六年级奥数列方程解应用题含答案.docx

列方程解应用题
知识框架
方程，是一种顺向的“程序”，即设出未知数之后，完全可以根据题目叙述，把各个量翻译出来，找出
等量关系划等号即可.
一、 列方程解应用题的要点
（1） 设出
用哪个未知量表示题目中提到的其他量比较方便，就选择哪个未知量作为未知数.
如果只设一个不能进行有效的表达，就再设一两个.
（2） 翻译
用设出的未知数，逐个对应地翻译题目中提到的其他各个量.
（3） 等量
按照题目所述，找出并构建等量关系.
等量中很容易忽视的是“不变量”和“相同量”，一定要敏感.
【提示】有时虽然设出未知数之后等式列出来了，但方程不好解. 此时，可考虑重设未知数、重列方
程或采取其他方法，甚至可以考虑先把问题的目标表达式找出来，“设而不求”——不占而屈人之兵.
二、 列方程解应用题的优势和局限性
关系比较复杂的问题，使用方程，通常可以达到事半功倍的效果.
但需要注意的是，方程“单飞”有时无力，需要结合线段图、列表法等，能够发挥更加明显的作用.
重难点
（1） 重点：未知数的选设，其他量的表达，等量关系的寻找
（2） 难点：未知数的选设，等量关系的寻找，不定方程和不定方程组解的讨论
例题精讲
一、 列一般方程解应用题
【例 1】 已知足球、篮球、排球三种球平均每个35 元.篮球比排球每个贵 10 元，足球比排球每个贵8 元.
问：每个篮球多少元？
【考点】列方程解应用题
【难度】1 星
【题型】解答
【解析】设每个排球 x 元，则每个篮球为 x+10 元，每个足球 x+8 元，由已知列方程：
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x+x+8+x+10=35×3，
解得 x=29.
【巩固】 有一些糖，每人分 5 块多 10 块；如果现有的人数增加到原人数的 1.5 倍，那么每人 4 块就少 2
块.问这些糖共有多少块?
【考点】列方程解应用题
【解析】设开始共有 x 人，
5x+10=4×1.5x-2，
【题型】解答
解得 x=12，
1
【例 2】 一个分数 ，分子与分母的和是 122，如果分子、分母郡减去 19，得到的分数约简后是 ．那
5
【考点】列方程解应用题
1
a
=
=
【解析】方法一：设这个分数为
,
122 - a
(122 - a ) - 19 103 - a 5
33
即
a
， 那 么 原 来 这 个 分 数 为
5a
(a +19) + (5a +19)
=122, ，解得.=14．所以原来的分数是
．
【巩固】 如下左图中的短除式所示，一个自然数被 8 除余 1，所得的商被 8 除余 1，再把第二次所得的商
被 8 除后余 7，最后得到的一个商是a ．如下右图中的短除式表明：这个自然数被17 除余 4，所
得的商被 17 除余 15，最后得到的一个商是a 的 2 倍．求这个自然数．
【考点】列方程解应用题
【题型】解答
(
)
é 8a + 7 ´8+1ù´8+1= 17 + 2a +17 + 4,
【解析】由题意知
整理得 512a+457=578a+259，即 66a=198，
ë
û

a=3．
于是，[(80+1)×8+1]× 8+1=1993．
【例 3】 一条船往返于甲、乙两港之间，由甲至乙是顺水行驶，由乙至甲是逆水行驶.已知船在静水中的
速度为 8 千米/时，平时逆行与顺行所用的时间比为 2∶1.某天恰逢暴雨，水流速度为原来的 2
倍，这条船往返共用 9 时.问：甲、乙两港相距多少千米？
【考点】列方程解应用题
【题型】解答
【解析】 设甲、乙两港相距 x 千米，原来水流速度为 a 千米/时根据题意可知，逆水速度与顺水速度的比为
2∶1，即
8
3
x
x
+
再根据暴雨天水流速度变为 2a 千米/时，则有
8
x
x
+
3
【考点】列方程解应用题
270
7
1
7
在这段时间内乙走了72´
.
（米）.由于正方形边长为 90 米，共四条边，故由
，

