第二章：叶片振动(课堂PPT).ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,LABORATORY OF INTENSITY AND VIBRATION,HIT,第二章 叶片振动,振动的基本概念,引起叶片振动的激振力,叶片振动型式,等截面叶片自振频率计算,叶片弯曲振动自振频率修正因素,叶片动应力,叶片振动安全性校核,透平叶片不断受到脉动气流力的作用，叶片产生振动。当激振力频率等于叶片自振频率时产生共振，会使叶片疲劳断裂。,透平运行的经验表明，叶片损坏的原因，多数是由于叶片振动疲劳引起。,研究叶片振动的必要性：,据国外统计：汽轮机叶片事故约占汽轮机事故的,39%,，燃气轮机轮机叶片事故所占的比例更高；,国内统计：,19731975,三年间，六千万千瓦以上国产机组和一万千瓦以上进口机组共发生,350,起,40,多种类型的汽轮机叶片损坏事故，其中大多数事故是由振动疲劳所致。,叶片受到一短时间的作用力开始振动，振动开始后外力即不起作用，叶片在内在弹性力和质量的惯性力作用下继续振动，若无摩擦，振动将一直持续下去，这种振动称为自由振动。,单自由度质点弹簧系统的自振频率为：,2-1,振动的基本概念,2-1,振动的基本概念,叶片振动的,理论基础,是理论力学中讨论过的单,自由度振动系统的自由振动，阻尼自由振动和受迫振动,。,可以看出无阻尼自由振动的频率只与振动系统的刚性系数及质量有关,一、无阻尼自由振动,二、有阻尼自由振动,实际物体的自由振动总是逐渐衰减的。,阻尼包括三方面：,1.,相邻物体接触表面之间的干摩擦力；,2.,介质阻力；,3.,材料内摩擦力。,小阻尼情况下的振动特性：,振动位移与阻尼、时间的关系,2-1,振动的基本概念,2-1,振动的基本概念,小阻尼时，阻尼振动自振频率和无阻尼时的自振频率相同。,阻尼振动的振幅按等比级数衰减，相隔一周期,T,的两个振幅的比值是一个常数,对数衰减率：经过一个周期后，相邻两个振幅比值的自然对数。,三、受迫振动、共振,受迫振动：在周期性激振力的作用下迫使叶片振动，外界激振力,始终作用在叶片上，强迫叶片按外界激振力的频率振,动，与叶片的自振频率无关。,受迫振动振幅的大小取决于外界激振力的大小、频率以及叶片自振频率和阻尼的大小。,在受迫振动中我们关心的是振动的振幅。,周期性激振力,在该激振力作用下，其受迫振动的振幅为,2-1,振动的基本概念,2-1,振动的基本概念,由上式可知：激振力的幅值越大则振幅越大，此外振幅是与激振力频率 和自振频率有关的。,称为放大系数,。,在无阻尼受迫振动时，大小取决于激振力频率与自振频率的比值,图,2-2,无阻尼频幅曲线,2-1,振动的基本概念,下面分析质点,-,弹簧系统有阻尼的受迫振动。,质点受到的力：,惯性力,弹性恢复力,摩擦阻力,激振力,根据动静法以上各力应该平衡，得振动系统的运动微分方程：,在小阻尼情况下，自振频率 以及引入 ，故,2-1,振动的基本概念,时（,2-5,）第一项分式是有阻尼受迫振动的幅值，即,式中,Y,s,激振力幅值,P,静,态作用下的挠度；,振动位移与激振,力间的相位角。,上式的解在振动稳定的情况下,（,2-5,）,因此，有阻尼受迫振动的放大系数,为,2-1,振动的基本概念,当分母中根号内数值最小时，放大系数最大。这时候的,值由下式确定,求导得到,得到一个重要结论：,在小阻尼情况下最大的振幅也是在,=,n,时出现，此时激振力的变化在时间和方向上与自由振动完全合拍而产生共振。,得到共振时的放大系数和振幅数值为,有阻尼的受迫振动，振幅还受到阻尼大小的影响，如图。可以看出，增加阻尼能使共振振幅大大降低。,此外，振幅还受到激振力大小的影响。激振力愈大则振幅愈大。,图,2-3,有阻尼频幅曲线,图,2-3,表示不同对数衰减率,时，,与,/,n,的关系曲线。可以看出,不但在,/,n,=1,时振幅很大，而且,/,n,在,1,附近振幅也很大，这个范围为,/,n,=0.75,1.25,，称为共振区。,2-1,振动的基本概念,第二章 叶片振动,振动的基本概念,引起叶片振动的激振力,叶片振动型式,等截面叶片自振频率计算,叶片弯曲振动自振频率修正因素,叶片动应力,叶片振动安全性校核,2-2,引起叶片振动的激振力,按产生原因可分为两类：,1,、由于结构上的因素产生的；,2,、由于制造安装的误差产生的。