2016哈尔滨铁道职业技术学院单招数学模拟试题(附答案).docx

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2016哈尔滨铁道职业技术学院单招数学模拟试题(附答案)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若集合，，则为（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
2．函数的最小正周期为（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
3．函数的定义域为（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
4．若，，则等于（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
5．设，
则的值为（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
6．一袋中装有大小相同，编号分别为的八个球，从中有放回地每次取一个球，共取2次，则取得两个球的编号和不小于15的概率为（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
7．连接抛物线的焦点与点所得的线段与抛物线交于点，设点为坐标原点，则三角形的面积为（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
8．若，则下列命题正确的是（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
9．四面体的外接球球心在上，且，，在外接球面上两点间的球面距离是（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
10．设在内单调递增，，则是的（　　）
Ａ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件
Ｃ．充分必要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件
11．四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示，盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半．设剩余酒的高度从左到右依次为，，，，则它们的大小关系正确的是（　　）

Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
12．设椭圆的离心率为，右焦点为，方程的两个实根分别为和，则点（　　）
Ａ．必在圆上 Ｂ．必在圆外
Ｃ．必在圆内 Ｄ．以上三种情形都有可能
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把答案填在答题卡上．
13．在平面直角坐标系中，正方形的对角线的两端点分别为，，则 ．
14．已知等差数列的前项和为，若，则 ．
15．已知函数存在反函数，若函数的图象经过点，则函数的图象必经过点 ．

16．如图，正方体的棱长为1，过点作平面的垂线，垂足为点．有下列四个命题
Ａ．点是的垂心
Ｂ．垂直平面
Ｃ．二面角的正切值为
Ｄ．点到平面的距离为
其中真命题的代号是 ．（写出所有真命题的代号）
三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）
已知函数满足．
（1）求常数的值；
（2）解不等式．

18．（本小题满分12分）

如图，函数的图象与轴相交于点，且该函数的最小正周期为．
（1）求和的值；
（2）已知点，点是该函数图象上一点，点是的中点，当，时，求的值．
19．（本小题满分12分）
栽培甲、乙两种果树，先要培育成苗，然后再进行移栽．已知甲、乙两种果树成苗的概率分别为，，移栽后成活的概率分别为，．
（1）求甲、乙两种果树至少有一种果树成苗的概率；
（2）求恰好有一种果树能培育成苗且移栽成活的概率．
20．（本小题满分12分）

右图是一个直三棱柱（以为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为．已知，，，，．
（1）设点是的中点，证明：平面；
（2）求与平面所成的角的大小；
（3）求此几何体的体积．
21．（本小题满分12分）
设为等比数列，，．
（1）求最小的自然数，使；
（2）求和：．
22．（本小题满分14分）
设动点到点和的距离分别为和，，且存在常数，使得．

（1）证明：动点的轨迹为双曲线，并求出的方程；
（2）如图，过点的直线与双曲线的右支交于两点．问：是否存在，使是以点为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

参考答案
一、选择题
1．Ｂ　　2．Ｂ　　3．Ａ　　4．Ｄ　　5．Ａ　　6．Ｄ　　7．Ｂ　　8．Ｂ　　9．Ｃ
10．Ｃ　　11．Ａ　　12．Ｃ
二、填空题
13．　　14．　　15．　　16．A，B，C
三、解答题
17．解：（1）因为，所以；
由，即，．
（2）由（1）得
由得，
当时，解得，
当时，解得，
所以的解集为．
18．解：（1）将，代入函数中得，
因为，所以．
由已知，且，得．
（2）因为点，是的中点，．
所以点的坐标为．
又因为点在的图象上，且，所以，
，从而得或，
即或．
19．解：分别记甲、乙两种果树成苗为事件，；分别记甲、乙两种果树苗移栽成活为事件，，，，，．
（1）甲、乙两种果树至少有一种成苗的概率为
；
（2）解法一：分别记两种果树培育成苗且移栽成活为事件，
则，．
恰好有一种果树培育成苗且移栽成活的概率为
．
解法二：恰好有一种果树栽培成活的概率为
．
20．
解法一：
（1）证明：作交于，连．

则，
因为是的中点，
所以．
则是平行四边形，因此有，
平面，且平面
则面．
（2）解：如图，过作截面面，分别交，于，，
作于，
因为平面平面，则面．
连结，则就是与面所成的角．
因为，，所以．
与面所成的角为．
（3）因为，所以．
．
．
所求几何体的体积为．
解法二：

（1）证明：如图，以为原点建立空间直角坐标系，则，，，因为是的中点，所以，
，
易知，是平面的一个法向量．
由且平面知平面．
（2）设与面所成的角为．
求得，．
设是平面的一个法向量，则由得，
取得：．
又因为
所以，，则．
所以与面所成的角为．
（3）同解法一
21．解：（1）由已知条件得，
因为，所以，使成立的最小自然数．
（2）因为，…………①
，…………②
得：

所以．
22．解：（1）在中，

（小于的常数）
故动点的轨迹是以，为焦点，实轴长的双曲线．
方程为．
（2）方法一：在中，设，，，．
假设为等腰直角三角形，则

由②与③得，
则
由⑤得，

，

故存在满足题设条件．
方法二：（1）设为等腰直角三角形，依题设可得

所以，．
则．①
由，可设，
则，．
则．②
由①②得．③
根据双曲线定义可得，．
平方得：．④
由③④消去可解得，
故存在满足题设条件．