四阶偏微分方程的数值解法可视化软件仿真_吕娜.pdf

为了实现对仿真目标的可视化绘制,提出基于四阶偏微分方程数值解法的可视化软件仿真方法。结合仿真目标参数域设计用于仿真目标属性求解的四阶偏微分方程,采用 MATLAB 数值解法求解偏微分方程,并设计属性精确值求解的边界条件。在 MATLAB 偏微分方程工具箱中,通过对应的操作指令,设计仿真目标初始曲面后,准确提取仿真目标属性的精确解,在初始曲面的基础之上绘制仿真目标的可视化图像。测试结果显示,上述方法应用后,绘制的可视化仿真图像画面光滑,可优化仿真目标可视化图像绘制效果。关键词:四阶偏微分方程;可视化软件;边界条件中图分类号:TP391 文献标识码:BVisual Software Simulation for Numerical Solution of Fourth-OrderPartial Differential EquationsLV Na1,JI Hong2(1.Changchun College of Electronic Technology-School of Optoelectronic Science,Changchun Jilin 130012,China;2.Beihua University-School of Computer Science and Technology,Jilin Jilin 132000,China)ABSTRACT:In order to realize the visualization of the simulation target,a method of simulating visual softwarebased on the numerical solution of fourth-order partial differential equations was put forward.Combining with the sim-ulation target parameter domain,we designed a fourth-order partial differential equation for solving the target proper-ty,and then used MATLAB numerical method to solve the partial differential equation.Meanwhile,we designed theboundary conditions for solving the exact values of the attributes.In MATLAB partial differential equation toolbox,wedesigned an initial surface of the simulation target through corresponding instructions.After that,we could extract theexact solution.Finally,the visual image of the simulation target was drawn on the basis of the initial surface.The testresults show that the visual simulation image becomes smoother,so the proposed method can optimize the drawingeffect of the visual image of the simulation target.KEYWORDS:Fourth-order partial differential equation;MATLAB numerical solution;Visual software;Boundary conditions1 引言目前计算机软硬件的发展速度较快,图形处理能力迅速提升,在此背景下,人们对可视化软件仿真效果的需求逐渐增多,且要求也越发严格1。基于工程技术领域,可视化技术能够完成虚拟样机、飞行、测试等工作,可视化软件仿真技术可保证工程设计人员能够及时识别设计中存在的异常问题2。