平面向量(第二课时).doc

平面向量（第二课时）

一．知识梳理
1.向量的加法与减法
2.实数与向量的积
实数与向量的积是一个向量，记作．它的长度与方向
3.⑴ 平面向量基本定理：如果、是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数、，使得
(2)平面向量的坐标表示
分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量、作为基底，对于一个向量，有且只有一对实数x、y，使得＝x＋y．我们把(x、y)叫做向量的直角坐标，记作 ．并且||＝
4.平面向量的坐标运算：
若＝(x1、y1)，＝(x2、y2)，λ∈R，则：
＋＝ －＝ λ＝ ·＝
已知A(x1、y1)，B(x2、y2)，则＝ ．
5.向量数量积的性质：设、都是非零向量，θ是与的夹角．
(1) ⊥
(3)θ是与的夹角,cosθ＝ ．
二．基础达标
(1)在平面上给定非零向量满足，的夹角为，则的值为
(2) ，且，则与的夹角为
(3)设a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与2a－b共线，则λ＝________
(4) 两块斜边长相等的直角三角板拼在一起．若＝x＋y，则x＝________，y＝________
(5)设向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，若表示向量4a、3b－2a、c的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c＝
（6）给出下列命题：
①若向量与同向，且||＞||，则＞．
②若A，B，C，D是不共线的四点，则是四边形ABCD为平行四边形的充要条件．
③向量∥，则向量与方向相同或相反．
④向量与向量共线，则A,B,C,D四点在一条直线上．
⑤起点不同，方向与模相同的几个向量是相等向量．
其中正确的序号是_________

三．典型例题
例1. 已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.
(1)求a与b的夹角θ；
(2)求|a＋b|和|a－b|

例2. 已知向量a＝(sin θ，cos θ－2sin θ)，b＝(1,2)．
(1)若a∥b，求tan θ的值；
(2)若|a|＝|b|,0＜θ＜π，求θ的值

例3.在中有如下结论：“若点M为的重心，则”，设a，b，c分别为的内角A，B，C的对边，点M为的重心.如果，（1）则内角A的大小（2）若a＝3，则的面积

例4.给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为.
（1）求|+|；
（2）如图（1）所示，点在以为圆心的圆弧上运动．若
其中,求的最大值？
A
B
O
（3）若点、点在以为圆心，1为半径的圆上，且，问 与的夹角取何值时，的值最大？并求出这个最大值.

图（1） 图（2）

四．课后作业
1. 已知向量，，，若夹角为锐角，则取值范围是
2.已知a1＋a2＋…＋an＝0，且an＝(3,4)，则a1＋a2＋…＋an－1的坐标为
3.已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，则|＋3|的最小值为________
4.在△ABC中，M是BC的中点，||＝1，＝2，则·(＋)＝________
5.平面上有四个互异点A、B、C、D，已知(＋－2)·(－)＝0，则△ABC的形状是
6.在□ABCD中，AB = 5，AD = 4，点P在△BCD内（包括周界），设，则一切点（x，y）形成区域的面积为_________
7.直线上有不同三点，是直线外一点，对于向量 是锐角总成立，则_________________
8.已知O为△ABC所在平面内一点且满足，则△AOB与△AOC的面积之比为
9.如图，平面内有三个向量，其中与的夹角为120°，与的夹角为150°，且，．若，则的值为_________．
A
O
B
C

10.已知平面上三点，满足，则
11.在△ABC中，已知向量与满足·＝0且·＝，则
△ ABC为
12.已知点P为所在平面上的一点，且，其中为实数，若点P落在的内部，则的取值范围是
13.△ABC的面积是30，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，cos A＝.(1)求·；
(2)若c－b＝1，求a的值

14. 在中，点M是BC的中点，点N在边AC上，且AN=2NC，AM与BN相交于点P，求AP：PM的值.

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