全国通用版高中数学第六章平面向量及其应用知识点总结归纳.pdf

(名师选题名师选题)全国通用版高中数学第六章平面向量及其应用知识点总结归纳完全国通用版高中数学第六章平面向量及其应用知识点总结归纳完整版整版 单选题 1、下列命题：（1）零向量没有方向；（2）单位向量都相等；（3）向量就是有向线段；（4）两向量相等，若起点相同，终点也相同；（5）若四边形为平行四边形，则=,=其中正确命题的个数是（）A1B2 C3D4 答案：A 分析：零向量的方向是任意的可判断（1）；单位向量方向不一定相同可判断（2）；有向线段只是向量的一种表示形式可判断（3）；根据向量的二要素可判断（4）；由相等向量的定义可判断（5），进而可得正确答案.对于（1）：零向量不是没有方向，而是方向是任意的，故（1）不正确 对于（2）：单位向量只是模均为单位1，而方向不相同，所以单位向量不一定都相等，故（2）不正确 对于（3）：有向线段只是向量的一种表示形式，向量是可以自由移动，有向线段不可以自由移动，不能把两者等同起来，故（3）不正确，对于（4）：两向量相等，若起点相同，终点也相同；故（4）正确；对于（5）：如图：若四边形为平行四边形，则=，且方向相同，=但方向相反，所以 与 不相等，故（5）不正确；所以正确的有一个，故选：A.2、在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知A=45，a=6，b=32，则B的大小为（）A30B60 C30或 150D60或 120 答案：A 分析：先由正弦定理求出 sinB=12，可得B=30或B=150，再由ab，得AB，从而可求出B=30.由正弦定理得sin=sin，即32sin=6sin45，解得 sinB=12，又B为三角形内角，所以B=30或B=150，又因为ab，所以AB，即B=30.故选：A.3、在平行四边形中，|=3，若|+|=|，则|=（）A23B33C43D3 答案：B 解析：由题意分析可知，四边形为菱形且=120，然后求解|.|+|=|，则平分，则四边形为菱形.且=120，由|=|=3，则|=33,故选：B.小提示：关键点睛：本题考查向量的综合运用，解题的关键是要注意|为 上的单位向量，考查学生的逻辑推理能力与运算能力，属于基础题.4、已知 ，是不共线的向量，=+，=3 2，=2 3，若,三点共线，则实数，满足（）A=5B=+5C=1D=+1 答案：B 解析：根据向量的线性运算方法，分别求得=(3 )(2+)，=；再由/，得到3 =(2+)，即可求解.由=+，=3 2，=2 3，可得=(3 )(2+)，=；若,三点共线，则/，可得3 =(2+)，化简得=+5.故选：B.5、若非零向量,满足|=3|,(2 +3)，则 与的夹角为（）A6B3C23D56 答案：C 分析：设 与的夹角为,|=，进而根据向量数量积的运算律和向量垂直时数量积为 0 得cos=12，进而得答案.解：根据题意，设 与的夹角为,|=，则|=3|=3，若(2 +3)，则(2 +3)=2 +32=62cos+32=0，即cos=12，又由0 ，则=23，故选：C 6、已知向量 ,满足|=1,，则向量 2 在向量 方向上的投影向量为（）A B1 C-1D 答案：A 分析：根据给定条件，求出(2)，再借助投影向量的意义计算作答.因|=1,，则(2)=2 2 =1，令向量 2 与向量 的夹角为，于是得|2|cos|=(2)|=，所以向量 2 在向量 方向上的投影向量为 .故选：A 7、锐角 中，角、所对的边分别为、，若=7、=8，=(12,cos)，=(sin，32)，且 ，则 的面积为（）A3B33C53D103 答案：D 分析：先由向量垂直得到=3，利用余弦定理求出=3或=5，利用锐角三角形排除=3，从而=5，利用面积公式求出答案.由题意得：12sin 32cos=0，故tan=3，因为 (0,2)，所以=3，由余弦定理得：cos=64+24928=12，解得：=3或=5，当=3时，最大值为B，其中cos=49+964273 0，故B为锐角，符合题意，此时=12sin=12 8 5 32=103.