河南省2016年中招数学试卷及解析.docx

专项强化班-助力中考

一、选择题（每小题3分，共24分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的.
1．（3分） ﹣的相反数是（　　）
A．﹣B．C．﹣3 D．3
2．（3分） 某种细胞的直径是0.00000095米，将0.00000095米用科学记数法表示为（　　）
A．9.5×10﹣7B．9.5×10﹣8C．0.95×10﹣7D．95×10﹣8
3．（3分） 下列几何体是由4个相同的小正方体搭成的，其中主视图和左视图相同的是（　　）
A．B．C．D．
4．（3分） 下列计算正确的是（　　）
A．﹣=B．（﹣3）2=6 C．3a4﹣2a2=a2D．（﹣a3）2=a5
5．（3分） 如图，过反比例函数y=（x＞0）的图象上一点A作AB⊥x轴于点B，连接AO，若S△AOB=2，则k的值为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
6．（3分） 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，AB=10，DE垂直平分AC交AB于点E，则DE的长为（　　）

A．6 B．5 C．4 D．3
7．（3分） 如表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差：

甲
乙
丙
丁
平均数（cm）
185
180
185
180
方差
3.6
3.6
7.4
8.1
根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
8．（3分） 如图，已知菱形OABC的顶点O（0，0），B（2，2），若菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，则第60秒时，菱形的对角线交点D的坐标为（　　）

A．（1，﹣1） B．（﹣1，﹣1） C．（，0） D．（0，﹣）

二、填空题（每小题3分，共21分）
9．（3分） 计算：（﹣2）0﹣=　　　　　　．
10．（3分） 如图，在▱ABCD中，BE⊥AB交对角线AC于点E，若∠1=20°，则∠2的度数为　　　　　　．

11．（3分） 若关于x的一元二次方程x2+3x﹣k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是　　　　　　．
12．（3分） 在“阳光体育”活动期间，班主任将全班同学随机分成了4组进行活动，该班小明和小亮同学被分在一组的概率是　　　　　　．
13．（3分） 已知A（0，3），B（2，3）是抛物线y=﹣x2+bx+c上两点，该抛物线的顶点坐标是　　　　　　．
14．（3分） 如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，以点A为圆心，OA的长为半径作交于点C，若OA=2，则阴影部分的面积为　　　　　　．

15．（3分） 如图，已知AD∥BC，AB⊥BC，AB=3，点E为射线BC上一个动点，连接AE，将△ABE沿AE折叠，点B落在点B′处，过点B′作AD的垂线，分别交AD，BC于点M，N．当点B′为线段MN的三等分点时，BE的长为　　　　　　．　
三、解答题（本大题共8小题，满分75分）
16．（8分） 先化简，再求值：
（﹣1）÷，其中x的值从不等式组的整数解中选取．

17．（9分） 在一次社会调查活动中，小华收集到某“健步走运动”团队中20名成员一天行走的步数，记录如下：
5640 6430 6520 6798 7325
8430 8215 7453 7446 6754
7638 6834 7326 6830 8648
8753 9450 9865 7290 7850
对这20个数据按组距1000进行分组，并统计整理，绘制了如下尚不完整的统计图表：
步数分组统计表
组别
步数分组
频数
A
5500≤x＜6500
2
B
6500≤x＜7500
10
C
7500≤x＜8500
m
D
8500≤x＜9500
3
E
9500≤x＜10500
n
请根据以上信息解答下列问题：
（1）填空：m=　　　　　　，n=　　　　　　；
（2）补全频数发布直方图；
（3）这20名“健步走运动”团队成员一天行走步数的中位数落在　　　　　　组；
（4）若该团队共有120人，请估计其中一天行走步数不少于7500步的人数．

18．（9分） 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点M是AC的中点，以AB为直径作⊙O分别交AC，BM于点D，E．
（1）求证：MD=ME；

