高等数学函数的微分教学(课堂PPT).ppt

,*,第二章 导数与微分,第一节 导数的概念,第二章 导数与微分,第一节 导数的概念,第二节 导数的计算,第三节 函数的微分,1,第三节 函数的微分,本节主要内容,:,一,.,微分的概念,二,.,微分的几何意义,三,.,微分的基本公式及运算法则,四,.,微分的近似计算,2,3,一,.,微分的概念,引例,：一块正方形金属片受热后其边长,x,由,x,0,变到,x,0,x,考查,此薄片的面积,A,的改变情况,.,因为,A,x,2,所以金属片面积的改变量为,A,(,x,0,x,),2,(,x,0,),2,2,x,0,x,(,x,),2,A,2,x,0,x,4,定义,2.3.1,若函数,y,=,f,(,x,),的增量,y,可表示为,y,=,f,(,x,0,+,x,)-,f,(,x,0,)=,A,x,+,(,x,)(,x,0),其中,A,与,x,无关,则称,y,=,f,(,x,),在,x,0,可微,且称,A,x,为,f,(,x,),在,x,0,的微分，记作,即,y,f,(,x,),在点,x,0,可微,y,A,x,o,(,x,),，即,d,y,=,A,x,5,定理,2.3.1,函数,y,=,f,(,x,),在,x,0,可微的充要条件是,y,=,f,(,x,),在,x,0,可导当,y,=,f,(,x,),在,x,0,可微时,，有,通常把自变量的增量,x,称为,自变量的微分,记做,dx,则函数,y,=,f,(,x,),的微分可记做,d,y,=,f,(,x,0,),d,x,从而有,6,例,1,求函数,y,=3,x,2,在,x,=1,处,x,分别为,0.1,和,0.01,的增量与微分,.,解,:,7,二,.,微分的几何意义,如图所示，,PN,=d,x,，,NM,=,y,，,NT,=,PN,tan,=,f,(,x,)d,x,，所以,d,y,=,NT,，即函数,y,=,f,(,x,),的微分,d,y,就是曲线,y,=,f,(,x,),在点,P,处,切线的纵坐标,的增量，而,y,就是曲线,y,=,f,(,x,),的纵坐标的增量,.,P,T,）,M,T,N,8,三,.,微分的基本公式及运算法则,d,(,x,m,),m,x,m,1,dx,d,(sin,x,),cos,xdx,d,(cos,x,),sin,xdx,d,(tan,x,),sec,2,xdx,d,(cot,x,),csc,2,xdx,d,(sec,x,),sec,x,tan,xdx,d,(csc,x,),csc,x,cot,xdx,d,(,a,x,),a,x,ln,adx,d,(,e,x,),e,x,dx,(,x,m,),m,x,m,1,(sin,x,),cos,x,(cos,x,),sin,x,(tan,x,),sec,2,x,(cot,x,),csc,2,x,(sec,x,),sec,x,tan,x,(csc,x,),csc,x,cot,x,(,a,x,),a,x,ln,a,(,e,x,),e,x,微分公式,:,导数公式,:,9,微分公式,:,导数公式,:,10,微分的四则运算,求导法则,微分法则,(,u,v,),u,v,(,Cu,),Cu,(,u,v,),u,v,uv,d,(,u,v,),du,dv,d,(,Cu,),Cdu,d,(,u,v,),vdu,udv,11,例,2,求,y,=,x,2,arctan,x,的微分,.,解,:,12,例,3,求函数,y,=ln,x,/,x,的微分,.,解,:,13,(1),若,u,是,自变量,，,d,y,=,f,(,u,)d,u,；,复合函数的微分法则,结论,：,一阶微分形式的不变性,设函数,y,=,f,(,u,),有导数,f,(,u,).,(2),若,u,是,中间变量,，可以令,u,j,(,x,),，即,y,f,j,(,x,),d,y,y,x,d,x,f,(,u,),j,(,x,)d,x,14,例,4,求,y,=sin,2,3,x,的微分,.,解,:,15,例,5,求 的微分,.,解,:,16,例,6,求 的微分,.,解,:,17,例,7,（参数方程求导法则）设参数方程,中,x,(,t,),y,(,t,),对,t,可导，且,x,(,t,),0,求 ,解,:,18,四,.,微分的近似计算,当函数,y,f,(,x,),在点,x,0,处的导数,f,(,x,0,),0,且,|,D,x,|,很小时,我们有,D,y,dy,f,(,x,0,),D,x,若令,x,x,0,D,x,即,D,x,x,x,0,那么又有,f,(,x,0,D,x,),f,(,x,0,),dy,f,(,x,0,),D,x,f,(,x,0,D,x,),f,(,x,0,),f,(,x,0,),D,x,f,(,x,),f,(,x,0,),f,(,x,0,),D,x,特别当,x,0,0,时,有,f,(,x,),f,(0),f,(0),x,用来求函数增量的近似值,用来求函数值的近似值,求函数在,x,=0,附近的近似值,19,常用近似公式,20,例,8,求,的近似值,令,f,(,x,)=sin,x,取辅助函数,找邻近于,x,=30,30,的一点,x,0,代入公式,f,(,x,),f,(,x,0,),f,(,x,0,),x,取,x,0,=30,则,x,=,30,=,f,(,x,)=cos,x,则,f,(,x,0,)=cos,解,:,21,例,9,求,的近似值,解,:,22,内容小结,一,.,微分的概念,二,.,微分的几何意义,三,.,微分的基本公式及运算法则,