,一、由于结构上的因素产生的激振力,由于喷嘴叶栅出口气流不均匀引起的激振力,喷嘴后气流力的分布,喷嘴出气边，由于有一定的厚度，使得每个喷嘴出口边的气流速度降低，作用在叶片上的气流力小；,喷嘴通道中部，气流速度大，作用在叶片上的气流力大，如右图。,因此，当工作叶片旋转到喷嘴出口边缘处，作用在叶片上的气流力突然减小，而离开出口边缘时气流作用力又突然增大。这样叶片每经过一个喷嘴槽道就受到一次激振，叶片受到周期性的激振力作用。,实际的喷嘴数为 ，叶片每秒转速为,n,s,时，则叶片转一圈所需的时间为,1/n,s,秒，叶片通过进汽弧段,AB,所需的时间为,1/n,s,。但叶片通过进汽弧段时，共受到 次激振力的作用。因此每秒受到激振力的次数，即激振力的频率为：,如果不是整圈都有喷嘴，应该将实际的喷嘴数 化为相当的整圈喷嘴数,Z,1,。,2-2,引起叶片振动的激振力,若整圈的喷嘴数为,Z,1,，叶片每秒钟旋转,n,s,转，则叶片得到,Z,1,n,s,次激振，激振力的频率为,由于隔板上的喷嘴数,Z,1,在,40100,以上，对于,3000,转,/,分的汽轮机，这种激振力的频率范围在,20007000Hz,左右。,2-2,引起叶片振动的激振力,部分进汽：在汽轮机的某级中，沿圆周方向只有一部分圆周弧段进汽。,部分进汽,如图所示，喷嘴进汽弧段没有充满整个圆周，只有一部分弧段进汽。在喷嘴之间的空挡没有蒸汽流过。当叶片旋转经过进汽弧段时，受到全部气流力的作用，而当叶片推出进汽弧段进入空挡时，气流的作用力突然将为零。,与喷嘴出口汽流尾迹产生的激振力比较，部分进汽产生的激振力大。,其激振力的频率为,in,s,若喷嘴组对称分布，则,i,为喷嘴组的数目。,2-2,引起叶片振动的激振力,3.,抽,汽管、排汽管等结构引起的激振力,4.,气流通道中,加强筋和肋引起的激振力,当汽流沿管道流出时，使处于这些管道的前一级和后一级的级后或级前压力沿圆周方向分布不均匀。因为在抽气管或排气管口处的压力比沿圆周方向远离抽气管地方的压力显著低。激振频率为,in,s,。,汽流通道中加强筋和肋的存在，阻止汽流流动，使加强筋和肋前后的速度减小，从而使汽流参数沿圆周方向不均匀，形成激振力。,二、制造、安装偏差引起的激振力,1.,喷嘴和叶片槽道制造、安装偏差引起的激振力,某些喷嘴和叶片的节距和安装角偏离设计值，则槽道的面积和进出气角与其他喷嘴不同，使这些喷嘴后的气流参数不同。叶片旋转到这些喷嘴处，受到突变气流力的作用，引起振动。,2-2,引起叶片振动的激振力,2.,隔板中分面处喷嘴接合不良引起的气流激振力,若隔板制造偏差，当上下隔板接合时，则喷嘴型线部分便会错开。如下图,中左边图所示。,在该处形成汽流突变，形成激振力。其激振力频率为,in,s,（,i=1,、,2,）,。,斜切分面不剖分喷嘴叶型，可避免这种激振力。,隔板接合面处的喷嘴,三、激振力频率,气流激振力的基本频率可归结为两类：,一类是喷嘴叶栅出口边厚度引起的、频率为 的高频激振力；另一类是其他因素引起是、频率为 的低频激振力。,叶片在不均匀的气流中转动时，不仅受到基本频率激振力的作用，而且受到基本频率倍数的激振力的作用。,2-2,引起叶片振动的激振力,2-2,引起叶片振动的激振力,叶片在低频不均匀气流场中旋转时，主要考虑,K=16,激振力的作用，其相应的频率为,式中,K=1,、,2,、,3,6,。,在基本频率为 的不均匀流场中，叶片承受的高频激振力频率为,式中,K=1,、,2,、,3,。,第二章 叶片振动,振动的基本概念,引起叶片振动的激振力,叶片振动型式,等截面叶片自振频率计算,叶片弯曲振动自振频率修正因素,叶片动应力,叶片振动安全性校核,2-3,叶片振动形式,一、单个叶片的振型,振动的基本形式：弯曲振动和扭转振动。,弯曲振动又可分为切向振动和轴向振动。,切向振动,：绕截面最小惯性矩轴的弯曲振动。,轴向振动,：绕截面最大惯性矩轴的弯曲振动。,a),切向振动,b),轴向振动,c),扭转振动,切向振动,轴向振动,扭转振动,2-3,叶片振动形式,2-3,叶片振动形式,1,、弯曲振动,根据叶顶支承情况的不同分成：,A,型振动和,B,型振动。,A,型振动：叶根固定叶顶自由的振动型式。,A,型振动,节线,A,0,型振动：节线在根部，叶顶振幅最大。,A,1,型振动：节线在根部和叶身上，共两条。,A,2,型振动：根部一条节线，叶身上两条节线。,这些振型按自振频率的大小排序：,A,0,、,A,1,、,A,2,、,A,3,对等截面叶片而言，它们的频率之间有一定的比例关系,2-3,叶片振动形式,B,型振动,B,型振动：叶根固定叶顶铰支的振动型式。