故选：D 8、P是 所在平面内一点，满足|+2|=0，则 的形状是（）A等腰直角三角形 B直角三角形 C等腰三角形 D等边三角形 答案：B 分析：根据平面向量的线性运算与模长公式，可以得出=0，由此可判断出 的形状.由|=|+2|，可得|=|+|，即|=|+|，等式|=|+|两边平方，化简得=0，因此，是直角三角形.故选：B.小提示：本题考查了平面向量的线性运算与数量积运算，也考查了模长公式应用，是中等题 9、若点M是ABC所在平面内的一点，且满足 3 0，则ABM与ABC的面积之比为（）A12B13C14D25 答案：B 分析：由平面向量的加法结合已知可得M为AD的三等分点，然后由等高的三角形面积之比等于底边之比可得.如图，D为BC边的中点，则=12(+)因为3 0 所以3=+=2，所以=23 所以=23=13.故选：B 10、已知向量=(2,2)，=(,1)，若=2，则=（）A5B4C3D2 答案：B 分析：先根据已知条件计算，再根据向量数量积的坐标运算求解即可得答案.解：根据题意得：=(,1)(2,2)=(2,1)，所以=2(2)+2 (1)=2 4 2=2，解得=4.故选：B.小提示：本题考查向量的减法坐标运算，数量积的坐标运算，考查运算能力，是基础题.11、我国东汉末数学家赵夾在周髀算经中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示在“赵爽弦图”中，若=，=，=3，则=（）A1225 +925 B1625 +1225 C45 +35 D35 +45 答案：B 分析：根据给定图形，利用平面向量的加法法则列式求解作答.因“弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，且=，=，=3，则=+=+34 =+34(+)=+34(34+)=916+34，解得=1625+1225，所以=1625 +1225.故选：B 12、若(1+i3)=i，则在复平面内复数z对应的点位于（）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 答案：B 分析：先利用复数的除法化简，再利用复数的几何意义判断.因为(1 i)=i，所以=i1i=i(1+i)2=1+i2，故z对应的点位于复平面内第二象限 故选：B 填空题 13、给出下列命题：零向量没有确定的方向；在正方体ABCD-A1B1C1D1中，=11；若向量 与向量 的模相等，则 ，的方向相同或相反；在四边形ABCD中，必有+=.其中正确命题的序号是_.答案：分析：根据零向量、相等向量、向量和及向量模等概念逐一判断.正确；正确，因为 与11 的大小和方向均相同；|=|，不能确定其方向，所以 与 的方向不能确定；只有当四边形ABCD是平行四边形时，才有+=.综上可知，正确命题为.故答案为:14、已知 为正三角形，则下列各式中成立的是_.（填序号）|=|；|=|；|=|；|=|.答案：分析：设,分别为,的中点，根据平面向量的加法和减法的运算法则逐一判断即可得出答案.对于，|=|=|，故成立；对于，设,分别为,的中点，则=32，|=|+|=|2|=3|，|=|+|=|2|=3|，所以|=|，故成立；对于，|=|+|=|2|=3|，所以|=|，故正确；对于，|=|=|，故不成立.所以答案是：.15、设向量 =(1,0),=(1,1)，若向量 +与向量 =(6,2)共线，则实数=_.答案：2 分析：求得 +=(+1,1)，根据(+)/，列出方程，即可求解.由题意，向量 =(1,0),=(1,1)，可得 +=(1,0)+(1,1)=(+1,1)，因为向量 +与向量 =(6,2)共线，所以2(+1)6=0，解得=2.所以答案是：2.16、在菱形中，=3，=60，=2，则=_.