可视化软件仿真技术的应用目的是:为用户提供多视点、多样化分析仿真过程的人机交互界面,使界面的操作效果更直观3-5。偏微分方程是目前科学研究领域、工程技术研究领域常用的数学工具。比如固体稳恒、非稳恒的热传导问题处理、可渗透介质中流动与扩散等问题在求解时,经常使用椭圆型方程、抛物型方程。声波、电磁波等传播问题分析也经常使用双曲型方程6。偏微分方程的数值求解属于数值分析的核心环节,偏微分方程数值求解问题在科学研究领域占据不633可撼动的地位。本文将四阶偏微分方程数值解法应用于可视化软件仿真研究中,主要使用 MATLAB 编程求解四阶偏微分方程,获取仿真目标可视化三维图形绘制的属性值,绘制仿真目标的可视化三维图形,完成仿真目标在可视化软件的仿真研究。2 面向仿真目标属性求解的四阶偏微分方程2.1 四阶偏微分方程设计设置仿真目标在可视化软件中绘制可视化仿真图像时,其属性精确值求解的一类非线性四阶偏微分方程是(ku+u3)xx+utt+cuxuxx+uxtt=fuuxxx+guuxxxxhuxuxxxx(1)式中,k、c、f、g、h 属于固定不变的数值。设置 u(x,t)=(x,t)+R,将其导进式(1)后存在(k+2R)xx+22x+2xx+tt+cxxx+xtt-fxxx-fRxxx-gxxxx-gRxxxx-hxxxxx=0(2)将上式约简,则(k+2R)-fR2x()xx+x(2+cx)x+(2-fx)xx+(+x)tt-fR2+gRx()xxx-xxxx(g+hx)=0(3)设置=-x,式(3)中的各项与 的微分存在直接关联,所以相关系数需要符合条件:=-1,c=-2,f=2,f=-2,h=-g,k+2R=-fR2。求解为:=-1,c=-2,f=2,g=-,h=,R=-k。此时将式(3)转换成:-kxx+2xx+2xx-tt+kxx+xxxx=0(4)2.2 四阶偏微分方程求解过程设计对式(1)求解时,主要从 2 个角度分析:1)角度 1如果 0,则方程=0,则-x=0。此时属性精确值的解组设计为:(x,t)=A(t)ex,其中,A(t)属于随机函数。2)角度 2如果=0,k0,那么上式转换成-kxx-tt+kxxx=0(5)此时介绍三种属性精确值的求解过程:如果=-x,-x=cx+dt,则属性精确值的基本解组是(x,t)=A(t)ex+cx+dt,其中,c、d 属于固定不变的数值。如果=-x,-x=x2-kt2,则属性精确值的基本解组是(x,t)=A(t)ex+x2-kt2。如果=-x,=-x=x3-3k(x-1)t2,则属性精确值的基本解组是(x,t)=A(t)ex+x2-3k(x-1)t2。3 可视化软件仿真显示方法目前初等函数学习过程中,需要先绘制函数图形,通过图形可以实现函数的直观性。但针对偏微分方程来讲,此类方程的图形绘制存在一定难度,特别是不存在解析解的偏微分方程,图形绘制的难度更加显著7。偏微分方程属于数学物理方程的核心方程。因此,本文使用 MATLAB 数值解法求解 2.1 小节所建立仿真目标属性求解的四阶偏微分方程后,结合获取的属性精确信息数值制作为三维可视化仿真图像。3.1 MATLAB 数值解法的三维图形制作MATLAB 具有工程与科学数据可视化仿真需要应用的所有图形工具与功能,其核心功能分别是三维绘图函数设计、交互图形设计。此类设计功能使用后,便可输出各种图形格式。除此之外,MATLAB 还具有用于可视化仿真的函数,此类函数类型主要微分三维标量、三维绘图函数等8-10。MATLAB 的微分方程工具箱针对平时常用的偏微分方程都具有较好的求解能力,属于实用性显著的数值运算工具11。特别是边界条件难度不大的前提下,用户即使不会编程技术,也可以在图形窗口,获取方程的数值解完成可视化仿真设计12。3.2 偏微分方程的边界条件设计使用 MATLAB 求解偏微分方程时,需要设计属性精确值求解的边界条件:1)边界条件 1-Dirichlet 边界条件hu=r(6)2)边界条件 2-Generalized Neumann 边界条件n(c u)+qu=g(7)式中,边界外法向单位向量是 n;边界中仿真目标属性精确值的复函数是 q、r。针对仿真目标属性值求解问题来讲,g 的数值是 0。针对非线性问题来讲,g、q、h 与 u 存在紧密联系。针对抛物型方程与双曲类方程来讲,g、q、h、r 与时间存在紧密联系。