,B,0,型振动：顶部不动，叶片中间没有节点。,B,1,型振动：叶片中间有一条节线。,B,2,型振动：叶片中间有两条节线。,对等截面叶片而言，它们的频率之间也有一定的比例关系,此外，对装在叶轮上的叶片，当叶片产生轴向振动时，叶轮往往亦产生轴向振动，叶片和叶轮作为一整体作轴向振动。因此讨论叶片的轴向振动时应该将叶轮和叶片作为一个振动系统来考虑。只有叶轮较厚，而叶片较长时，可忽略叶轮振动，只考虑叶片的振动。,2-3,叶片振动形式,扭转振动振型,一阶,二阶,叶片的扭转振动，亦可按频率的高低分为第一、二、三等阶次的振动。右图,表示，单个叶片作第一、第二阶扭转振动时，角振幅沿叶高的变化曲线。随着阶次的升高，角振幅愈来愈小。,在图,b,中表示出第一阶振型有一根节线,;,第二阶振型有两根节线。,对于等截面叶片扭转振动前三阶频率之间的比值为,单个叶片的扭转振动频率比较高，一般第一阶的扭转振动的频率在切向振动第一阶和第二阶频率之间靠近第二阶切向振动的频率。,2.,扭转振动,2-3,叶片振动形式,复合振型,二阶弯曲一阶扭转振型,二阶弯曲二阶扭转振型,叶片振功型式除了上述弯曲振动和扭转振动外，对变截面的扭转叶片实际上还会产生弯曲,-,扭转的复合振动。右图为弯,-,扭复合振动的型式。随着节线数日增多频率也增高。,3.,复合振动,二、叶片组振型,叶片组的切向振动：,1,）顶部可动的叶片组振动，,A,型；,2,）顶部不可动的叶片组振动，,B,型。,此外还有叶片组的轴向振动。,2-3,叶片振动形式,叶片组切向,A,型振动,1.,叶片组,A,型振动,特点：组内叶片作同相的振动且频率相同，振型和单个叶片,A,型振动相同。,由于围带（或拉金）的影响，叶片组,A,型的自振频率与相同尺寸的单个叶片频率不同。可以大于也可以小于单个叶片的自振频率。因为,围带的存在提高了叶片的刚性，使自振频率增加,;,但围带又增加叶片组的质量，使自振频率降低。,轴向,A,型频率比相同尺寸的单个叶片轴向,A,型频率低。,没有节点的是第一阶振动以,A,0,表示；有一个节点的是第二阶振动以,A,1,表示；有两个节点的是第三阶振动以,A,2,表示。,2-3,叶片振动形式,2.,叶片组切向,B,型振动,叶片组的,B,型振动，,和单个叶片的,B,型振动相类似。但是,由于组内叶片振动的相位不同，其同一阶次的振动中有不同的振动型式。归结为两类,B,型振动，如图,叶片组内左半边和右半边相应的叶片振型是对称的。叶片数为奇数时，中间叶片保持不动。,第一个叶片和最末一个叶片、第二个叶片和倒数第二个叶片等，它们作同样的振动。,2-3,叶片振动形式,围带的影响：增加叶片组的自振频率。,因为围带不动，因此围带的质量对叶片组的自振频率可以说没有影响。,逐渐提高激振力的频率，将交替出现,A,型和,B,型振动。,其自振频率依次增高，即 。,通常出现的主要是,型振动；,更高音调的振型由于频率高振幅小，即使出现，也不危险,。,以上讨论的叶片组的,A,型和,B,型振动，是围带联结或围带加拉金联结的叶片组的振动类型。,单以拉金联成,的叶片组可以产生,A,型振动不可能产生,B,型振动，因为顶部没有支点。,以围带和拉金联成的叶片组不可能产生,B,0,型振动，因为,B,0,型振动，组内叶片的节距是不相等的，而且没有节点。加上拉金以后，则节距维持一定，因此加拉金就避免了,B,0,型振动。,3.,叶片组轴向振动,叶片组轴向振动,除了以上讨论的叶片组,A,型和,B,型切向振动外，叶片组,(,围带或拉金联接,),还会产生叶片组轴向振动。图,a,为,X,型振型，拉金有一个节点；图,b,为,U,型振型，拉金有两个节点。,叶片和叶片组的振动类型很多，以上介绍的只是几种主要的振动类型。,设计时择其危险的振型加以考虑，通常校核,的振动特性。,2-3,叶片振动形式,2-3,叶片振动形式,2-3,叶片振动形式,2-3,叶片振动形式,第二章 叶片振动,振动的基本概念,引起叶片振动的激振力,叶片振动型式,等截面叶片自振频率计算,叶片弯曲振动自振频率修正因素,叶片动应力,叶片振动安全性校核,2-4,等截面叶片自振频率计算,一、等截面单个叶片弯曲振动静频计算,概念：静频率是指叶片不旋转时的自振频率。,动频是指计及叶片离心力影响的自振频率。,下面讨论叶片的静频率计算公式,叶片是弹性梁，,当叶片振动时，其各点的挠度,y,不仅是位移,x,的函数数，而且是时间,t,的函数。