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(名师选题名师选题)全国通用版高中数学第十章概率考点专题训练全国通用版高中数学第十章概率考点专题训练 单选题 1、已知样本空间为，x为一个基本事件.对于任意事件A，定义()=0,1,，给出下列结论：()=1,()=0；对任意事件A，0 ()1；如果 =，那么()=()+()；()+()=1.其中，正确结论的个数是（）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 答案：D 分析：根据()的定义，利用分类讨论思想进行分析判定.任意 恒成立，任意 恒不成立，()=1,()=0，故正确；对任意事件A，()=0,1,，()0,1，0 ()1成立，故正确；如果 =，当 时，()=1，此时 或 .若 ，则 ,()=1,()=0，()+()=1，()=()+()成立；时，()=0,()=1，()+()=1，()=()+()成立；当 时，()=0,()=0,()=0，那么()=()+()成立，正确；当 时，,此时()=1,()=0,()+()=1成立；当 时，,此时()=0,()=1,()+()=1成立，故正确.综上，正确的结论有 4 个，故选：D 2、将一个容量为 1000 的样本分成若干组，已知某组的频率为 0.4，则该组的频数是（）A4B40C250D400 答案：D 分析：直接利用频率的定义求解即可 一个容量为 1000 的样本分成若干组，某组的频率为 0.4，该组的频数为：1000 0.4=400 故选：小提示：本题考查频数的求法，解题时要认真审题，属于基础题 3、如图，开关1，2被称为双联开关，1可以与a，b点相连，概率分别为12，2可以与c，d点相连，概率分别为12，普通开关3要么与e点相连（闭合），要么悬空（断开），概率也分别为12若各开关之间的连接情况相互独立，则电灯1不亮的概率是（）A18B14C34D78 答案：C 分析：利用对立事件，结合相互独立事件概率计算公式，计算出所求概率.先考虑对立事件“电灯L1亮”：首先需要“K3与e点相连”，同时满足“K1与点相连且K2与c点相连”或“K1与b点相连且K2与d点相连”，因此电灯L1亮的概率=12(1212+1212)=14，故电灯L1不亮的概率为34.故选：C 4、某种心脏手术，成功率为 0.6，现采用随机模拟方法估计“3 例心脏手术全部成功”的概率：先利用计算器或计算机产生 09 之间取整数值的随机数，由于成功率是 0.6，我们用 0，1，2，3 表示手术不成功，4，5，6，7，8，9 表示手术成功；再以每 3 个随机数为一组，作为 3 例手术的结果，经随机模拟产生如下 10 组随机数：812，832，569，683，271，989，730，537，925，907 由此估计“3 例心脏手术全部成功”的概率为（）A0.2B0.3C0.4D0.5 答案：A 分析：由题可知 10 组随机数中表示“3 例心脏手术全部成功”的有 2 组，即求.解：由题意，10 组随机数：812,832,569,683,271,989,730,537,925,907，表示“3 例心脏手术全部成功”的有：569,989，故 2 个，故估计“3 例心脏手术全部成功”的概率为210=0.2.故选：A.5、有一个人在打靶中，连续射击 2 次，事件“至少有 1 次中靶”的对立事件是（）A至多有 1 次中靶 B2 次都中靶 C2 次都不中靶 D只有 1 次中靶 答案：C 分析：根据对立事件的定义判断即可.对立事件的定义是：A，B两件事A，B不能同时发生，但必须有一件发生，则 A，B 是对立事件，事件：至少有一次中靶包括恰有一次中靶和二次都中靶，所以对立事件是二次都不中靶.故选：C.6、已知事件A与事件B是互斥事件，则（）A()=0B()=()()C()=1 ()D()=1 答案：D 分析：根据互斥事件、对立事件、必然事件的概念可得答案.因为事件A与事件B是互斥事件，、不一定是互斥事件，所以()不一定为 0，故 A 错误；因为 =，所以()=0，而()()不一定为 0，故 B 错误；因为事件A与事件B是互斥事件，不一定是对立事件，所以 C 错误；因为事件A与事件B是互斥事件，是必然事件，所以()=1，故 D 正确.