2023年人教版高中数学第八章立体几何初步基本知识过关训练.pdf

(名师选题名师选题)2023)2023 年人教版高中数学第八章立体几何初步基本知识过关训练年人教版高中数学第八章立体几何初步基本知识过关训练 单选题 1、下图是一个圆台的侧面展开图，若两个半圆的半径分别是 1 和 2，则该圆台的体积是（）A7224B7324C7212D7312 答案：B 分析：先计算出上下底面的半径和面积，再求出圆台的高，按照圆台体积公式计算即可.如图，设上底面的半径为，下底面的半径为，高为，母线长为，则2=1，2=2，解得=12,=1，=2 1=1，=2()2=12(12)2=32，设上底面面积为=(12)2=4，下底面面积为=12=，则体积为13(+)=13(+4+2)32=7324.故选：B.2、若一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面的位置关系是（）A一定平行 B一定相交 C平行或相交 D以上判断都不对 答案：C 分析：利用面面平行的判定即得.一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面内的两条直线，若这两条直线相交且这两条直线平行于另一个平面，则可得这两个平面平行；若这两条直线平行，则这两个平面可能相交也可能平行；故选：C.3、已知正方体 1111的棱长为 2，点在棱上，过点作该正方体的截面，当截面平行于平面11且面积为3时，线段的长为（）A2B1C3D32 答案：A 分析：过点作，1的平行线，分别交棱，1于点，连接，即可得到 为截面，且为等边三角形，再根据截面面积求出的长度，即可求出；解：如图，过点作，1的平行线，分别交棱，1于点，连接，因为/11，所以/11，11面11，面11，所以/面11 因为1/1，所以/1，1 面11，面11，所以/面11 又 =，,面，所以面/面11，则为截面，易知 是等边三角形，则12232=3，解得=2，=22=2.故选：A.4、如图，正方体 1111的棱长为 1，线段11上有两个动点E，F，且=22，则三棱锥 的体积为（）A112B14C212D不确定 答案：A 分析：根据题意可知11/平面，而，在线段11上运动，则/平面，从而得出点到直线11的距离不变，求出 的面积，再根据线面垂直的判定定理可证出 平面，得出点到平面的距离为=22，最后利用棱锥的体积公式求出三棱锥 的体积.解：由题可知，正方体 1111的棱长为 1，则11/平面，又，在线段11上运动，/平面，点到直线11的距离不变，由正方体的性质可知1平面1111，则1，而=22，1=1，故 的面积为1222 1=24，又由正方体可知，1，且 1=，平面11，则 平面，设与交于点，则 平面，点到平面的距离为=22，=132422=112.故选：A.5、在长方体 1111中，=4，=3，1=5，点P在长方体的面上运动，且满足=5，则P的轨迹长度为（）A12B8C6D4 答案：C 分析：由题设，在长方体表面确定P的轨迹，应用弧长公式计算轨迹长度.如图，在左侧面的轨迹为弧1，在后侧面的轨迹为弧，在右侧面的轨迹为弧，在前侧面内的轨迹为弧1.易知|=14 4 2=2，|=14 3 2=32，又sin1=cos=35，cos1=sin=35，1+1=2，则|1|+|1|=14 5 2=52，P的轨迹长度为 6，故选：C.6、已知球O的体积为36，则该球的表面积为（）A6B9C12D36 答案：D 分析：根据球的体积公式求出半径，即可求出表面积.设球的体积为，则由题可得433=36，解得=3，则该球的表面积为4 32=36.故选：D.7、如图，在梯形中，且=2，点为线段的靠近点的一个四等分点，点为线段的中点，与交于点，且=+，则+的值为（）A1B57C1417D56 答案：C 分析：由向量的线性运算法则化简得到=(2)+2 和=(1 )+43，结合,三点共线和,三点共线，得出2+3 2=0和3 4=0，联立方程组，即可求解.根据向量的线性运算法则，可得=+=+(+)=+=()+(+)=()+(2+12)=()+2+12 =(2)+2，因为,三点共线，可得 2+2=1，即2+3 2=0；又由=+=+=+43=(1 )+43，因为,三点共线，可得1 +43=1，即3 4=0，联立方程组2+3 2=03 4=0，解得=817,=617，所以+=1417.