由于,叶片振动是简谐振动，,y,随时间按正弦规律变化，因此叶片的挠度曲线可以用下式来描述：,（,2-13,）,式中,F,叶片的截面面积；,叶片材料密度。,负号表示惯性力的方向和加速度 的方向永远相反。,这样把惯性力视为作用在叶片梁上的分布载荷。,2-4,等截面叶片自振频率计算,叶片作自由振动，没有外力作用。,在振动的任一瞬间，弹性力和惯性力总是大小相等，方向相反互相平衡着。虽然在振动的过程中惯性力是随时间变化的，但弹性力也相应变化，它们彼比之间总是维持平衡。,这样可以把叶片在任一瞬间看成一在惯性力载荷作用下的静止梁。,作用在叶片单位长度上的惯性力为,叶片受力分析：,在梁上任取一微段,dx,在微段上所受的力矩如图所示。距叶根,x,处，其弯矩为,M,，切力为,Q,。当,x,变化,dx,时，弯矩和切力随之变化，即微段右边的弯矩,M,1,和切力,Q,1,为,叶片弯曲振动受力分析,2-4,等截面叶片自振频率计算,根据微段受力平衡，可以写出如下力和力矩的两个平衡关系式,（,2-13,）,（,2-12,）,由第一式可得,由上第二式中略去二次微分可得,（,2-14,）,（,2-15,）,将（,2-15,）式代入（,2-14,）式得,（,2-16,）,2-4,等截面叶片自振频率计算,由材料力学知，当挠度较小时弯矩和挠度的关系为：,式中,E,材料弹性模量；,I,叶片截面惯性矩。,（,2-17,）,2-4,等截面叶片自振频率计算,将（,2-17,）式代入（,2-16,）式可得,对于等截面叶片而言，,I,和,F,是常数，上式可改写为,（,2-18,）,令,上式改写为,（,2-19,）,这便是等截面叶片的弯曲振动偏微分方程式。,将上式化为常微分方程式，将（,2-13,）式中的,y,对,t,求导两次，对,x,求导四次代入（,2-19,）式，整理得,2-4,等截面叶片自振频率计算,令,（,2-20,）,最后得到叶片振动的常微分方程式：,（,2-21,）,式（,2-21,）的通解为,（,2-22,）,式中 为积分常数，,k,为要求的未知数，求出,k,便可根据,求得自振圆周率。而,k,值可以通过叶片两端支承情况决定,的,四个边界条件来求得。,2-4,等截面叶片自振频率计算,微段受力平衡：,略去二次量,材料力学：,等截面叶片,2-4,等截面叶片自振频率计算,1.A,型振动的自振频率,对于叶根固定、叶顶自由的叶片，边界条件为,根部固定端，挠度和转角都为零。,顶部自由端的弯矩和切力等于零。,将边界条件代入式（,2-22,），最后求得包含未知数,k,的频率方程式,这个方程有无穷多个解，前三个根植为,根的符号,根 植,1.875 4.694 7.855,（,2-24,）,2-4,等截面叶片自振频率计算,圆周率可由式（,2-20,）求得,因此自振频率公式为,（,2-24,）,(,kl,),的一系列值已经求得，故对应不同阶次的自振频率可由（,kl,）值代入上式求得，如,A,0,型，,A,1,型如下,2-4,等截面叶片自振频率计算,2.B,型振动的自振频率,对于根部固定、顶部铰支的叶片，边界条件为,根部固定端，挠度和转角都为零。,顶部铰支端的挠度和弯矩等于零。,将边界条件代入式（,2-22,），最后求得包含未知数,k,的频率方程式,（,2-28,）,这个方程也有无穷多个解，前三个根植为,根的符号,根 植,3.927 7.069 10.210,因此对于等截面叶片，只要算出,A,0,型自振频率 以后，相应的,和 只需要乘以上述 倍数，即可求得。,2-4,等截面叶片自振频率计算,根据此一系列（,kl,）值代入式（,2-24,），可确定,B,型振动各阶的自振频率，如,由以上可知，,A,型振动和,B,型振动的自振频率计算公式一样，只是（,kl,）值不同。,A,型振动和,B,型振动的自振频率之间各成一定的比例，而且,A,型和,B,型是相互交错出现的。,A,0,、,B,0,、,A,1,型自振频率之间的比值为,2-4,等截面叶片自振频率计算,二、等截面叶片组弯曲振动自振频率计算,对用围带联成的叶片组的自振频率进行计算，振动微分方程式（,2-21,）仍然适用。边界条件如下,根部固定端，挠度和转角都为零。,叶顶的弯矩等于围带弯曲时给叶片的反弯矩,叶顶的切力等于围带质量往复振动的惯性力,可以把叶片组简化为叶片顶部作用了一个弯矩,M,s,和一个切力,Q,s,的单个叶片一样来考虑，余下的问题是怎样求得,M,s,和,Q,s,。