（2）填空：
①若AB=6，当AD=2DM时，DE=　　　　　　；
②连接OD，OE，当∠A的度数为　　　　　　时，四边形ODME是菱形．

19．（9分） 如图，小东在教学楼距地面9米高的窗口C处，测得正前方旗杆顶部A点的仰角为37°，旗杆底部B点的俯角为45°，升旗时，国旗上端悬挂在距地面2.25米处，若国旗随国歌声冉冉升起，并在国歌播放45秒结束时到达旗杆顶端，则国旗应以多少米/秒的速度匀速上升？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）

20．（9分） 学校准备购进一批节能灯，已知1只A型节能灯和3只B型节能灯共需26元；3只A型节能灯和2只B型节能灯共需29元．
（1）求一只A型节能灯和一只B型节能灯的售价各是多少元；
（2）学校准备购进这两种型号的节能灯共50只，并且A型节能灯的数量不多于B型节能灯数量的3倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．

21．（10分） 某班“数学兴趣小组”对函数y=x2﹣2|x|的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．
（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：
x
…
﹣3
﹣
﹣2
﹣1
0
1
2

3
…
y
…
3

m
﹣1
0
﹣1
0

3
…
其中，m=　　　　　　．
（2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．
（3）观察函数图象，写出两条函数的性质．
（4）进一步探究函数图象发现：
①函数图象与x轴有　　　　　　个交点，所以对应的方程x2﹣2|x|=0有　　　　　　个实数根；
②方程x2﹣2|x|=2有　　　　　　个实数根；
③关于x的方程x2﹣2|x|=a有4个实数根时，a的取值范围是　　　　　　．

22．（10分） （1）发现：如图1，点A为线段BC外一动点，且BC=a，AB=b．
填空：当点A位于　　　　　　时，线段AC的长取得最大值，且最大值为　　　　　　（用含a，b的式子表示）
（2）应用：点A为线段BC外一动点，且BC=3，AB=1，如图2所示，分别以AB，AC为边，作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接CD，BE．
①请找出图中与BE相等的线段，并说明理由；
②直接写出线段BE长的最大值．
（3）拓展：如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0），点P为线段AB外一动点，且PA=2，PM=PB，∠BPM=90°，请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标．

23．（11分） 如图1，直线y=﹣x+n交x轴于点A，交y轴于点C（0，4），抛物线y=x2+bx+c经过点A，交y轴于点B（0，﹣2）．点P为抛物线上一个动点，过点P作x轴的垂线PD，过点B作BD⊥PD于点D，连接PB，设点P的横坐标为m．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当△BDP为等腰直角三角形时，求线段PD的长；
（3）如图2，将△BDP绕点B逆时针旋转，得到△BD′P′，且旋转角∠PBP′=∠OAC，当点P的对应点P′落在坐标轴上时，请直接写出点P的坐标．

一、选择题（每小题3分，共24分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的.
1．（3分） ﹣的相反数是（B　　）
A．﹣B．C．﹣3 D．3
2．（3分） 某种细胞的直径是0.00000095米，将0.00000095米用科学记数法表示为（　　）
A．9.5×10﹣7B．9.5×10﹣8C．0.95×10﹣7D．95×10﹣8
故选：A．其中1≤|a|＜10
3．（3分） 下列几何体是由4个相同的小正方体搭成的，其中主视图和左视图相同的是（　C　）
A．B．C．D．
4．（3分） 下列计算正确的是（A　　）
A．﹣=B．（﹣3）2=6 C．3a4﹣2a2=a2D．（﹣a3）2=a5
5．（3分） 如图，过反比例函数y=（x＞0）的图象上一点A作AB⊥x轴于点B，连接AO，若S△AOB=2，则k的值为（　C　）

A．2 B．3 C．4 D．5
6．（3分） 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，AB=10，DE垂直平分AC交AB于点E，则DE的长为（　　D）