3.3 可视化软件仿真程序流程设计偏微分方程工具箱具备操作界面,且此界面简单易懂,使用此工具箱的指令便可实现任务的灵活、快速处理。例如快速绘制复杂的几何图形,设置不标准的边界条件等13。差异的指令需要使用差异的数据,所以想要准确使用指令便需要分析数据结构与指令之间的关联性。图 1 是求解四阶偏微分方程的流程图。如图 1 所示,指令都以矩形框显示,矩阵、M 文件都以圆形框显示。在求解过程中,仿真目标的四阶偏微分方程的矩阵、公式、空间矩阵都可以用几何区域模式显示,几何区域模式的应用指令是 Decsg,而属性精确值求解过程中需要分解几何区域时,分解的几何区域结构主要分为几何矩阵、几何 M 文件,此操作也应用指令 Decsg 完成,并在图形用户界面反馈733给用户14。MATLAB 在设计式(6)条件与式(7)条件时,需要使用矩阵模式、M 文件模式描述相关变量,矩阵在图形用户界面输出,M 文件需要使用指令 Wbound 设计。MATLAB 在求解仿真目标的四阶偏微分方程时,使用系数矩阵或者系数 M 文件代表各个方程的 k、c、f、g、h。图 1 四阶偏微分方程求解流程图3.4 可视化图像绘制运用 MATLAB 求解式(1)时,仿真目标的全部信息都会变换成网格数据分布在自己所属的网格区间内,将网格区间划分为多个子区域,这一操作需要使用指令 Initmesh 完成,然后使用指令 Refinemesh 将仿真目标网格数据进行精细化处理。运用 MATLAB 求解四阶偏微分方程时,求解结果为解矢量,其为各个独立变量在网格节点中的数值。解矢量可通过指令 Assempde 完成提取。主要结合网格、边界条件与方程系数求解四阶偏微分方程,因为解矢量与对应的数据网络存在紧密联系,二者缺一不可。结合四阶偏微分方程数值解的获取,仿真目标可视化图像绘制步骤如下:1)建立参数域构建仿真目标的三维图形参数域,所输入的已知参数属于仿真目标的散乱数据点,此类数据点不存在规律性,把它投影在二维平面中,结合坐标值设置四阶偏微分方程的参数域,并对其实施网格分解。2)设计初始曲面初始曲面属于一种拓扑结构,图形凹凸且光滑性较差。设计参数域之后,各个网格点仅存在横、纵坐标,但不具有属性值 l。求解过程中都是根据目前时间段的属性估计后续时刻属性,所以必须设置各个网格点的初始值,因为网格点的属性值需要在初始值的基础上执行加权平均操作才可获取,所以将已知点设成控制点,属性固定化,剩下网格点的属性值需要结合控制点的具体情况设置。为了优化操作效率,需要保证网格点初始值更为精确化。本文使用 Voronoi 图区域赋值法,将各个控制点 Voronoi 图内部的网格点设成此控制点的值。求解四阶偏微分方程时,网格点的属性值存在不可变动特征15-17。3)属性值求解设计初始曲面之后,求解四阶偏微分方程的稳定解,求解时,若初始曲面某个网格属于已知点,代表控制点,此网格点的属性便无须求解,控制点的属性固定,不会出现变动,此模式条件下设计的曲面主要插值在控制点。如果目前时刻求解结果和后续时刻求解结果的最大误差较小,便表示求解的属性值属于稳定解,利用此属性解,使用指令 Pdeintrp 和Pdeprtni 完成函数变换,通过 Plot 指令在初始曲面基础之上绘制三维可视化图像,从而实现仿真目标的可视化图像绘制18,19。4 实验效果分析为了测试本文方法的仿真效果,使用 Visual J+6.0 工具,通过 MATLAB 编程设定实验测试环境。本文方法使用MATLAB 数值解法求解某仿真目标的四阶偏微分方程时,若(x,t)=A(t)ex+x2-3k(x-1)t2为仿真目标四阶偏微分方程的属性解,A(t)=sin(t)+cos(t),x=-2,t=-10,10时,函数A(t)的波形图如图 2 所示。如图 2 所示,x=-2,t=-10,10时,此条件下 A(t)函数的波动不稳定,x=-1,1,t=50 时,A(t)函数的波动稳定,为此,在后续实验中,设置条件,x=-1,1,t=50。设置边界条件 1 中 hu 的值依次是为 0.55、1.05,则求解仿真目标四阶偏微分方程时,数值拟合与绝对误差的结果如图 3、图 4 所示。