围带的反,弯矩巳经在第一章中求出，由式,(1-33),可得,式中,s,为叶片组刚性系数,2-4,等截面叶片自振频率计算,考虑到振动时,y,不仅是,x,的函数，而且是时间,t,的函数。故写成偏导数的形式,此外当叶片振动时，叶顶的围带也作往复振动。其往复运动的惯性力作用在叶片顶部，使叶片顶部截面产生切力，此切力的大小为一个叶顶节距长度的围带质量惯性力,式中,m,s,为一个节距围带的质量。,（,2-32,）,（,2-33,）,以上公式,2-32),和,(2-33),表示作用在叶片顶部的弯矩和切力。由材料力学知,:,弯矩、切力与挠度的微分关系为,对挠度曲线公式 求导，分别求出,以及 ，将结果代入（,2-34,）得到第三和第四边界条件的常微分形式,2-4,等截面叶片自振频率计算,将,M,s,和,Q,s,代入上两式，并认为,E=E,s,则,上式为等截面叶片组的第三和第四边界条件的偏微分形式。,（,2-34,）,当,x=l,时,，,当,x=l,时，,式中,根据上述所得的四个边界条伴，代入（,2,一,22,）,式以及它引伸的式子，消去积分常数后，可得围常联结的等截面叶片组的频率方程式,2-4,等截面叶片自振频率计算,式中,s,围带质量和叶片质量比值，,F,s,、,t,s,围带的横截面积和叶顶节距；,F,、,l,叶片的横截面积和叶片高度。,(2-38),(2-39),最后求出叶片组第,n,阶,A,型或,B,型振动自振频率 为,可以看出，,等截面叶片组频率的计算公式与单个叶片自振频率计算公式（,2-25,）形式相同，只是他们的（,kl,）值不相同。,（,2-40,）,2-4,等截面叶片自振频率计算,对于结构尺寸已经确定的叶片组，,s,和,s,均为定值。因此可从频率方程式中解出其根值,(,kl,),求出其频率值。方程式,(2-38,）是一超越函数，它满足无穷多个,(,kl,),值，即它有无穷多个根。最小的根,(kl),即相当于叶片组第一阶,(A,0,振型,),的频率；第二个根为第二阶频率，以此类推。,可以将叶片组任一阶自振频率用根部固定顶部自由的单个叶片第一阶频率的计算公式来表示。,式中,值与振动的阶次及,s,、,s,值有关。,（,2-41,）,这样，根据叶片的结构尺寸算出,s,和,s,后，利用这些曲线查出,，便可利用公式（,2-41,）算出叶片组,A,0,、,B,0,、,A,1,型振动的自振频率。,2-4,等截面叶片自振频率计算,由图可以看出，拉金安装在,0.6,l,附近时，值达到最大。,不但与振动的阶次以及,s,、,s,有关，而且与拉金安装在沿叶高,的相对位置,有关。,当叶片联成组后刚性和质量都增加。刚性增加使自振频率提高，质量增加使自振频率降低。因此叶片组的自振频率可能比单个叶片的高也可能低。视具体条件决定。,而,B,0,型振动时，围带的刚性和质量的变化，对自振频率的影响不大。,对于用拉金联成的叶片组自振频率，可以用类似围带联成叶片组的自振频率公式（,2-41,）表示,拉金位置对,A,0,型振动频率的影响,2-4,等截面叶片自振频率计算,2-4,等截面叶片自振频率计算,三、等截面叶片的扭转振动,等截面叶片作扭转振动时，认为是围绕截面形心产生振动。用,x,轴表示截面形心的联线，,yz,平面垂直与,x,轴。在叶片上取一微段,dx,，如图,2-24,所示。,当叶片作自由扭振时，在微段上下两面分别作用着,扭矩,M,t,+dM,t,和,M,t,以及微段的转动惯量产生的惯性力矩,M,s,，根据动静法它们应该平衡。,由材料力学，扭转力矩为,(2-43),式中,GI,t,抗扭刚度，对于对于等截面叶,片为常量；,G,剪切模量；,I,t,截面扭转常数，对于圆截面为极惯矩；,角位移。,2-4,等截面叶片自振频率计算,故,微段,dx,的绕,x,轴的极转动惯量为,式中,I,P,截面对,x,轴的极惯性矩。,因此微段的惯性力矩为,2-4,等截面叶片自振频率计算,将扭矩和惯性力矩代入平衡方程式,(2-43),得到扭转振动偏微分方程式,式中,由于扭转振动是简谐运动，,随时间,t,按正弦规律变化，因此叶片角位移曲线可以用下式来描绘,（,2-44,）,式中,0,叶片上各点的角振幅，它是,x,的函数；,t,扭转振动圆频率。,将上式的,对,x,求导两次，对,t,求导两次代入式,(2-44),中，整理后得到,式中,(2-46),(2-47),2-4,等截面叶片自振频率计算,微分方程（,2-46,）的通解为,式中,C,1,和,C,2,为积分常数，由边界条件决定。,对于单个叶片其边界条件为,:,叶片根部的角位移为零；顶部的扭矩为零。