故选：D.7、若随机事件，互斥，发生的概率均不等于 0，且()=2 ，()=4 5，则实数的取值范围是（）A(54,2)B(54,32)C(54,43D54,32 答案：C 分析：利用互斥事件的加法公式及概率的基本性质列式即可作答.因随机事件，互斥，则(+)=()+()=3 3，依题意及概率的性质得0 ()10 ()10 (+)1，即0 2 10 4 5 10 3 3 1，解得54 43，所以实数的取值范围是(54,43.故选：C 8、下列叙述正确的是（）A互斥事件一定不是对立事件，但是对立事件一定是互斥事件 B若事件发生的概率为()，则0 ()1 C频率是稳定的，概率是随机的 D5 张奖券中有一张有奖，甲先抽，乙后抽，那么乙比甲抽到有奖奖券的可能性小 答案：B 分析：由互斥事件及对立事件的关系，频率与概率的关系及随机事件的概率逐一判断即可得解.解：对于 A，互斥事件不一定是对立事件，但是对立事件一定是互斥事件，即 A 错误；对于 B，事件发生的概率为()，则0 ()1，即 B 正确；对于 C，概率是稳定的，频率是随机的，即 C 错误；对于 D，5 张奖券中有一张有奖，甲先抽，乙后抽，那么乙比甲抽到有奖奖券的可能性都为15，即 D 错误，即叙述正确的是选项 B，故选：B.小提示：本题考查了互斥事件及对立事件的关系，重点考查了频率与概率的关系及随机事件的概率，属基础题.9、抛掷两枚质地均匀的硬币，下列事件与事件“至少一枚硬币正面朝上”互为对立的是（）A至多一枚硬币正面朝上 B只有一枚硬币正面朝上 C两枚硬币反面朝上 D两枚硬币正面朝上 答案：C 分析：由对立事件的概念直接判断即可.由对立事件的概念知：“至少一枚硬币正面朝上”的对立事件为“两枚硬币反面朝上”.故选：C.10、甲、乙两个元件构成一串联电路，设E：甲元件故障，F：乙元件故障，则表示电路故障的事件为（）A B C D 答案：A 分析：根据当两个元件中至少一个有故障，则整个的电路有故障，即可求解.由题意，甲、乙两个元件构成一串联电路，当两个元件中至少一个有故障，则整个的电路有故障，所以电路故障的事件为 .故选：A.11、接种疫苗是预防和控制传染病最经济、有效的公共卫生干预措施根据实验数据，人在接种某种病毒疫苗后，有80%不会感染这种病毒，若有4人接种了这种疫苗，则最多1人被感染的概率为（）A512625B256625C113625D1625 答案：A 分析：最多1人被感染即 4 人没有人感染和 4 人中恰好有 1 人被感染，利用独立重复试验的概率和互斥事件的概率求解.由题得最多1人被感染的概率为40(45)4+41(15)(45)3=256+256625=512625.故选：A 小提示：方法点睛：求概率常用的方法：先定性（确定所求的概率是六种概率（古典概型的概率、几何概型的概率、互斥事件的概率、独立事件的概率、独立重复试验的概率、条件概率）的哪一种），再定量.12、从 1，2，3，7 这 7 个数中任取两个数，其中：恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；至少有一个是奇数和两个都是奇数；至少有一个是奇数和两个都是偶数；至少有一个是奇数和至少有一个是偶数.上述事件中，是对立事件的是（）ABCD 答案：C 分析：列举出从 17 中任取两个数根据取到数的奇偶性可共有三件事件：“两个都是奇数”“一奇一偶”“两个都是偶数”，再由对立事件的定义即可得出选项.解析：中“至少有一个是奇数”即“两个奇数或一奇一偶”，而从 17 中任取两个数根据取到数的奇偶性可认为共有三件事件：“两个都是奇数”“一奇一偶”“两个都是偶数”，故“至少有一个是奇数”与“两个都是偶数”是对立事件，其余都不是对立事件.故选：C 填空题 13、某班要选一名学生做代表，每个学生当选是等可能的，若“选出代表是男生”的概率是“选出代表是女生”的概率的13，则这个班的女生人数占全班人数的百分比是_ 答案：75%解析：设“选出代表是女生”的概率为,则“选出代表是男生”的概率为13,则+13=1,进而求解即可.设“选出代表是女生”的概率为,则“选出代表是男生”的概率为13,因为+13=1,所以=34,所以这个班的女生人数占全班人数的百分比为75%,故答案为:75%小提示：本题考查概率性质以及对立事件概率,属于基础题.14、为迎接 2022 年北京冬奥会，某工厂生产了一批雪车，这批产品中按质量分为一等品、二等品、三等品.