初中二次函数知识点总结与练习题.doc

二次函数知识点总结
一、二次函数概念：
1．二次函数的概念：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数，而可以为零．二次函数的定义域是全体实数．
2. 二次函数的结构特征：
⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2．
⑵ 是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项．
二、二次函数的基本形式
1. 二次函数基本形式：的性质：
a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质

向上

轴
时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．

向下

轴
时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．

2. 的性质：
上加下减。
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质

向上

轴
时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．

向下

轴
时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．

3. 的性质：
左加右减。
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质

向上

X=h
时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．

向下

X=h
时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．

4. 的性质：
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质

向上

X=h
时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．

向下

X=h
时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．
三、二次函数图象的平移
1. 平移步骤：
方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；
⑵ 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：

2. 平移规律
在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．
概括成八个字“左加右减，上加下减”．
方法二：
⑴沿轴平移:向上（下）平移个单位，变成
（或）
⑵沿x轴平移：向左（右）平移个单位，变成（或）

四、二次函数与的比较
从解析式上看，与是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即，其中．
五、二次函数图象的画法
五点绘图法：利用配方法将二次函数化为顶点式，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点，（若与轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.
画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.

六、二次函数的性质
1. 当时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为．
当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；当时，有最小值．
2. 当时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为．当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，有最大值．
七、二次函数解析式的表示方法
1. 一般式：（，，为常数，）；
2. 顶点式：（，，为常数，）；
3. 两根式：（，，是抛物线与轴两交点的横坐标）.
注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.
八、二次函数的图象与各项系数之间的关系
1. 二次项系数
二次函数中，作为二次项系数，显然．
⑴ 当时，抛物线开口向上，的值越大，开口越小，反之的值越小，开口越大；
⑵ 当时，抛物线开口向下，的值越小，开口越小，反之的值越大，开口越大．
总结起来，决定了抛物线开口的大小和方向，的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小．
2. 一次项系数
在二次项系数确定的前提下，决定了抛物线的对称轴．
⑴ 在的前提下，
当时，，即抛物线的对称轴在轴左侧；
当时，，即抛物线的对称轴就是轴；
当时，，即抛物线对称轴在轴的右侧．
⑵ 在的前提下，结论刚好与上述相反，即
当时，，即抛物线的对称轴在轴右侧；
当时，，即抛物线的对称轴就是轴；
当时，，即抛物线对称轴在轴的左侧．
总结起来，在确定的前提下，决定了抛物线对称轴的位置．
的符号的判定：对称轴在轴左边则，在轴的右侧则，概括的说就是“左同右异”
总结：
3. 常数项
⑴ 当时，抛物线与轴的交点在轴上方，即抛物线与轴交点的纵坐标为正；
⑵ 当时，抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为；
⑶ 当时，抛物线与轴的交点在轴下方，即抛物线与轴交点的纵坐标为负．
总结起来，决定了抛物线与轴交点的位置．
总之，只要都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．
二次函数解析式的确定：
根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：
1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
3. 已知抛物线与轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；
4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．

九、二次函数图象的对称
二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达
1. 关于轴对称
关于轴对称后，得到的解析式是；
关于轴对称后，得到的解析式是；
2. 关于轴对称
关于轴对称后，得到的解析式是；
关于轴对称后，得到的解析式是；
3. 关于原点对称
关于原点对称后，得到的解析式是；
关于原点对称后，得到的解析式是；
4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）
关于顶点对称后，得到的解析式是；
关于顶点对称后，得到的解析式是．
5. 关于点对称
关于点对称后，得到的解析式是
根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．

十、二次函数与一元二次方程：
1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与轴交点情况）：
一元二次方程是二次函数当函数值时的特殊情况.
图象与轴的交点个数：
① 当时，图象与轴交于两点，其中的是一元二次方程的两根．这两点间的距离.
② 当时，图象与轴只有一个交点；
③ 当时，图象与轴没有交点.
当时，图象落在轴的上方，无论为任何实数，都有；
当时，图象落在轴的下方，无论为任何实数，都有．
2. 抛物线的图象与轴一定相交，交点坐标为，；
3. 二次函数常用解题方法总结：
⑴ 求二次函数的图象与轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；
⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；
⑶ 根据图象的位置判断二次函数中，，的符号，或由二次函数中，，的符号判断图象的位置，要数形结合；
⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.