【例 4】 用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身 16 个，或制盒底 43 个，一个盒身和两个盒底配成一个
罐头盒，现有 150 张铁皮，用多少张制盒身，多少张制盒底，才能使盒身与盒底正好配套？
【考点】列方程解应用题
x
150
ìx = 86
í
16x ´ 2 = 43y
î
îy
所以 86 张铁皮制盒身，64 张铁皮制盒底.
【答案】86；64
【巩固】 运来三车苹果，甲车比乙车多4 箱，乙车比丙车多4 箱，甲车比乙车每箱少3 个苹果，乙车比丙
车每箱少 5 个苹果，甲车比乙车总共多 3 个苹果，乙车比丙车总共多 5 个苹果，这三车苹果共有
多少个?
【考点】列方程解应用题
车别
箱数
甲
乙
丙
x
y
x－4
y＋5
每箱苹果数
xy-（x-4）（y+5）=5
①
②
î
【例 5】 有甲、乙、丙、丁4 人，每 3 个人的平均年龄加上余下一人的年龄分别为29，23，2l 和 17．这
4 人中最大年龄与最小年龄的差是多少?
【考点】列方程解应用题
【题型】解答
x
y
z

①+②+③十④得：2( +y+z+ )=90，
x
w
x + y + z + w
则
=15…………………………………………⑤
3
2
x =14 x
①-⑤得：
④-⑤得：
,
=21；
z=3；
3
2
3
z = 2
，
所以最大年龄与最小年龄的差为
=21—3=18(岁)
x
- w
【答案】18
三、 列不定方程或不定方程组解应用题
【例 6】 新发行的一套邮票共 3 枚，面值分别为 20 分、40 分和 50 分，小明花 5.00 元买了 15 张.问：其
中三种面值的邮票各多少张？
【考点】列方程解应用题
【难度】2 星
【题型】解答
【解析】根据题意，设面值 20 分的 张，面值 40 分的 张，面值 50 分的 张，可列方程得
x
y
z
ì =
6
x
ì + + =
15
ï
x y z
y
= 7
í
解得í
20x + 40y + 50z = 500
î
ï
z = 2
î
所以 20 分的 6 张，40 分的 7 张，50 分的 2 张
【答案】6；7；2
【巩固】 某次数学竞赛准备了 22 支铅笔作为奖品发给获得一、二、三等奖的学生，原计划一等奖每人发
6 支，二等奖每人发 3 支，三等奖每人发 2 支.后来又改为一等奖每人发 9 支，二等奖每人发 4
支，三等奖每人发 1 支.问：获一、二、三等奖的学生各几人？
【考点】列方程解应用题
【难度】3 星
【题型】解答
【解析】根据题意，设一等奖 人，二等奖 人，三等奖 人，可列方程得
x y z
ì =
1
x
6x + 3y + 2z = 22
ì
í
9x + 4y + z = 22
î
ï
y
= 2
解得í
ï
z = 5
î
所以，一等奖 1 人，二等奖 2 人，三等奖 5 人.
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【答案】1；2；5
【例 7】 工程队要铺设 78 米长的地下排水管道，仓库中有 3 米和 5 米长的两种管子.问：可以有多少种不
同取法？
【考点】列方程解应用题
【难度】2 星
【题型】解答
【解析】根据题意，设 3 米管子 根，5 米管子 根，可列方程得
x
y
3x + 5y = 78
ì =
26
ìx = 21 ìx =16 ìx =11 ìx = 6
ìx =1
x
解得í
或 í
或í
或 í
或í
或 í
îy = 0
îy = 3
îy = 6
îy = 9 îy =12 îy =15
所以共有 6 种取法.
【答案】6
【巩固】 用 1 分、2 分和 5 分硬币凑成 1 元钱，共有多少种不同的凑法？
【考点】列方程解应用题 【难度】4 星 【题型】解答
【解析】根据题意，设 5 分有 个，2 分有 个，1 分有 个，可列方程得
x
y
z
5x + 2y + z =100
5 分取 20 个，有 1 种.
5 分取 19 个，2 分有 3 种取法（2 个、1 个、0 个），共 3 种.
5 分取 18 个，共 6 种.（同上）
5 分取 17 个，共 8 种.
5 分取 16 个，共 11 种.
......
根据规律不难求出共有
1+3+6+8+11+13+16+18+21+23+26+28+31+33+36+38+41+43+46+48+51
=18+58+98+138+178+51
=490+51
=541
【答案】541
【例 8】 某单位的职工到郊外植树，其中有男职工，也有女职工，并且有寺的职工各带一个孩子参加．男
职工每人种 13 棵树，女职工每人种 10 棵树，每个孩子种 6 棵树，他们一共种了 216 棵树．那
么其中有多少名男职工?
【考点】列方程解应用题
【难度】4 星
【题型】解答
【解析】设男职工 人，孩子 人，则女职工 3 - 人(注意，为何设孩子数为 人，而不是设女工为 人)，
x
y
y x
y
y
( )
13x +10 3y - x +6y
=216，化简为3x + 36y
=216，即
x +12y
=72．
那么有
ì =12ì = 24 = 36 = 48 = 60
ï
ì
í
ì
í
ì
x
í
x
x
x
x
有 í
í
.
î y = 5 y = 4 y = 3 y = 2 y =1
ï
î
î
î
î
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ì =
x
必须是自然数，所以只有í
【巩固】 一居民要装修房屋，买来长0.7 米和 O.8 米的两种木条各若干根．如果从这些木条中取出一些接
起来，可以得到许多种长度的木条，例如：O.7+O.7=1.4 米，0.7+0.8=1.5 米．那么在 3.6 米、3.8
米、3.4 米、3.9 米、3.7 米这 5 种长度中，哪种是不可能通过这些木条的恰当拼接而实现的?
【考点】列方程解应用题
【题型】解答
【解析】设 0.7 米，0.8 米两种木条分别 x ， y 根，则0.7 x +0.8 y =3.4，3.6……，即7 x +8 y =34，36，37，
38，39. 将系数，常数对 7 取模，有 y ≡6，l，2，3，4(mod 7)，于是 y 最小分别取 6,1,2，3，4．但
是当 y 取 6 时，8×6=48 超过 34， x 无法取值．
【例 9】 某人在公路上行走，往返公共汽车每隔 4 分就有一辆与此人迎面相遇，每隔 6 分就有一辆从背
后超过此人.如果人与汽车均为匀速运动，那么汽车站每隔几分发一班车？
【考点】列方程解应用题
由①、②，得
将③代入①，得
x＝4.8
【答案】4.8
【巩固】 某地收取电费的标准是：若每月用电不超过 50 千瓦时，则每千瓦时收 5 角；若超过 50 千瓦时，
则超出部分按每千瓦时 8 角收费.某月甲用户比乙用户多交 3 元 3 角电费，这个月甲、乙各用了
多少千瓦时电？
【考点】列方程解应用题
【题型】解答

