出“3”，所以“3”是“()在 R 上单调递增”的充分不必要条件.故选：A.12、已知实数,(1,+)，且log2+log3=log2+log2，则（）A B C D 答案：B 分析：对log2 log2 log2 log2，利用换底公式等价变形，得log2 1log2 log2 1log2，结合=1的单调性判断 ，同理利用换底公式得log2 1log2 log3，再根据对数运算性质得log2 log2，结合=log2单调性，继而得解.由log2+log3=log2+log2，变形可知log2 log2 log2 log2，利用换底公式等价变形，得log2 1log2 log2 1log2，由函数()=1在(0,+)上单调递增知，log2 log2，即 log3，得log2+log3 log3+log2，即log2 log2 log3 log3，同样利用()=1的单调性知，log2 log3，又因为log3=log3 log2，得log2 log2，即 ，所以 .故选：B.双空题 13、2019年7月，中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标志着中华五千年文明史得到国际社会认可良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例，实证了中华五千年文明史考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律已知样本中碳14的质量随时间（单位：年）的衰变规律满足=0 25730（0表示碳14原有的质量），则经过5730年后，碳14的质量变为原来的_；经过测定，良渚古城遗址文物样本中碳14的质量是原来的12至35，据此推测良渚古城存在的时期距今约在_年到5730年之间（参考数据：log23 1.6,log25 2.3）答案：12 4011 分析：（1）根据衰变规律，令=5730，代入求得=120；（2）令=350，解方程求得即可.当=5730时，=0 21=120 经过5730年后，碳14的质量变为原来的12 令=350，则25730=35 5730=log235=log23 log25 0.7 =0.7 5730=4011 良渚古城存在的时期距今约在4011年到5730年之间 故答案为12；4011 小提示：本题考查根据给定函数模型求解实际问题，考查对于函数模型中变量的理解，属于基础题.14、若()=ln|+11|+是奇函数，则=_，=_ 答案：12；ln2 分析：根据奇函数的定义即可求出 方法一：奇函数定义域的对称性 若=0，则()的定义域为|1，不关于原点对称 0 若奇函数的()=|+11|+有意义，则 1且+11 0 1且 1+1，函数()为奇函数，定义域关于原点对称，1+1=1，解得=12，由(0)=0得，12+=0，=2，所以答案是：12；2 方法二：函数的奇偶性求参()=|+11|+=|+11|+=|11|+()=|+11+|+函数()为奇函数 ()+()=|11|+|+11+|+2=0|22(+1)22 1|+2=0 21=(+1)21 2+1=0 =12 2=14=22 =2 =12,=2 方法三：因为函数()=ln|+11|+为奇函数，所以其定义域关于原点对称 由+11 0可得，(1 )(+1 )0，所以=+1=1，解得：=12，即函数的定义域为(,1)(1,1)(1,+)，再由(0)=0可得，=ln2即()=ln|12+11|+ln2=ln|1+1|，在定义域内满足()=()，符合题意 所以答案是：12；ln2 15、在研究天文学的过程中，约翰纳皮尔为了简化其中的计算而发明了对数，恩格斯曾经把对数的发明和解析几何的创始微积分的建立称为 17 世纪数学的三大成就.已知log3=lg=15，则实数x，y的大小关系为_，log9=_.答案：10 分析：结合对数的运算关系即可化简得到x，y的大小关系和log9的值.