故选：C.8、下列命题：有两个面平行，其他各面都是平行四边形的几何体叫做棱柱；有两侧面与底面垂直的棱柱是直棱柱；过斜棱柱的侧棱作棱柱的截面，所得图形不可能是矩形；所有侧面都是全等的矩形的四棱柱一定是正四棱柱 其中正确命题的个数为（）A0B1C2D3 答案：A 分析：均可举出反例.如图 1，满足有两个面平行，其他各面都是平行四边形，显然不是棱柱，故错误；如图 2，满足两侧面11与底面垂直，但不是直棱柱，错误；如图 3，四边形11为矩形，即过斜棱柱的侧棱作棱柱的截面，所得图形可能是矩形，错误；所有侧面都是全等的矩形的四棱柱不一定是正四棱柱，因为两底面不一定是正方形，错误 故选：A 9、一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图如图所示，在正方体中，设的中点为M，的中点为N，下列结论正确的是（）A/平面B/平面 C/平面D/平面 答案：C 解析：根据题意，得到正方体的直观图及其各点的标记字母，取FH的中点O,连接ON,BO，可以证明MNBO,利用BO与平面ABE的关系可以判定MN与平面ABE的关系，进而对选择支 A 作出判定；根据MN与平面BCF的关系，利用面面平行的性质可以判定MN与平面ADE的关系，进而对选择支 B 作出判定；利用线面平行的判定定理可以证明MN与平面BDE的平行关系，进而判定 C；利用M,N在平面CDEF的两侧，可以判定MN与平面CDE的关系，进而对 D 作出判定.根据题意，得到正方体的直观图及其各点的标记字母如图所示，取FH的中点O,连接ON,BO，易知ON与BM平行且相等，四边形ONMB为平行四边形，MNBO,BO与平面ABE（即平面ABFE)相交，故MN与平面ABE相交，故A错误；平面ADE平面BCF,MN平面BCF=M,MN与平面ADE相交，故B错误；BO 平面BDHF,即BO平面BDH,MNBO,MN 平面BDHF,MN平面BDH,故C正确；显然M,N在平面CDEF的两侧，所以MN与平面CDEF相交，故D错误.故选：C.小提示：本题考查从面面平行的判定与性质，涉及正方体的性质，面面平行，线面平行的性质，属于小综合题，关键是正确将正方体的表面展开图还原，得到正方体的直观图及其各顶点的标记字母，并利用平行四边形的判定与性质找到MN的平行线BO.10、球面上两点之间的最短连线的长度，就是经过这两个点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度（大圆就是经过球心的平面截球面所得的圆），我们把这个弧长叫做两点的球面距离.已知正 的项点都在半径为2的球面上，球心到 所在平面距离为263，则、两点间的球面距离为（）AB2C23D34 答案：C 分析：设球心为点，计算出，利用扇形弧长公式可求得结果.设球心为点，平面截球所得截面圆的半径为=22(263)2=233，由正弦定理可得433=sin，=433sin3=2，又 =2，所以，为等边三角形，则=3，因此，、两点间的球面距离为2 3=23.故选：C.小提示：思路点睛：求球面距离，关键就是要求出球面上两点与球心所形成的角，结合扇形的弧长公式求解，同时在计算球的截面圆半径时，利用公式=2 2（其中为截面圆的半径，为球的半径，为球心到截面的距离）来计算.11、如图直角 是一个平面图形的直观图，斜边=4，则原平面图形的面积是（）A82B42C4D2 答案：A 解析：根据斜二测画法规则可求原平面图形三角形的两条直角边长度，利用三角形的面积公式即可求解.由题意可知 为等腰直角三角形，=4，则=22，所以原图形中，=4，=42，故原平面图形的面积为12 4 42=82.故选：A 12、已知圆锥的母线长为 3，其侧面展开图是一个圆心角为23的扇形，则该圆锥的体积为（）A23B223CD2 答案：B 分析：根据弧长计算公式，求得底面圆半径以及圆锥的高，即可求得圆锥的体积.设圆锥的底面圆半径为，故可得2=23 3，解得=1，设圆锥的高为，则=32 12=22，则圆锥的体积=13 2 =13 22=223.故选：B.