【解析】根据题意可知，因为 3 元 3 角既不是 5 角的整数倍，也不是 8 角的整数倍.所以甲用的电超过 50
千瓦时，乙用的电没有超过 50 千瓦时，设甲用的电超过 50 千瓦时的部分为 千瓦时电，乙用的
x
ì =
1
x
电与 50 千瓦时相差 千瓦时电，可列方程得
y
【例 10】 某校师生为贫困地区捐款 1995 元．这个学校共有 35 名教师，14 个教学班．各班学生人数相同
且多于 30 人不超过 45 人．如果平均每人捐款的钱数是整数，那么平均每人捐款多少元？
【考点】列方程解应用题
【题型】解答
【解析】设每班有 a(30＜a≤45)名学生，每人平均捐款 x 元(x 是整数)，依题意有：x(14a+35)=1995．于是
14a+35|1995．又 3l＜a≤45，所以 469＜14a+35≤665，而 1995=3×5×7×19，在 469 与 665 之间它的
约数仅有 665，故 14a+35=665，x=3，平均每人捐款 3 元．
【巩固】 一次数学竞赛中共有 A、B、C 三道题，25 名参赛者每人至少答对了一题．在所有没有答对A 的
学生中，答对B 的人数是答对 C 的人数的两倍，只答对问题A 的人数比既答对 A 又至少答对其
他一题的人数多 1．又已知在所有恰好答对一题的参赛者中，有一半没有答对A．请问有多少学
生只答对 B?
【考点】列方程解应用题
x
y
25- x
=
3
，
ï
î
=7 时， 、 都是正整数，所以
x
= 7, y = 6, z = 2
.
x
z
故只答对 B 的有 6 人．
【答案】6
【随练1】 有一队伍以 1.4 米/秒的速度行军，末尾有一通讯员因事要通知排头，于是以 2.6 米/秒的速度从
末尾赶到排头并立即返回排尾，共用了 10 分 50 秒.问：队伍有多长？