答案：3 分析：利用向量加减法的几何意义可得=+13、=，再应用向量数量积的运算律及已知条件求 即可.由题意，=(+13)()=2+132+23=9+3+3=3.所以答案是：3 17、三条直线1、2、3两两平行，1到2的距离为1，2到3的距离为2，等边三角形三个顶点分别在这三条直线上，则该三角形的面积为_.答案：733或3 分析：分两种情况讨论：（1）1、3在2的异侧；（2）2、3在1的异侧.在两种情况下，设等边三角形的顶点 1、2、3，设等边三角形的边长为，设与直线2的夹角为，根据已知条件建立关于、的等式组，求出的值，由此可求得等边三角形的面积.分以下两种情况讨论：（1）若1、3在2的异侧，设等边三角形的顶点 1、2、3，如下图所示：过点作直线2的垂线分别交直线1、3于点、，则=1，=2，设等边三角形的边长为，设与直线2的夹角为，则3 也为锐角，由0 20 3 2，解得0 3，由题意可得=1=(3)=20 3，解得=2114=2213，此时，该三角形的面积为=122sin3=34283=733；（2）若2、3在1的异侧，设等边三角形的顶点 1、2、3，如下图所示：过点作直线1的垂线分别交直线2、3于点、，则=1，设等边三角形的边长为，设与直线2的夹角为，则3 也为锐角，由0 20 3 2，解得0 3，由题意可得=1=(3)=10 3，解得=12=2，此时，该三角形的面积为=122sin3=34 4=3.综上所述，该等边三角形的面积为733或3.所以答案是：733或3.小提示：关键点点睛：本题考查解三角形的实际应用，解题的关键就是选择合适的角，将问题中的边与相应的角用来边角，根据已知条件产生相等关系，结合三角函数相关知识求解.解答题 18、在 中，、的对边分别为、，其中边最长，并且sin2+sin2=1(1)求证：是直角三角形；(2)当=1时，求 面积的最大值 答案：(1)证明见解析(2)14 分析：（1）利用同角关系，将已知条件变形，配合诱导公式，可以证明结论.（2）利用勾股定理知2+2=2=1，利用基本不等式可得面积最大值(1)证明：由sin2+sin2=1，得sin2=1 sin2，即sin2=cos2，又边最长，则、均为锐角，所以sin=cos=sin(2)，解得=2，+=2即=2，所以 为直角三角形(2)因为=2，由勾股定理2+2=2,因为=1，所以2+2=1.记 面积为,则=12，由2 2+2得=12 14(2+2)=14，当且仅当=22时等号成立 所以当=22时，面积取到最大值14 19、如图，平行四边形中，=12，为线段的中点，为线段上的点且=2.（1）若=+，求的值；（2）延长、交于点，在线段上（包含端点），若=+(1 )，求的取值范围.答案：（1）1427；（2）1,0 分析：（1）由题意可得=13+23，=+13,=+12，进而可得结果.（2）设=，则1 2，则=(1 )+=+(1 )，=1 ，由1 2，即可得出结果.（1）=2 =2()=13+23 由已知=+13,=+12 =23+79，=23，=79 =1427（2）/，N为的中点，易证 与 全等，则=，设=，则1 2 =(),=(1 )+=+(1 )1 =,=1 1 1 2,1 0 1,0 20、在ABC中，a=3，bc=2，cosB=12（）求b，c的值；（）求 sin（BC）的值 答案：()=7=5；()473.分析：()由题意列出关于a,b,c的方程组，求解方程组即可确定b,c的值；()由题意结合正弦定理和两角和差正余弦公式可得sin()的值.()由题意可得：=2+222=12 =2=3，解得：=3=7=5.()由同角三角函数基本关系可得：sin=1 cos2=32，结合正弦定理sin=sin可得：sin=sin=5314，很明显角C为锐角，故cos=1 sin2=1114，故sin()=sincos cossin=473.小提示：本题主要考查余弦定理、正弦定理的应用，两角和差正余弦公式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.