江苏省2012年普通高校对口单招数学试卷及答案.doc
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江苏省2012年普通高校对口单招文化统考 数学试卷 一、 单项选择题(本大题共12小题,每小题4分,共48分.在下列每小题中,选出一个正确答案,请在答题卡上将所选的字母标号涂黑) 1.若集合, ,则等于 ( ) A. B. C. D. 2.若函数()是R上的奇函数,则等于 ( ) A. B. C. D. 3.函数的图象关于直线对称的充要条件是 ( ) A. B. C. D. 4.已知向量,.若,则等于 ( ) A. B. C. D. 5.若复数满足,则等于 ( ) A. B. C. D. 6.若直线过点且与直线平行,则的方程是 ( ) A. B. C. D. 7.若实数满足,则的取值范围是 ( ) A. B. C. D. 8.设甲将一颗骰子抛掷一次,所得向上的点数为,则方程有两个不相等实根的概率为 ( ) A. B. C. D. 9.设双曲线(的虚轴长为,焦距为,则此双曲线的渐近线方程为 ( ) A. B. C. D. 10.若偶函数在上是增函数,则下列关系式中成立的是 ( ) A. B. C. D. 11.若圆锥的表面积为,且它的侧面展开图是一个半圆,则这个圆锥的底面直径为( ) A. B. C. D. 12.若过点的直线与圆:有公共点,则直线斜率的取值范围为 ( ) A. B. C. D. 二、填空题(本大题共6小题,每小题4分,共24分) 13. . 14.已知函数,则 . 15.用数字0,3,5,7,9可以组成 个没有重复数字的五位数(用数字作答). 16.在中, . 17.设斜率为的直线过抛物线 的焦点,且与轴交于点.若(为坐标原点)的面积为,则此抛物线的方程为 . 18.若实数、满足,则的最小值为 . 三、解答题(本大题7小题,共78分) 19.(6分)设关于的不等式< 的解集为,求的值. 20.(10分) 已知函数. (1)求函数的最小正周期; (2)若,,求的值. 21.(10分)已知数列{}的前项和为,. (1)求数列{}的通项公式; (2)设,求数列{}的前项和. 22.(10分)对于函数,若实数满足,则称是的一个不动点. 已知. (1)当,时,求函数的不动点; (2)假设,求证:对任意实数,函数恒有两个相异的不动点. 23.(14分)甲、乙两位选手互不影响地投篮,命中率分别为与.假设乙投篮两次,均未命中的概率为. (1)若甲投篮4次,求他恰命中次的概率; (2)求乙投篮的命中率; (3)若甲、乙两位选手各投篮1次,求两人命中总次数的概率分布与数学期望. 24.(14分)如图,在长方体中,,. (1)证明:当点在棱上移动时,; (2)当为的中点时,求①二面角的大小(用反三角函数表示); ②点到平面的距离. 25.(14分)已知椭圆: 的离心率为,且该椭圆上的点到右焦点的最大距离为. (1)求椭圆的方程; (2)设椭圆的左、右顶点分别为、,且过点的直线、与此椭圆的另一个交点分别为、,其中.求证:直线必过轴上一定点(其坐标与无关). 江苏省2012年普通高校对口单招文化统考 数学试题答案及评分参考 一、单项选择题(本大题共12小题,每小题4分,共48分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D C A B C B A A C D B D 二、填空题(本大题共6小题,每小题4分,共24分) 13. 14. 15. 16. 17. 18. 三、解答题(本大题共7小题,共78分) 19.(本小题6分) 解:由题意得 ,……………………………………………………………… 1分 , ………………………………………………………… 1分 ,……………………………………………………………… 2分 解得 , ……………………………………………………………… 1分 所以 . ………………………………………………………… 1分 20.(本小题10分) 解:(1)由题意得 ………………………………………………… 1分 , …………………………………………………… 2分 所以函数 的最小正周期. …………………………… 1分 (2)由得 , ………………………………………………………… 1分 因为,所以, ………………………… 1分 , ………………………… 1分 从而 . ………………………… 3分 21.(本小题10分) 解:(1)当时, , ……………………………… 1分 当时, , …………………………………………… 2分 综合得 ,N+ ……………………………………… 2分 (2), ………………………………… 1分 . ………………………………… 4分 22.(本小题10分) (1)解:由题意得 , …………………………… 1分 即, 解得,, …………………………………… 2分 所以函数的不动点是和. …………………………… 1分 (2)证明:由题意得 , ① …………………………… 1分 即, …………………………… 1分 因为判别式 …………………………… 2分 , …………………………… 1分 所以方程①有两个相异的实根, 即对任意实数,函数恒有两个相异的不动点. …… 1分 23.(本小题14分) 解:(1)记甲投篮4次,恰命中次的概率为,由题意得 . …………………………… 4分 (2)由题意得 , …………………………… 3分 解得 . …………………………………………… 1分 (3)由题意可取,, , ………………………………… 1分 , , . 所以的概率分布列为 …………………………………………… 3分 .……………………………………2分 24.(本小题14分) (1)证明:连接.在长方体中, 因为,所以为正方形, 从而. 因为点在棱上,所以就是在平面上的射影, 从而. …………………………………………… 4分 (2)解:①连接.由题意知,. 在中,, 在中,, 从而,所以, 又由面知,即, 从而面,所以, 因此是二面角的平面角. ………………… 2分 在中,, 得, 即二面角的大小为. ………………… 3分 ②设点到平面的距离为, 由知, . …………………………… 1分 因为, 所以, 即,所以, 故点到平面的距离为. …………………………… 4分 25.(本小题14分) 解:(1)设右焦点为,则由题意得 , …………………………………………… 2分 解得 ,所以 , 椭圆的方程为 . ……………………………………… 2分 (2)由(1)知 , 直线的方程为 ………………………………………1分 直线的方程为 ……………………………………… 1分 设点的坐标为 ,点的坐标为 , 由 , ……………………………………… 1分 得 , 由于 是直线与此椭圆的两个交点, 所以 , 解得,从而.…………2分 由 , ……………………………………… 1分 得 , 由于 是直线与此椭圆的两个交点, 所以 , 解得,从而 . ………… 2分 若,则由 ,得 此时,从而直线的方程为,它过点; 若,则, 直线的斜率, 直线的斜率, 得 , 所以直线过点, 因此直线必过轴上的点 . ……………………………… 2分- 配套讲稿:
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