双空题 13、如图，在空间四边形中，E，H分别是,的中点，点F，G分别在,上，且=23，那么四边形是_形；若=6cm，四边形的面积为28cm2，则平行线与间的距离为_cm 答案：梯；8 分析：通过中位线和线段比例关系可以得到/且 ，则得到四边形是梯形，然后利用梯形的面积公式算出平行线之间的距离 解：因为在 中，E，H分别是,的中点，所以/，=12，又在 中，=23，所以/，=23，所以/且 ，故四边形为梯形，因为=6cm，所以=3cm,=4cm，设，间的距离为，则梯形=(+)2=28，得=8(cm)，所以答案是：梯；8 14、如图，在正方体 1111中，=2，E为AD的中点，点F在CD上若平面1，则线段EF的长度等于_，平面1111内与EF平行的线段是_ 答案：2 11 分析：由线面平行的性质求解 在正方体 1111中，=2，=22 又E为AD的中点，平面1，平面，平面 平面1=，为的中点，=12=2 11，11 所以答案是：2，11 15、“牟和方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体，它是由两个相同的圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体（如图）.如图所示的“四脚帐篷”类似于“牟和方盖”的一部分，其中与为相互垂直且全等的半椭圆面，它们的中心为，为 1.用平行于底面的平面去截“四脚帐篷”所得的截面图形为_；当平面经过的中点时，截面图形的面积为_.答案：正方形 3 分析：根据题设，易知平面与各半圆的相交线段相等且垂直，即可知截面形状，再由平面经过的中点，计算平面与各半圆的相交线段的长度，即可求截面面积.由题知底面 ABCD 是正方形 因为 APC 与 BPD 为相互垂直且全等的半椭圆面 所以平面与各半椭圆面的相交线段相等且垂直,故其截面为正方形.如图,正方形1111即为平面与四脚帐篷所截的图形,面1111 =取11的中点,作平面 PFO,则平面 PFO 与四脚帐篷的交线为一个圆,半径=1 所以=1 当平面经过 OP 的中点,即=12时,=1 (12)2=32 所以正方形1111的边长为3 即截面图形的面积为3 3=3 故答案为：正方形;3 16、如图 1，在一个正方形S1S2S3S4内，有一个小正方形和四个全等的等边三角形.将四个等边三角形折起来，使S1、S2、S3、S4重合于点S，且折叠后的四棱锥SABCD的外接球的表面积是 16(如图 2)，则四棱锥SABCD的体积是_；若在四棱锥SABCD内放一个正方体，使正方体可以在四棱锥SABCD内任意转动，则正方体棱长的最大值为_.答案：163 2 233 分析：（1）确定四棱锥SABCD的外接球球心的位置，进而根据外接球表面积求得正四棱锥棱长，由此可求其体积；（2）先求得四棱锥SABCD的内切球的半径，那么在四棱锥SABCD内放一个正方体的体对角线不超过内切球直径时，便可以在四棱锥内部任意转动，由此可求得答案.在图 2 中，连接AC，BD交于点O，则,是等腰直角三角形，则O是正四棱锥外接球的球心，正四棱锥的所有棱都相等，设其为x，则外接球的半径是OA=22，所以4(22)2=16，=22，因此SO=OA=22=2,故四棱锥SABCD的体积132 =13(22)2 2=163.设四棱锥SABCD的内切球球心为Q，其半径为R，连接QD、QA、QB、QC、QS，则把此四棱锥分为五个棱锥，它们的高均为R，求出四棱锥的表面积：=4+=4 12 22 6+22 22=83+8，四棱锥的体积=163=13(+)=13，则 =1683+8=23+1，设放入四棱锥SABCD内部的小正方体棱长为a，则3 2=43+1=23 2，故 2 233，故a最大为2 233，所以答案是：163，2 233.17、勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动（如图甲）.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分，如图乙所示，若正四面体的棱长为，则能够容纳勒洛四面体的正方体的棱长的最小值为_，勒洛四面体的截面面积的最大值为_.