A．6 B．5 C．4 D．3
7．（3分） 如表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差：

甲
乙
丙
丁
平均数（cm）
185
180
185
180
方差
3.6
3.6
7.4
8.1
根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（A　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁　
8．（3分） 如图，已知菱形OABC的顶点O（0，0），B（2，2），若菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，则第60秒时，菱形的对角线交点D的坐标为（　　B）
10题图
A．（1，﹣1） B．（﹣1，﹣1） C．（，0） D．（0，﹣）
二、填空题（每小题3分，共21分）
9．（3分） 计算：（﹣2）0﹣=　﹣1　．　
10．（3分） 如图，在▱ABCD中，BE⊥AB交对角线AC于点E，若∠1=20°，则∠2的度数为　110°　．

11．（3分） 若关于x的一元二次方程x2+3x﹣k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是　k＞﹣　．
12．（3分） 在“阳光体育”活动期间，班主任将全班同学随机分成了4组进行活动，该班小明和小亮同学被分在一组的概率是　　．
【解答】解：设四个小组分别记作A、B、C、D，

13．（3分） 已知A（0，3），B（2，3）是抛物线y=﹣x2+bx+c上两点，该抛物线的顶点坐标是　（1，4）　．
14．（3分） 如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，以点A为圆心，OA的长为半径作交于点C，若OA=2，则阴影部分的面积为　﹣　．

15．（3分） 如图，已知AD∥BC，AB⊥BC，AB=3，点E为射线BC上一个动点，连接AE，将△ABE沿AE折叠，点B落在点B′处，过点B′作AD的垂线，分别交AD，BC于点M，N．当点B′为线段MN的三等分点时，BE的长为　或　．
①当MB′=2，B′N=1时，设EN=x，得
B′E=．
△B′EN∽△AB′M，
=，即=，
x2=，
BE=B′E==．
②当MB′=1，B′N=2时，设EN=x，得
B′E=，
△B′EN∽△AB′M，
=，即=，
解得x2=，BE=B′E==，
三、解答题（本大题共8小题，满分75分）
16．（8分） 先化简，再求值：
（﹣1）÷，其中x的值从不等式组的整数解中选取．
【解答】解：原式=•
=﹣•
=，
解不等式组得，﹣1≤x＜，
当x=2时，原式==﹣2．　
17．（9分） 在一次社会调查活动中，小华收集到某“健步走运动”团队中20名成员一天行走的步数，记录如下：
5640 6430 6520 6798 7325
8430 8215 7453 7446 6754
7638 6834 7326 6830 8648
8753 9450 9865 7290 7850
对这20个数据按组距1000进行分组，并统计整理，绘制了如下尚不完整的统计图表：
步数分组统计表
组别
步数分组
频数
A
5500≤x＜6500
2
B
6500≤x＜7500
10
C
7500≤x＜8500
m
D
8500≤x＜9500
3
E
9500≤x＜10500
n
请根据以上信息解答下列问题：
（1）填空：m=　4　，n=　1　；
（2）补全频数发布直方图；
（3）这20名“健步走运动”团队成员一天行走步数的中位数落在　B　组；
（4）若该团队共有120人，请估计其中一天行走步数不少于7500步的人数．
（2）
；
（3）行走步数的中位数落在B组，
（4）一天行走步数不少于7500步的人数是：120×=48（人）．
18．（9分） 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点M是AC的中点，以AB为直径作⊙O分别交AC，BM于点D，E．
（1）求证：MD=ME；
（2）填空：
①若AB=6，当AD=2DM时，DE=　2　；
②连接OD，OE，当∠A的度数为　60°　时，四边形ODME是菱形．
【解答】（1）证明：∵∠ABC=90°，AM=MC，
∴BM=AM=MC，
∴∠A=∠ABM，
∵四边形ABED是圆内接四边形，
∴∠ADE+∠ABE=180°，
又∠ADE+∠MDE=180°，
∴∠MDE=∠MBA，
同理证明：∠MED=∠A，
∴∠MDE=∠MED，
∴MD=ME．
（2）①由（1）可知，∠A=∠MDE，
∴DE∥AB，
∴=，
∵AD=2DM，
∴DM：MA=1：3，
∴DE=AB=×6=2．
故答案为2．
②当∠A=60°时，四边形ODME是菱形．
理由：连接OD、OE，
∵OA=OD，∠A=60°，
∴△AOD是等边三角形，
∴∠AOD=60°，
∵DE∥AB，
∴∠ODE=∠AOD=60°，∠MDE=∠MED=∠A=60°，
∴△ODE，△DEM都是等边三角形，
∴OD=OE=EM=DM，
∴四边形OEMD是菱形．
故答案为60°．