因为log3=lglg3=lg，所以lg=lg lg3 lg，所以 ，又因为log3=15，所以=315，所以log9=log(3)159=5log39=10，所以答案是：1,log 13,0 1,若对任意的1,2(0,+)且1 2，都有(12)(1)(2)1log 13,0 1 的定义域为(0,+)，若对任意的1,2(0,+)且1 2，都有(1 2)(1)(2)0，则函数()在(0,+)上为减函数，则必有2 1 00 12 1 13，解可得0 13，即a的取值范围为(0,13 所以答案是：13；(0,13 17、设函数()=|2|+|12|，0，|(+2)(+12)|，0，则函数=()+12的零点个数为_；若()=12，且函数()=()()有偶数个零点，则实数的取值范围是_ 答案：1 (,2 52)(2 52,1)(1,14)(14,1)(1,2)分析：首先画出函数()的图象，将函数=()+12的零点个数，转化为=()与=12的交点个数；将函数()有偶数个零点个数，转化为函数=()与=()的交点个数为偶数个时，求实数的取值范围.首先画出函数()的图象，以及函数=12的图象，如图两个函数都过点(2,32)，函数只有一个零点；()=12恒过点(0,12)，()=()()的零点，转化为函数=()与=()的交点，如图：当 2时，=2 52，直线的斜率=2，(2,32)，(0,12)，=1,当 0,1)时，=()与=()有 0 个交点，即()=()()有 0 个零点；当 (1,2)时，=()与=()有 2 个交点，即()=()()有 2 个零点；当 (2,12)时，=()=(+2)(+12)与()=12联立方程，得2+(+52)+12=0，=(+52)2 2=0，解得：=2 52（舍）或=2 52，(12,0)，(2,0)，=1，=14,所以当 (,2 52)时，=()与=()有 2 个交点，即()=()()有 2 个零点；当 (2 52,1)时，=()与=()有 4 个交点，即()=()()有 4 个零点；当 (1,14)时，=()与=()有 2 个交点，即()=()()有 2 个零点；当 (14,0)，当 (,2 52)时，=()与=()有 0 个交点，即()=()()有 0 个零点；综上可知，函数()=()()有偶数个零点，则实数的取值范围是(,2 52)(2 52,1)(1,14)(14,1)(1,2).所以答案是：1；(,2 52)(2 52,1)(1,14)(14,1)(1,2)解答题 18、如图，某灌溉渠的横断面是等腰梯形，底宽 2m，渠深为 1.8m，斜坡的倾斜角是 45（无水状态不考虑）.(1)试将横断面中水的面积()（m2）表示成水深（m）的函数；(2)当水深为 1.2m 时，求横断面中水的面积.答案：(1)()=2+2(0 1.8)(2)3.84m2 分析：（1）根据给定条件利用梯形的面积公式列式化简即得.（2）由（1）得出的函数的解析式，代入计算可得答案.（1）依题意，横断面中的水面是下底为 2m，上底为(2+2)m，高为h m 的等腰梯形，所以()=2+(2+2)2 =2+2(0 1.8).（2）由（1）知，()=2+2(0 1.8)，(1.2)=1.22+2 1.2=3.84，所以当水深为 1.2m 时，横断面水中的面积为 3.84m2.19、已知()=9 2 3+4，0，2（1）设=3，0，2，求的最大值与最小值；（2）求()的最大值与最小值.答案：（1）最大值为 9，最小值为 1；（2）最大值为 67，最小值 3.解析：（1）对于=3，0，2，直接利用=3为增函数求出的最大值与最小值；（2）把函数()转化为=2 2+4=(1)2+3,(1 9)，利用二次函数求最值即可.（1）设=3，0，2，则1 32，即，即t的最大值为 9，最小值为 1；（2）设=3，0，2，则1 9，函数()转化为=2 2+4=(1)2+3，1 9，=2 2+4在1,9上单调递增，当=1时，最小为=3，当=9时，最大为64+3=67，即()的最大值为 67，最小值 3.小提示：求值域的常用方法：（1）直接法；（2）单调性法；（3）图像法；（4）复合函数法.20、已知函数()=212.（1）判断()在其定义域上的单调性，并用单调性的定义证明你的结论；（2）解关于的不等式(log2)(1).答案：（1）()在 R 上是增函数，证明见解析；（2）(0,2).分析：（1）由题可判断函数为奇函数且为增函数，利用定义法的步骤证明即可；（2）利用函数()的单调性及对数函数的单调性即解.（1）()=2 2=(212)=()，则函数()是奇函数，则当 0时，设0 1 2，则(1)(2)=21121 22+122=21 22+22212122=(21 22)212212122，0 1 2，1 21 22，即21 22 1，则(1)(2)0，即(1)(2)，则()在0，+)上是增函数，()是R上的奇函数，()在R上是增函数.（2）()在R上是增函数，不等式(log2)(1)等价为不等式log2 1，即0 2.即不等式的解集为(0,2).