抛物线与轴有两个交点
二次三项式的值可正、可零、可负
一元二次方程有两个不相等实根

抛物线与轴只有一个交点
二次三项式的值为非负
一元二次方程有两个相等的实数根

抛物线与轴无交点
二次三项式的值恒为正
一元二次方程无实数根.
⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式本身就是所含字母的二次函数；下面以时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：

图像参考：

十一、函数的应用
二次函数应用
二次函数考查重点与常见题型
1． 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：
已知以为自变量的二次函数的图像经过原点， 则的值是
2． 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如：
如图，如果函数的图像在第一、二、三象限内，那么函数的图像大致是（ ）
y y y y

1 1
0 x o-1 x 0 x 0 -1 x
A B C D
3． 考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如：
已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为，求这条抛物线的解析式。
4． 考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值，有关试题为解答题，如：
已知抛物线（a≠0）与x轴的两个交点的横坐标是－1、3，与y轴交点的纵坐标是－
（1） 确定抛物线的解析式；（2）用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.

5．考查代数与几何的综合能力，常见的作为专项压轴题。
【例题经典】
由抛物线的位置确定系数的符号
例1 （1）二次函数的图像如图1，则点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

（2）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图2所示，则下列结论：①a、b同号；②当x=1和x=3时，函数值相等；③4a+b=0；④当y=-2时，x的值只能取0.其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

(1) (2)
【点评】弄清抛物线的位置与系数a，b，c之间的关系，是解决问题的关键．
例2.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点(-2，O)、(x1，0)，且1<x1<2，与y轴的正半轴的交点在点(O，2)的下方．下列结论：①a<b<0；②2a+c>O；③4a+c<O；④2a-b+1>O，其中正确结论的个数为( )
A 1个 B. 2个 C. 3个 D．4个
答案：D
会用待定系数法求二次函数解析式
例3.已知：关于x的一元二次方程ax2+bx+c=3的一个根为x=-2，且二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=2，则抛物线的顶点坐标为( )
A(2，-3) B.(2，1) C(2，3) D．(3，2)
答案：C

例4、（2006年烟台市）如图（单位：m），等腰三角形ABC以2米/秒的速度沿直线L向正方形移动，直到AB与CD重合．设x秒时，三角形与正方形重叠部分的面积为ym2．
（1）写出y与x的关系式；
（2）当x=2，3.5时，y分别是多少？
（3）当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，
三角形移动了多长时间？求抛物线顶点坐标、
对称轴.
例5、已知抛物线y=x2+x-．
（1）用配方法求它的顶点坐标和对称轴．
（2）若该抛物线与x轴的两个交点为A、B，求线段AB的长．
【点评】本题（1）是对二次函数的“基本方法”的考查，第（2）问主要考查二次函数与一元二次方程的关系．
例6.已知：二次函数y=ax2-(b+1)x-3a的图象经过点P(4，10)，交x轴于，两点，交y轴负半轴于C点，且满足3AO=OB．
(1)求二次函数的解析式；(2)在二次函数的图象上是否存在点M，使锐角∠MCO>∠ACO?若存在，请你求出M点的横坐标的取值范围；若不存在，请你说明理由．