19．（9分） 如图，小东在教学楼距地面9米高的窗口C处，测得正前方旗杆顶部A点的仰角为37°，旗杆底部B点的俯角为45°，升旗时，国旗上端悬挂在距地面2.25米处，若国旗随国歌声冉冉升起，并在国歌播放45秒结束时到达旗杆顶端，则国旗应以多少米/秒的速度匀速上升？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
【解答】解：在Rt△BCD中，BD=9米，∠BCD=45°，则BD=CD=9米．
在Rt△ACD中，CD=9米，∠ACD=37°，则AD=CD•tan37°≈9×0.75=6.75（米）．
所以，AB=AD+BD=15.75米，
整个过程中旗子上升高度是：15.75﹣2.25=13.5（米），
因为耗时45s，
所以上升速度v==0.3（米/秒）．　
20．（9分） 学校准备购进一批节能灯，已知1只A型节能灯和3只B型节能灯共需26元；3只A型节能灯和2只B型节能灯共需29元．
（1）求一只A型节能灯和一只B型节能灯的售价各是多少元；
（2）学校准备购进这两种型号的节能灯共50只，并且A型节能灯的数量不多于B型节能灯数量的3倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
【解答】解：（1）设一只A型节能灯的售价是x元，一只B型节能灯的售价是y元，
根据题意，得：，
解得：，
答：一只A型节能灯的售价是5元，一只B型节能灯的售价是7元；

（2）设购进A型节能灯m只，总费用为W元，
根据题意，得：W=5m+7（50﹣m）=﹣2m+350，
∵﹣2＜0，
∴W随x的增大而减小，
又∵m≤3（50﹣m），解得：m≤37.5，
而m为正整数，
∴当m=37时，W最小=﹣2×37+350=276，
此时50﹣37=13，
答：当购买A型灯37只，B型灯13只时，最省钱．
21．（10分） 某班“数学兴趣小组”对函数y=x2﹣2|x|的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．
（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：
x
…
﹣3
﹣
﹣2
﹣1
0
1
2

3
…
y
…
3

m
﹣1
0
﹣1
0

3
…
其中，m=　0　．
（2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．
（3）观察函数图象，写出两条函数的性质．
（4）进一步探究函数图象发现：
①函数图象与x轴有　3　个交点，所以对应的方程x2﹣2|x|=0有　3　个实数根；
②方程x2﹣2|x|=2有　2　个实数根；
③关于x的方程x2﹣2|x|=a有4个实数根时，a的取值范围是　﹣1＜a＜0　．

【解答】解：（1）根据函数的对称性可得m=0，
故答案为：0；
（2）如图所示；
（3）由函数图象知：①函数y=x2﹣2|x|的图象关于y轴对称；②当x＞1时，y随x的增大而增大；
（4）①由函数图象知：函数图象与x轴有3个交点，所以对应的方程x2﹣2|x|=0有3个实数根；
②如图，∵y=x2﹣2|x|的图象与直线y=2有两个交点，
∴x2﹣2|x|=2有2个实数根；
③由函数图象知：∵关于x的方程x2﹣2|x|=a有4个实数根，
∴a的取值范围是﹣1＜a＜0，
故答案为：3，3，2，﹣1＜a＜0．