【考点】经济问题
【题型】解答
解得 x＝500
【随练2】 六（1）班举行一次数学测验，采用 5 级计分制（5 分最高，4 分次之，以此类推）.男生的平均
成绩为 4 分，女生的平均成绩为 3.25 分，而全班的平均成绩为 3.6 分.如果该班的人数多于 30
人，少于 50 人，那么有多少男生和多少女生参加了测验？
【考点】列方程解应用题
【题型】解答
在大于 30 小于 50 的自然数中，只有 45 可被 15 整除，所以
【随练3】(1)将 50 分拆成 10 个质数之和，要求其中最大的质数尽可能大，则这个最大质数是多少?
(2)将 60 分拆成 10 个质数之和，要求其中最大的质数尽可能小，则这个最大的质数是多少?
【考点】列方程解应用题
【解析】(1)首先确定这 10 个质数或其中的几个质数可以相等，不然10 个互不相等的质数和最小为
2+3+5+7+11+13+17+19+23+29，显然大于 50． 所以，其中一定可以有某几个质数相等．
欲使最大的质数尽可能大，那么应使最小的质数尽可能小，最小的质数为2，且最多可有 9 个 2，
那么最大质数不超过 50—2×9=32，而不超过 32 的最大质数为 31．
，所以满足条件的最大质数为 31．
8个2
(2)最大的质数必大于 5，否则 10 个质数的之和将不大于 50．
所以最大的质数最小为 7，为使和为 60，所以尽可能的含有多个 7．
60÷7=8……4，60=7+7+7+ +7+4 ，而 4=2+2，恰好有60=7+7+7+ +7+2+2
8个7
8个7
2 个 2 的和为 60，显然其中最大的质数最小为 7．

【随练4】在同一路线上有 4 个人：第一个人坐汽车，第二个人开摩托车，第三个人乘助力车，第四个人
骑自行车，各种车的速度是固定的，坐汽车的 12 时追上乘助力车的，14 时遇到骑自行车的，而
开摩托车的相遇是 16 时．开摩托车的遇到乘助力车的是 17 时，并在 18 时追上了骑自行车的，
问骑自行车的几时遇见乘助车的?
【考点】经济问题
【题型】解答
【解析】设汽车、摩托车、助力车、自行车的速度分别为 a，b，c，d，设在 12 时骑自行车的与坐汽车的
距离为 ，骑自行车的与开摩托车的之间的距离为 y．有
x
(①+③)×2 一(②+④)，得
10
3
10
x
即t
．
3
所以骑自行车的在 15 时 20 分遇见骑助力车的．
【答案】15 时 20 分
【作业1】甲、乙、丙、丁四人今年分别是 16、12、11、9 岁.问：多少年前，甲、乙的年龄和是丙、丁年
龄和的 2 倍？
【考点】列方程解应用题
解得 x=6.
所以，6 年前，甲、乙的年龄和是丙、丁年龄和的2 倍.
【答案】6
【作业2】 铁路旁的一条与铁路平行的小路上，有一行人与骑车人同时向南行进，行人速度为 3.6 千米/时，
骑车人速度为 10.8 千米/时，这时有一列火车从他们背后开过来，火车通过行人用 22 秒，通过
骑车人用 26 秒，这列火车的车身总长是多少？
【考点】列方程解应用题
【题型】解答