从这批雪车中随机抽取一件雪车检测，已知抽到不是三等品的概率为 0.93，抽到一等品或三等品的概率为0.82，则抽到一等品的概率为_.答案：0.75#34 分析：由互斥事件的概率加法公式进行求解即可 设抽到一等品，二等品，三等品的事件分别为，则()+()=0.93()+()=0.82()+()+()=1，解得()=0.75()=0.18()=0.07，所以抽到一等品的概率为0.75.所以答案是：0.75.15、已知随机事件A，B互为对立事件，且()=3()，则()=_.答案：34 解析：根据对立事件的概率关系可求().因为随机事件A，B互为对立事件，故()+()=1，而故()=3()，故()=34，所以答案是：34.16、台风在危害人类的同时，也在保护人类台风给人类送来了淡水资源，大大缓解了全球水荒，另外还使世界各地冷热保持相对均衡甲、乙、丙三颗卫星同时监测台风，在同一时刻，甲、乙、丙三颗卫星准确预报台风的概率分别为 0.8，0.7，0.9，各卫星间相互独立，则在同一时刻至少有两颗预报准确的概率是_ 答案：0.902 解析：根据题意，设甲、乙、丙预报准确依次记为事件A，B，C，不准确分别记为,，则至少两颗预报准确的事件有AB，AC，BC，ABC，分别求出这四个事件的概率，求和即可得解.设甲、乙、丙预报准确依次记为事件A，B，C，不准确分别记为,，则P(A)0.8，P(B)0.7，P(C)0.9，P()0.2，P()0.3，P()0.1，至少两颗预报准确的事件有AB，AC，BC，ABC，这四个事件两两互斥且独立 所以至少两颗预报准确的概率为 PP(AB)P(AC)P(BC)P(ABC)0.80.70.10.80.30.90.20.70.90.80.70.9 0.0560.2160.1260.5040.902.所以答案是：0.902.17、从 1，3，5，7 这四个数中随机地取两个数组成一个两位数，则组成的两位数是 5 的倍数的概率为_ 答案：14#0.25 分析：列举出基本事件，利用古典概型的概率公式直接求解.从 1，3，5，7 这四个数中随机地取两个数组成一个两位数，可以组成：13，31，17，71，15，51，35，53，37，73，57，75 一共 12 个.其中是 5 的倍数的数有：15，35，75 一共 3 个，所以组成的两位数是 5 的倍数的概率为312=14.所以答案是：14 解答题 18、某快餐配送平台针对外卖员送餐准点情况制定了如下的考核方案：每一单自接单后在规定时间内送达延迟 5 分钟内送达延迟 5 至 10 分钟送达其他延迟情况，分别评定为，四个等级，各等级依次奖励3 元奖励 0 元罚款 3 元罚款 6 元.假定评定为等级，的概率分别是34，18，332.（1）若某外卖员接了一个订单，求其延迟送达且被罚款的概率；（2）若某外卖员接了两个订单，且两个订单互不影响，求这两单获得的奖励之和为 0 元的概率.答案：（1）18；（2）532.分析：（1）设事件，分别表示“被评为等级，”.由题意，事件，两两互斥，然后利用互斥事件的概率加法公求解即可；（2）设事件，表示“第单被评为等级，”，=1,2.则“两单共获得的奖励为 0 元”即事件(22)(12)(21)，且事件22，12，21互斥，然后分别求出对应的概率，再利用互斥事件的概率加法公求解即可 解：（1）设事件，分别表示“被评为等级，”.由题意，事件，两两互斥，所以()=1 3418332=132.又 =“延迟送达且被罚款”，所以()=()+()=18.因此“延迟送达且被罚款”的概率为18.（2）设事件，表示“第单被评为等级，”，=1,2.则“两单共获得的奖励为 0 元”即事件(22)(12)(21)，且事件22，12，21互斥，又(22)=1818=164 又(12)=(21)=34332=9128 所以=(22)(12)(21)=(22)+(12)+(21)=1818+34332 2=532 19、某产品的三个质量指标分别为x，y，z，用综合指标=+评价该产品的等级.若 4，则该产品为一等品.现从一批该产品中，随机抽取 10 件产品作为样本，其质量指标列表如下：产品编号 1 2 3 4 5 质量指标(,)(1,1,2)(2,1,1)(2,2,2)(1,1,1)(1,2,1)产品编号 6 7 8 9 10 质量指标(,)(1,2,2)(2,1,1)(2,2,1)(1,1,1)(2,1,2)（1）利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率；（2）在该样本的一等品中，随机抽取 2 件产品.