利用空间向量解立几何.doc

利用空间向量解立几何
一、 空间角
说明：以下涉及的点均为所属线或面上的任意点。在可以建立空间坐标系的前提下，以下
的点的坐标可求出。
1．异面直线所成的角
点A，B直线a,C，D直线b。构成向量。
所对应的锐角或直角即为直线a(AB)与
b(CD)所成的角。
例1． 如图，已知直棱柱ABC-A1B1C1，在ABC中，
CA=CB=1，，棱AA1=2，求异面直线
BA1，CB1所成的角。

2．线面所成的角
与的角所对应的锐角的余角或直角即为直线AP与平面所成的角，所以
与的角的余弦值的绝对值为直线AP与平面所成的角的正弦值。
O
A
P

例2．棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别
为C1D1、B1C1的中点，
(1) 求证：E、F、B、D共面；
(2) 求点A1D与平面EFBD所成的角。

3．二面角的求法
二面角，平面的法向量，平面的法向量。，则二面
角的平面角为或π。

l

所以，，若将法向量的起点放在两个半平面上(不要选择起点在棱上)，
当两个法向量的方向都向二面角内或外时，则为二面角的平面角的补角；当
两个法向量的方向一个向二面角内，另一个向外时，则为二面角的平面角。
E
G
F
D
C
B
A
例2． 如图，平面ABCD，ADE是等边三角形，ABCD
是矩形，F是AB的中点，G是AD的中点，EC与
平面ABCD成300的角。
(1)求证：EG平面ABCD；
(2)若AD=2，求二面角E-FG-G的度数；
(3)当AD的长是多少时，点D到平面EFG的距离为2，
请说明理由。

点到面的距离
线到面的距离
线到线的距离
面到面的距离
二、 空间距离

1．点到面的距离
点P到面的距离可以看成在平面的法向量的方向上的射影的长度。
O
A
P

2． 异面直线间的距离
异面直线a,b之间的距离可以看成在a,b的公垂向量的方向上
E
b
a
F
的射影的长度。

例4．长方体ABCD-A1B1C1D1中AB=2，AD=4，AA1=6，E是BC
的中点，F是CC1的中点，建立空间坐标系，求
(1)异面直线D1F与B1E所成角的大小；
(2)二面角D1-AE-D的大小；
(3)异面直线B1E与D1F的距离。

3． 线面距离
直线a与平面平行时，直线上任意一点A到平面的距离就
是直线a与平面之间的距离。其求法与点到面的距离求法相同。
如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为3，
例5．侧棱长为，D是CB延长线上一点，且BD=BC。
(1)求直线BC1与平面AB1D之间的距离；
(2)求二面角B1-AD-B的大小；
(3)求三棱锥C1-ABB1的体积。

4． 平面与平面间的距离
平面与平面平行时，其中一个平面上任意一点到平面
的距离就是平面与平面间的距离。其求法与点到面的
距离求法相同。
例6．如图所示，在直三棱锥ABC-A1B1C1中，，
BC=2，CC1=4，点E在线段BB1上，且EB1=1，D、F、G
分别为CC1、C1B1、C1A1的中点。
(1)求证：B1D平面ABD；
(2)求证；平面EGF∥平面ABD；
(3)求平面EGF与平面ABD的距离。