（x-1）×22=（x-3）×26.
解得 x=14.所以火车的车身长为
（14-1）×22=286（米）.
【答案】286
【作业3】小明玩套圈游戏，套中小鸡一次得 9 分，套中小猴得 5 分，套中小狗得 2 分.小明共套了 10 次，
每次都套中了，每个小玩具都至少被套中一次，小明套10 次共得 61 分.问：小明至多套中小鸡
几次？
【考点】列方程解应用题
【难度】3 星
【题型】解答
【解析】设套中小鸡 x 次，套中小猴 y 次，则套中小狗（10-x-y）次.根据得 61 分可列方程
9x+5y+2（10-x-y）=61，
化简后得 7x=41－3y.
显然 y 越小，x 越大.将 y=1 代入得 7x=38，无整数解；若 y=2，7x=35，解得 x=5.
【答案】5
【作业4】袋子里有三种球，分别标有数字2，3 和 5，小明从中摸出几个球，它们的数字之和是43.问：小
明最多摸出几个标有数字 2 的球？
【考点】列方程解应用题
【难度】3 星
【题型】解答
【解析】根据题意，设摸出标有数字 2 的 个，摸出标有数字 3 的 个，摸出标有数字 5 的 个，可列方
x
y
z
2x + 3y + 5z = 43
程得
最大为所求.
x
，
ì =
20
x
ï
所以，摸出标有数字 2 的最多为 20 个.
y
=1
解得í
ï
z = 0
î
【答案】20
【作业5】小花狗和波斯猫是一对好朋友，它们在早晚见面时总要叫上几声表示问候.若是早晨见面，小花
狗叫两声，波斯猫叫一声；若是晚上见面，小花狗叫两声，波斯猫叫三声.细心的小娟对它们的
叫声统计了 15 天，发现它们并不是每天早晚都见面，在这 15 天内它们共叫了 61 声.问：波斯猫
至少叫了多少声？
【考点】列方程解应用题
【难度】3 星
【题型】解答
【解析】根据题意，设白天见面的次数为 ，晚上见面的次数为 ，可列方程得
x y
3x + 5y = 61
白天见面最多时，波斯猫叫声最少.即 最大为所求.
x
ì =
12
x
解得í
所以，波斯猫至少叫12+5´3 = 27（声）.
= 5
îy
【答案】27
【作业6】 小明买红、蓝两支笔，共用了17 元．两种笔的单价都是整数元，并且红笔比蓝笔贵．小强打算
用 35 元来买这两种笔(也允许只买其中一种)，可是他无论怎么买，都不能把 35 元恰好用完．那
六年级奥数.应用题.列方程解应用题 .教师版
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么红笔的单价是多少元?
【考点】列方程解应用题
【解析】如下表
【难度】3 星
【题型】解答
先 枚 举 出
所有可能的单价如表
1．
再依次考虑：
首先，不能出现 35 的约数．否则只买这种笔就可以刚好用完35 元，所以含有 7，5，1 的组合不
可能．然后，也不能出现 35—17=18 的约数．否则先各买一支需 17 元，那么再买这种笔就可以
花去 18 元，一共花 35 元．所以含有 9，6，3，2 的组合也不可能．
所以，只有 13+4 的组合可能，经检验 13x+4y=35 这个不定方程确实无自然数解．所以红笔的单
价为 13 元．

么红笔的单价是多少元?
【考点】列方程解应用题
【解析】如下表
【难度】3 星
【题型】解答
先 枚 举 出
所有可能的单价如表
1．
再依次考虑：
首先，不能出现 35 的约数．否则只买这种笔就可以刚好用完35 元，所以含有 7，5，1 的组合不
可能．然后，也不能出现 35—17=18 的约数．否则先各买一支需 17 元，那么再买这种笔就可以
花去 18 元，一共花 35 元．所以含有 9，6，3，2 的组合也不可能．
所以，只有 13+4 的组合可能，经检验 13x+4y=35 这个不定方程确实无自然数解．所以红笔的单
价为 13 元．

么红笔的单价是多少元?
【考点】列方程解应用题
【解析】如下表
【难度】3 星
【题型】解答
先 枚 举 出
所有可能的单价如表
1．
再依次考虑：
首先，不能出现 35 的约数．否则只买这种笔就可以刚好用完35 元，所以含有 7，5，1 的组合不
可能．然后，也不能出现 35—17=18 的约数．否则先各买一支需 17 元，那么再买这种笔就可以
花去 18 元，一共花 35 元．所以含有 9，6，3，2 的组合也不可能．
所以，只有 13+4 的组合可能，经检验 13x+4y=35 这个不定方程确实无自然数解．所以红笔的单
价为 13 元．