写出对应的样本空间，并说出其中含有的样本点个数；设事件B为“在取出的 2 件产品中，每件产品的综合指标S都等于 4”，求事件B发生的概率.答案：（1）0.6；（2）样本空间为=(1,2),(1,4),(1,5),(1,7),(1,9),(2,4),(2,5),(2,7),(2,9),(4,5),(4,7),(4,9),(5,7),(5,9),(7,9)，15 个样本点；25.分析：（1）用综合指标=+计算出 10 件产品的综合指标并列表表示,求出一等品率即可;（2）利用列举法列出在该样品的一等品中，随机抽取 2 件产品的所有可能的结果和在取出的 2 件产品中，每件产品的综合指标都等于 4 的所有情况,代入古典概型概率计算公式求解即可.（1）计算 10 件产品的综合指标S，如下表：产品编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 S 4 4 6 3 4 5 4 5 3 5 其中 4的有1，2，4，5，7，9，共 6 件，故该样本的一等品率为610=0.6，从而可估计该批产品的一等品率为 0.6.（2）在该样本的一等品中，随机抽取 2 件产品，则样本空间=(1,2),(1,4),(1,5),(1,7),(1,9),(2,4),(2,5),(2,7),(2,9),(4,5),(4,7),(4,9),(5,7),(5,9),(7,9)，共包含 15 个样本点.在该样本的一等品中，综合指标S等于 4 的产品编号分别为1，2，5，7，则事件B包含的样本点为(1,2)，(1,5)，(1,7)，(2,5)，(2,7)，(5,7)，共 6 个.所以()=615=25.20、为建立中国特色现代教育考试招生制度，形成分类考试、综合评价、多元录取的考试招生模式，健全促进公平、科学选才、监督有力的体制机制，构建衔接沟通各级各类教育、认可多种学习成果的终身学习“立交桥”，江西省进行高考改革，2021 级高一学生高考不再采用“33”考试模式（即理科学生考语，数，外，物，化，生；文科学生考语，数，外，政，史，地）；而改革为“312”考试模式，“312”考试模式为 3 门必考1 门首选2 门再选即“3”统一高考科目语文、数学、外语 3 科（不分文理科）；“1”普通高中学业水平考试选择性考试物理、历史 2 门首选科目中所选择的 1 门科目，“2”政治、地理、化学、生物 4 门中选择的 2门科目(1)若甲同学随机选择任何学科，且相互没有影响，求：他选择的组合恰好是原“33”考试模式的概率；(2)若甲同学不选政治，乙同学不选化学，求：甲乙两位同学最终选择了同一种组合的概率 答案：(1)16(2)118 分析：（1）根据“312”考试模式为 3 门必考1 门首选2 门再选，得到基本事件的总数，再由甲所选组合恰好是原“33”考试模式有 2 种，利用古典概型的概率求解；（2）由甲同学不选政治，则从物理、历史中选 1 门，从地理、化学、生物中选 2 门得到基本事件数，同理得到乙同学不选化学的基本事件数，从而得到甲同学不选政治，乙同学不选化学基本事件数，再由甲乙两位同学选择了同一种组合 2 种，利用古典概型的概率求解.(1)解：因为“312”考试模式为 3 门必考1 门首选2 门再选 则语文、数学、外语 3 科不用选，从物理、历史中选 1 门有物理、历史 2 种，从政治、地理、化学、生物中选 2 门有（政治、地理）、（政治、化学）、（政治、生物）、（地理、化学）、（地理、生物）、（化学、生物）共 6 种，则共有2 6=12种，甲所选组合恰好是原“33”考试模式有（物，化，生）、（政，史，地）共 2 种，所以甲所选组合恰好是原“33”考试模式的概率为=212=16；(2)因为甲同学不选政治，则从物理、历史中选 1 门有物理、历史 2 种，从地理、化学、生物中选 2 门有（地理、化学）、（地理、生物）、（化学、生物）3 种，共有2 3=6种；同理乙同学不选化学，共有2 3=6种；所以甲同学不选政治，乙同学不选化学有6 6=36种；甲乙两位同学选择了同一种组合有（物理、地理、生物），（历史、地理、生物）2 种，所以甲乙两位同学最终选择了同一种组合的概率=236=118