22．（10分） （1）发现：如图1，点A为线段BC外一动点，且BC=a，AB=b．
填空：当点A位于　CB的延长线上　时，线段AC的长取得最大值，且最大值为　a+b　（用含a，b的式子表示）
（2）应用：点A为线段BC外一动点，且BC=3，AB=1，如图2所示，分别以AB，AC为边，作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接CD，BE．
①请找出图中与BE相等的线段，并说明理由；
②直接写出线段BE长的最大值．
（3）拓展：如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0），点P为线段AB外一动点，且PA=2，PM=PB，∠BPM=90°，请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标．
【解答】解：（1）∵点A为线段BC外一动点，且BC=a，AB=b，
∴当点A位于CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，且最大值为BC+AB=a+b，
故答案为：CB的延长线上，a+b；

（2）①CD=BE，
理由：∵△ABD与△ACE是等边三角形，
∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，
∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，
即∠CAD=∠EAB，
在△CAD与△EAB中，，
∴△CAD≌△EAB，
∴CD=BE；
②∵线段BE长的最大值=线段CD的最大值，
由（1）知，当线段CD的长取得最大值时，点D在CB的延长线上，
∴最大值为BD+BC=AB+BC=4；

（3）连接BM，将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN，连接AN，
则△APN是等腰直角三角形，
∴PN=PA=2，BN=AM，
∵A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0），
∴OA=2，OB=5，
∴AB=3，
∴线段AM长的最大值=线段BN长的最大值，
∴当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值，
最大值=AB+AN，
∵AN=AP=2，
∴最大值为2+3；
如图2，过P作PE⊥x轴于E，
∵△APN是等腰直角三角形，
∴PE=AE=，
∴OE=BO﹣﹣3=2﹣，
∴P（2﹣，）．

23．（11分） 如图1，直线y=﹣x+n交x轴于点A，交y轴于点C（0，4），抛物线y=x2+bx+c经过点A，交y轴于点B（0，﹣2）．点P为抛物线上一个动点，过点P作x轴的垂线PD，过点B作BD⊥PD于点D，连接PB，设点P的横坐标为m．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当△BDP为等腰直角三角形时，求线段PD的长；
（3）如图2，将△BDP绕点B逆时针旋转，得到△BD′P′，且旋转角∠PBP′=∠OAC，当点P的对应点P′落在坐标轴上时，请直接写出点P的坐标．

【解答】解：（1）∵点C（0，4）在直线y=﹣x+n上，
∴n=4，
∴y=﹣x+4，
令y=0，
∴x=3，
∴A（3，0），
∵抛物线y=x2+bx+c经过点A，交y轴于点B（0，﹣2）．
∴c=﹣2，6+3b﹣2=0，
∴b=﹣，
∴抛物线解析式为y=x2﹣x﹣2，
（2）点P为抛物线上一个动点，设点P的横坐标为m．
∴P（m，m2﹣m﹣2），
∴BD=|m|，PD=|m2﹣m﹣2+2|=|m2﹣m|，
∵△BDP为等腰直角三角形，且PD⊥BD，
∴BD=PD，
∴|m|=|m2﹣m|，
∴m=0（舍），m=，m=，
∴PD=或PD=；
（3）∵∠PBP'=∠OAC，OA=3，OC=4，
∴AC=5，
∴sin∠PBP'=，cos∠PBP'=，
①当点P'落在x轴上时，过点D'作D'N⊥x轴，垂足为N，交BD于点M，
∠DBD'=∠ND'P'=∠PBP'，
如图1，

ND'﹣MD'=2，
∴（m2﹣m）﹣（﹣m）=2，
∴m=（舍），或m=﹣，
如图2，
ND'+MD'=2，
∴（m2﹣m）+m=2，
∴m=，或m=﹣（舍），
∴P（﹣，）或P（，），
②当点P'落在y轴上时，如图3，
过点D′作D′M⊥x轴，交BD于M，过P′作P′N⊥y轴，
∴∠DBD′=∠ND′P′=∠PBP′，
∵P′N=BM，
∴（m2﹣m）=m，
∴m=，
∴P（，）．
∴P（﹣，）或P（，）或P（，）．

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