答案：322 分析：求出勒洛四面体表面上任意两点间的距离最大值，可求出能够容纳勒洛四面体的正方体的棱长的最小值；分析可知勒洛四面体面积最大的截面即经过四面体表面的截面，计算出该截面面积，可得结果.由题意可知，勒洛四面体表面上任意两点间的距离最大值为，所以，能够容纳勒洛四面体的正方体的棱长的最小值为；勒洛四面体面积最大的截面即经过四面体表面的截面，假设图 2 是投影光线垂直于面时，勒洛四面体在与平面平行的一个投影平面上的正投影，当光线与平面的夹角小于90时，易知截面投影均为图 2 所示图象在平面上的投影，其面积必然减小，如图 2，则勒洛四面体的截面面积的最大值为三个半径为，圆心角为60的扇形的面积减去两个边长为的正三角形的面积，即122 2 342=322.所以答案是：；322.解答题 18、长方体 1111的体积为，是1的中点，是上的动点，求四面体 的体积 答案：112.分析：因为是上的动点，且/，可求出，再根据=13，即可求出四面体 的体积.设长方体的长、宽、高分别为=，=，1=，则有=.是1的中点，所以=12，因为是上的动点，且/，所以=12 =12，所以=13 =1312 12=112=112.19、如图，在四棱锥 中，底面是边长为 2 的菱形，=60，=90，平面 平面，点F为棱的中点.(1)在棱上是否存在一点，使得/平面？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由；(2)当二面角 的余弦值为24时，求直线与平面所成的角.答案：(1)在棱上存在点E，使得/平面，点E为棱的中点(2)60 分析：（1）取棱的中点E，取的中点Q，连接，证明 ，根据线面平行的判定定理证明；（2）过B作 于H，过H作 于G，根据三垂线定理可得就是二面角 的平面角，由已知二面角 的余弦值为24求得=23，设=，根据面面垂直的性质定理及线面垂直的判定定理得 平面.连接，则就是直线与平面所成的角，求解即可.（1）在棱上存在点E，使得 平面，证明如下：取棱的中点E，取的中点Q，连接，且=12，且=12 ，且=，四边形为平行四边形，又 平面，平面，.平面.（2）设=，=90，.平面 平面，平面 平面=，平面，平面.连接，则就是直线与平面所成的角.由题意得，为等边三角形.过B作 于H，则H为的中点，平面，又 =，平面.过H作 于G，连接，=，平面，平面，就是二面角 的平面角.cos=24，tan=7，易得=3，=217.sin=，2(2)2+22=2171，=23，tan=232=3，=60，即直线与平面所成的角为 60.20、养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐（供融化高速公路上的积雪之用），已建的仓库的底面直径为 12 m，高为 4 m养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大 4 m（高不变）；二是高度增加 4 m（底面直径不变）(1)分别计算按这两种方案所建的仓库的体积；(2)分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积；(3)哪个方案更经济些？答案：(1)方案一：2563（m3），方案二：96（m3）；(2)方案一：325（m2），方案二：60（m2）；(3)方案二比方案一更加经济些.分析：（1）根据圆锥的体积计算公式，带值计算即可；（2）根据圆锥的表面积计算公式，带值计算即可；（3）根据（1）（2）所求，比较体积和表面积的大小，即可判断.（1）按照方案一：仓库的底面直径为16m，高为 4 m，则仓库的体积为1=13=13 (162)2 4=2563（m3）；按照方案二：仓库的底面直径为12m，高为 8 m，则仓库的体积为2=13=13 (122)2 8=96（m3）,（2）根据题意，仓库的表面积即为圆锥的侧面积；按照方案一：仓库的底面直径为16m，高为 4 m，圆锥的母线长=82+42=45（m）则仓库的表面积1=8 45=325（m2）；按照方案二：仓库的底面直径为12m，高为 8 m，圆锥的母线长=62+82=10（m）则仓库的表面积为2=6 10=60（m2）.（3）根据（1）（2）所求，1 2,2 1，故方案二比方案一更加经济些.