,写成数学形式,将边界条作代入通解公式,(2-48),得到频率方程式,(2-48),上式的解为,将上式代入,(2-47),得到单个叶片扭振频率公式,(2-49),顶部有围带的叶片扭转频率公式,2-4,等截面叶片自振频率计算,对于顶部有围带的叶片，其边界条件为：根部的角位移为零；顶部的角位移也为零,，即,将边界条件代入（,2-48,），得到频率方程式,上式的解为,（,2-50,）,能量法计算变截面叶片弯曲振动频率,能量法是以能量守恒为基础。在叶片做自由振动的任何时间内，能量总是包含两部分：,动能和位能,。,动能：,质量、速度产生；,位能：,弹性变形产生；,叶片振动过程中总能量保持不变，即在任一瞬间动能和位能之和为常数。,动能,与速度有关，叶片做简谐振动的速度与频率有关；,位能,需要叶片变形的挠度曲线，通过叶片工作时的汽流力,q,作用下，所产生的静挠度曲线代替振动挠度曲线。,自振频率较实际自振频率差,2,作用，且计算结果偏高。,汽流载荷,弯矩,叶片变形弯曲挠度曲线,2-5,能量法计算变截面叶片弯曲振动频率,初参数法计算叶片自振频率,初参数法可以用来计算,叶片,各种振动的自振频率和相应的振型，还可以计算多支点,多跨轴系,的临界转速，但是计算过程比较复杂，需要电子计算机进行计算。,初参数法的基本原理：,试凑,由于变截面叶片频率不能由振动微分方程直接求解，因而将变截面叶片简化称为力学模型（一段段带集中质量、各段刚度相同的阶梯形直杆），通过试凑法求叶片振动频率。,对于结构尺寸已确定的、在一定支承边界条件下的叶片有确定的自振频率；即叶片以自振频率做自由振动时，必须满足边界条件。,任选一自振频率,w,，求出叶片各段振动时的惯性载荷,mw,2,Y;,并将该载荷作用在叶片上。通过材料力学方法，利用叶片根部固定的边界条件，按照力学递推公式，求得叶片截面的力学参数：切力,Q,、弯矩,M,、转角、挠度。,逐段推算，一直推算到叶片的顶端。如果顶端满足边界条件，则假设的频率为叶片的自振频率；如果不满足终端的边界条件，必须另假设频率重新试凑。,第二章 叶片振动,振动的基本概念,引起叶片振动的激振力,叶片振动型式,等截面叶片自振频率计算,叶片弯曲振动自振频率修正因素,叶片动应力,叶片振动安全性校核,2-5,叶片弯曲振动自振频率修正因素,上述叶片自振频率的计算公式的条件：,将叶片当作梁看待；假定叶片根部为绝对刚性固紧，并且不考虑阻尼、温度和离心力的影响。,但,对于实际叶片和叶片的实际工作条件而言，往往偏离这些理想条件，以致计算出的自振频率和实际频率值相差较大，必须考虑这些因素对频率的影响。,一、,叶根联结刚性、切力和转动惯量的影响,1.,叶根联结刚性影响,由于根部联结处有弹性变形或者由于根部夹紧力,(,包括装配紧力和离心力产生的紧力,),不够，,不满足根部挠度为零的边界条件。,联结刚性减小,。影响取决于,叶根的结构型式和安装的紧固程度。,此时参与振动的不仅有叶片的外伸部份，而且还有固定在轮缘槽中的叶根部分，相当子叶片长度增加，,叶片自身刚性减少,。影响取决于叶片的自身刚性。,可以看出，,叶根联结刚性减小使叶片总的刚性,(,包括叶片自身刚性和联结刚性,),减少，因而使叶片的自振频率降低。,2-7,叶片弯曲振动自振频率修正因素,2.,切力的影响,叶片是一弹性梁，当梁在承受载荷而产生弯曲变形时，在梁的截面中存在着弯矩和切力，弯矩和切力对梁的挠度均产生影响。,由于切力产生的挠度使叶片总挠度增加，相当于使叶片的柔度增加，从而使叶片振动频率降低。,下面通过分析一端固定的等截面悬臂梁，观察切力对挠度的影响。该梁的自由端作用一集中载荷,P,，自由端的挠度应为,上式中第一项表示,弯矩产生的挠度,;,第二项表示,切力产生的附加挠度,。式中,l,为梁的长度；,F,为梁的截面积；,为横截面惯性矩；,G,为剪切模量；,为剪切形式系数，矩形截面,=1.2,、实心圆环截面,=10/9,，薄管截面,=1.2,。,对于钢材（,E/G=2.5,）的矩形截面梁，上式写为,式,中,i,截面回转半径，,2-7,叶片弯曲振动自振频率修正因素,由上式可以看出,:,切力产生的挠度与弯矩产生的挠度的比值是和梁的柔度,I/i,的平方成反比。因此，当梁的长度相对于横截面尺寸较大,(,柔度大,),时，切力比弯矩对挠度的影响少得多，常常可以忽略。,根据以上分析，,对柔度大的叶片,A,0,型振动频率，切力的影响可以忽略；而对柔度小的短叶片必须考虑切力的影响。