833图 2 四阶偏微分方程的数值解波形图图 3 数值拟合效果图 4 绝对误差如图 3、图 4 所示,若(x,t)=A(t)ex+x2-3k(x-1)t2为仿真目标四阶偏微分方程的属性解,边界条件 1 中 hu 的值是 0.55 时,四阶偏微分方程数值解高度拟合,数值解绝对误差极小,由此验证,本文方法在求解仿真目标四阶偏微分方程数值解时,hu=0.55,此时具有求解数值精准度高的优势。本文方法应用后,仿真目标属性信息求解的可视化软件仿真界面如图 5 所示。如图 5 所示,用户点击绘图后便可得到三维图像结果如图中左下方三维函数图所示。使用此函数表达的属性信息进行三维图像重构,其中网格点信息如图 6 所示,可视化仿真效果图如图 7 所示。如图 6、图 7 所示,本文方法能够使用四阶偏微分方程数值求解的模式,提取仿真目标的网格点属性值,实现仿真目图 5 本文方法应用下可视化软件仿真界面图 6 仿真目标网格化示意图图 7 可视化仿真效果图标的可视化图像绘制,绘制后的可视化仿真图像画面光滑,原因是本文方法能够结合仿真目标的参数域设计匹配的非线性四阶偏微分方程,准确提取仿真目标的属性精确信息,从而优化仿真目标可视化图像绘制效果。5 结论求解偏微分方程是目前科学与工程计算的重要环节,很多大型计算任务都必须使用偏微分方程数值解的形式分析问题。MATLAB 是一种集技术研发、数据可视化等技术于一身的编程技术,所以本文提出基于四阶偏微分方程数值解法的可视化软件仿真方法,构建仿真目标的四阶偏微分方程之后,使用基于 MATLAB 数值解法的偏微分方程求解与可视化仿真显示方法,完成仿真目标属性数据提取,从而制作为仿933真目标的三维图像,完成可视化仿真。在实验中,本文方法被证实具有可用性,但数学分析技术都需要分析大量数据,操作过程难免烦琐,在日后的研究工作中,会引入机器学习类技术优化其应用效率。参考文献:1 严相,王堂辉,伍相宇,等.基于 Simulink 与 C 混合编程的插补算法可视化仿真技术研究J.机械设计与研究,2021,37(5):143-147.2 苏昊翔,董正宏,杨帆,等.基于 Cesium 的卫星载荷可视化仿真分析平台J.计算机工程,2020,46(10):193-200.3 贾岛,余曜,蒋涛,等.基于 Unity 3D 的防空导弹引战配合可视化仿真研究J.弹箭与制导学报,2021,41(6):49-52.4 胡涛,梁森,万波.基于 MCNP 的空间辐射效应可视化仿真系统设计J.空间控制技术与应用,2022,48(1):72-80.5 纪录,吴国东,王志军,等.基于 STK 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红(1981-),女(汉族),吉林省吉林市人,硕士研究生,讲师,研究方向:智能计算。(上接第 299 页)10 吴向明,范波,张启启,宋晓明.基于能量耦合的欠驱动三维BC 防摆控制J.计算机仿真,2021,38(3):194-200.11 刘保朝,贾红雨,陈能祥.基于 LQR 算法的三维桥式吊车定位及防摆控制研究J.计算机测量与控制,2018,26(6):89-93.12Xuejuan Shao,Jinggang Zhang,Xueliang Zhang,Jorge Rivera.Takagi-Sugeno Fuzzy Modeling and PSO-Based Robust LQR Anti-Swing Control for Overhead CraneJ.Mathematical Problemsin Engineering,2019,2019.13 武宪青.桥式吊车系统的部分反馈线性化控制研究D.浙江工业大学,2016.14 马博军,方勇纯,刘先恩,等.三维桥式吊车建模与仿真平台设计J.系统仿真学报,2009,(12):3798-3803.15 范波,张炜炜,廖志明.基于在线轨迹规划的桥式起重机定位消摆控制J.控制工程,2020,27(9):1538-1544.作者简介谷帅辉(1995-),男(汉族),河南省洛阳市人,硕士研究生,主要研究领域为桥式起重机的防摆定位。范 波(1975-),男(汉族),河南省洛阳市人,教授,博士后,硕士研究生导师,主要研究领域为电力电子、桥式起重机防摆定位、工业大数据智能化控制技术。赵政鑫(1996-),男(汉族),河南济源市人,河南科技大学硕士研究生,研究方向为智能设计与制造。廖志明(1985-),男(汉族),河南洛阳市人,硕士,工程师,主要研究领域为桥式起重机定位防摆。043