此外，对叶片的高阶次振动频率，由于阶次增高振幅减小，因而切力的影响增大。,3,.,转动惯量的影响,叶片产生弯曲振动时，如图,2-32,所示，微段除了在横向作往复运动外，还作回转运动。因此，当叶片作自由振动时，不但有惯性力，而且有惯性力矩的作用，微段的惯性力矩为,式中,J,微段对截而中性轴的转动惯量；,微段转动角加速度,.,其方向恒指,平衡位置。,2-7,叶片弯曲振动自振频率修正因素,当叶片作简谐运动，,y=Y(x)sin,t,，,为振动圆频率。则惯性力矩为,由于存在惯性力矩，使叶片振动系统总的惯量增加，因而使叶片的自振频率降低。,转动惯量对自振频率的影响也和叶片柔度有关，叶片柔度大，转动惯量对叶片频率影响较小；反之当叶片柔度小时，转动惯量对叶片频举影响较大。此外，转动惯量对高阶振动频率影响也较大。,4.,根部牢固修正系数,对于柔度小的短叶片的自振频率很难计算准确，必须借助实测频率进行修正。,叶片自振频率的实际值与理论计算值的比值称为根部牢固修正系数,，用 表示。它考虑了根部联结刚性、切力和转功惯量等因索对叶片自振频率的影响。,2-5,叶片弯曲振动自振频率修正因素,图,2-33,表示根部牢固系数曲线，用 与 坐标表示，它近似地给定考虑这些影响后叶片的自振频率值。,在使用图,2-33a,时，,T,型整体叶根值 接近上限曲线的下侧；,T,型带隔块的叶根用下限曲线；,根部固定特别牢固的叶根用上限曲线或其上侧部份。,图,2-33a,适用于一阶弯曲振动频率的修正系数。对于二阶振动，可作为近似地修正曲线。图,2-33b,为对两种叶根型式通过实测和计算得到的根部牢固系数曲线。,2-5,叶片弯曲振动自振频率修正因素,考虑叶根牢固系数修正后，叶片的自振颇率等于叶片自振频率的理论值乘以叶根牢固系数 。对于等截面单个叶片而言，自振频率计算公式为,（,2-107,）,值得注意的是，对于短叶片的自振频率，由于叶根和轮缘的紧固程度很难进行理论分析，导致这种计算不精确。修正得到的自振频率为近似值。,二、温度对叶片自振频率的影响,当温度变化时，材料的弹性模量,E,也随着变化。,一般叶片材料随着温度升高弹性模量减小，因此叶片的抗弯刚度,El,咸小，叶片的自振频率也就降低。,对于处在,高温下,工作的透平级叶片，温度对自振频率的影响是很大的,;,而对汽轮机,低压级叶片,这种影响比较小。,2-5,叶片弯曲振动自振频率修正因素,温度对自振频率的影啊，可用温度修正系数来修正。此时，等截面叶片自振频率公式为,对单个叶片,对叶片组,（,2-108a,）,（,2-108b,）,式中,温度修正系数,:,叶片工作温度下，材料的弹性模量；,20,时，叶片材料的弹性模量；,成组修正系数。,2-5,叶片弯曲振动自振频率修正因素,三、离心力对叶片自振频率的影响,不计离心力影响的自振频率称为静频率。,计及离心力影响的自振频率称为动频率。用,f,d,表示,如右图所示，当叶片振动偏离中间位置时，作用在叶片上的力，不仅有叶片本身的弹性力、而且还有离心力。由离心力产生的附加弯矩与叶片弹性力共同促使叶片返回中间位置。,离心力的存在，相当于增加了叶片的刚性，因此使叶片自振频率增加。,随着转速的升高，离心力也增大，动频率也就愈高。因此叶片的动频率是与转速有关的。,动频率计算式为,（,2-109,）,式中,f,经过修正的静频率；,n,s,转子每秒转速；,B,动频系数。,2-5,叶片弯曲振动自振频率修正因素,对于,A,0,型振动动频系数可用下列经验公式计算,:,式中,为振动平面和叶轮平面之间的夹角。对于绕最小惯性矩轴的切向振动，,角为最大惯性矩轴与叶轮平面之间的夹角,(,角为,90,减去安装角,),。,此外，可以用能量法计算动频或动频系数。单个叶片理论动频系数计算公式为,上式中由于根部不满足紧固条件，因此理论动频系数值比实际值大。建议按下表所列修正系数进行修止。,对于自振频率较高的短叶片以及高阶次的振动，由于叶片振动变形小，离心力对频率的影响较小。因此，对自振频率较高的短叶片、,B,0,和,A,1,型振动可以忽略离心力对频率的影响。,2-5,叶片弯曲振动自振频率修正因素,一阶轴向振动,一阶切向振动,一阶扭转振动,二阶轴向振动,2-5,叶片弯曲振动自振频率修正因素,2-5,叶片弯曲振动自振频率修正因素,叶片振动,Campbell,图,第二章 叶片振动,振动的基本概念,引起叶片振动的激振力,叶片振动型式,等截面叶片自振频率计算,叶片弯曲振动自振频率修正因素,叶片动应力,叶片振动安全性校核,2-6,叶片动应力,叶片的断裂事故大多数是由于叶片振功所致，这是因为叶片工作时受到气流激振力作用产生受迫振动，以致产生相当大的动应力，使叶片疲劳损坏。,一、单个叶片的动应力,取作用在叶片的交变激振力为,式,中,转子旋转角速度；,K,激振力阶次；,P,K,第,K,阶激振力幅值。,2-6,叶片动应力,动弯曲应力幅值,dk,与静弯曲应力,bd,之间的,关系式为,式中,D,K,为动应力系数。,动应力系数,D,K,以及单个叶片受迫振动的动应力计算公式分别为,对于一个具体叶片，在求出它的第,n,阶自振频率和相对振型,u(x),后，公式,(2-136),的,、,H,n,和,（,f/f,d,),2,均可求出，只要知道,S,K,就可以求出,D,K,；又按第一章内容算出叶片底部截面的气流弯应力,bd,，由公式,(2-137),便可得到圆频率为,K,的气流激振力所产生的叶片动应力,dk,。,(2-136),(2-137),2-6,叶片动应力,气流激振力所形成的叶片第,n,阶振动的动应力是,实际上，叶片振动只是在共振时和接近共振时才是危险的。因此在计算,dk,时，只要考虑和自振频率相等或者是接近的某几个激振力，算出这几个激振力频率时的,dk,值，叠加后就是叶片某一阶振动下的动应力。,二、叶片组的动应力,设共振时的圆频率为,K,，那么作用在叶片组上频率为,K,的总的激振力为,(2-138),2-6,叶片动应力,认为作用在叶片组上总的激振力均匀地分布在组内每个叶片上，因此作用在组内每个叶片上的激振力为,K,成组系数：,其中,K,对于低频激振力取为,2,3,4,5,6,；对于高频激振力为,KZ,1,(Z,1,为整圈啧嘴数，,K=1,，,2,，,3,。,K,的值小于,1,。,从上述对叶片组激振力的分析可以看出，,由于叶片连成叶片组，每个叶片上的激振力相对单个叶片缩小了,K,倍。因此，计算叶片组动应力时，只需将单个叶片的,P,K,换成,K,P,K,。,（,2-144,）,2-6,叶片动应力,叶片组的动应力还是用公式,(2-132),和,(2-138),进行计算，但是式中的,D,K,值与单个叶片情况不同，采用下面的公式,（,2-145,）,对于叶片组,B,0,型振动的动应力，可以用上述公式计算。但是,B,0,型振动组内叶片相位不同。而相位不同的影响在计算成组系数,K,时加以考虑。,三、影响动应力的几个因素和它们的计算方法,1.,成组系数,K,的影响和计算,成组系数表示叶片成组后，组内叶片的动应力减小到单个叶片动应力的,K,倍，,K,愈小则叶片动应力愈小。由叶片组,A,型振动,K,值的公式,(2-144),看出，适当选择叶片组内叶片数,Z,g,和叶轮上叶片数,Z,2,，可使,K,值趋于零,(,使作用在叶片纽上的激振力的合力等于零,),，即,Z,g,满足,2-6,叶片动应力,式中,N,为任选的整数，但,N,不应是,Z,0,的整倍致。其中如果选择,Z,0,=Z,2,，这就是整圈拉金叶片组的情况。,2.,激振因子,S,K,的影响和选取,激振因子表示叶片所处气流场的不均匀性，即表示气流激振力的大小。因此直接影响到动应力的数值。,但是，它正是我们了解得最少，有待于进一步研究的问题。可以说，目前我们对叶片动应力只能粗略的估算，其主要原因就在于没有能掌握激振因子,S,K,的规律。,K,2,3,4,5,6,Z,1,2Z,1,3Z,1,S,K,0.050.1,0.050.1,0.050.1,0.030.06,0.020.04,0.10.25,0.080.2,0.050.1,理论和实验都说明，叶片受高频激振力作用时，对于,K=Z,1,、,2Z,1,、,3Z,1,的情况都要考虑。另外，叶片受低频激振力作用时，自振频率接近转子的,2-6,倍转速时比较危险，因此对于,K=2-6,的情况也要考虑。如下表,2-6,叶片动应力,在部分进汽情况下，激振因子,S,K,比较容易确定，因为激振力沿圆周分布规律，可以用间断的矩形分布表示。,当气流力,P,m,取为一单位时，,激振因子可表示为,3,.,H,n,值,的影响和计算,H,n,值表征了振动阶次对动应力的影响，总的说来低阶振动的,H,n,值大，因而其动应力也大。,H,n,不但和相对振型,（,）,有关，而且和惯性矩沿叶高的变化情况，即,（,）,有关。等截血单个叶片各阶振型下的,H,n,值是定值，可以从表,2-4,中选用。,2-6,叶片动应力,对于等截面叶片组来说，,H,n,必须按照叶片的相对振型,（