(1)解：如图∵抛物线交x轴于点A(x1，0)，B(x2，O)，
则x1·x2=3<0，又∵x1<x2，
∴x2>O，x1<O，∵30A=OB，∴x2=-3x1．
∴x1·x2=-3x12=-3．∴x12=1.
x1<0，∴x1=-1．∴．x2=3．
∴点A(-1，O)，P(4，10)代入解析式得解得a=2 b=3
∴．二次函数的解析式为y-2x2-4x-6．
(2)存在点M使∠MC0<∠ACO．
(2)解：点A关于y轴的对称点A’(1，O)，
∴直线A，C解析式为y=6x-6直线A'C与抛物线交点为(0，-6)，(5，24)．
∴符合题意的x的范围为-1<x<0或O<x<5．
当点M的横坐标满足-1<x<O或O<x<5时，∠MCO>∠ACO．
例7、 “已知函数的图象经过点A（c，－2），
求证：这个二次函数图象的对称轴是x=3。”题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字。
（1）根据已知和结论中现有的信息，你能否求出题中的二次函数解析式？若能，请写出求解过程，并画出二次函数图象；若不能，请说明理由。
（2）请你根据已有的信息，在原题中的矩形框中，填加一个适当的条件，把原题补充完整。
点评： 对于第（1）小题，要根据已知和结论中现有信息求出题中的二次函数解析式，就要把原来的结论“函数图象的对称轴是x=3”当作已知来用，再结合条件“图象经过点A（c，－2）”，就可以列出两个方程了，而解析式中只有两个未知数，所以能够求出题中的二次函数解析式。对于第（2）小题，只要给出的条件能够使求出的二次函数解析式是第（1）小题中的解析式就可以了。而从不同的角度考虑可以添加出不同的条件，可以考虑再给图象上的一个任意点的坐标，可以给出顶点的坐标或与坐标轴的一个交点的坐标等。
[解答] （1）根据的图象经过点A（c，－2），图象的对称轴是x=3，得
解得
所以所求二次函数解析式为图象如图所示。
（2）在解析式中令y=0，得，解得
所以可以填“抛物线与x轴的一个交点的坐标是（3+”或“抛物线与x轴的一个交点的坐标是
令x=3代入解析式，得
所以抛物线的顶点坐标为
所以也可以填抛物线的顶点坐标为等等。
函数主要关注：通过不同的途径（图象、解析式等）了解函数的具体特征；借助多种现实背景理解函数；将函数视为“变化过程中变量之间关系”的数学模型；渗透函数的思想；关注函数与相关知识的联系。

用二次函数解决最值问题
例1已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE（如图），其中AF=2，BF=1．试在AB上求一点P，使矩形PNDM有最大面积．

【评析】本题是一道代数几何综合题，把相似三角形与二次函数的知识有机的结合在一起，能很好考查学生的综合应用能力．同时，也给学生探索解题思路留下了思维空间．
例2 某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间的关系如下表：
x（元）
15
20
30
…
y（件）
25
20
10
…
若日销售量y是销售价x的一次函数．
（1）求出日销售量y（件）与销售价x（元）的函数关系式；
（2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？
【解析】（1）设此一次函数表达式为y=kx+b．则 解得k=-1，b=40，即一次函数表达式为y=-x+40．
（2）设每件产品的销售价应定为x元，所获销售利润为w元
w=（x-10）（40-x）=-x2+50x-400=-（x-25）2+225．
产品的销售价应定为25元，此时每日获得最大销售利润为225元．
【点评】解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似，也有区别，主要有两点：（1）设未知数在“当某某为何值时，什么最大（或最小、最省）”的设问中，“某某”要设为自变量，“什么”要设为函数；（2）问的求解依靠配方法或最值公式，而不是解方程．

例3.你知道吗?平时我们在跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线．如图所示，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4 m，距地面均为1m，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1m、2．5 m处．绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶．已知学生丙的身高是1．5 m，则学生丁的身高为(建立的平面直角坐标系如右图所示)
( )
A．1．5 m B．1．625 m　　　　　　
C．1．66 m D．1．67 m
分析：本题考查二次函数的应用
答案：B

二．二次函数部分
O
y
x

第1题图
1．如图所示是二次函数图象的一部分，图象过点（3，0），二次函数图象对称轴为，给出四个结论：
①；②；③；④a-b+c>0其中正确结论是（ ）
A．②④ B．①③ C．②③ D．①④

2．已知二次函数的图象与轴交于点、，且，与轴的正半轴的交点在的下方．下列结论：①；②；③；④；③4a+c<0其中的正确结论是

A
O
x
y
B
O
x
y
C
O
x
y
D
O
x
y
3．在同一直角坐标系中，函数y=mx+m和y=－mx2＋2x＋2（m是常数，且m≠0）的图象可能是（ ）

4.把抛物线向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（　　）
A． B．
C． D．
5．把抛物线y＝ax+bx+c的图象先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得的图象的解析式是y＝x－3x+5，则a+b+c=__________
6.图6（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m．如图6（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（　　）
图6（1） 图6（2）
A．
B．
C．
D．
第7题图
7、如图是抛物线的一部分，其对称轴
为直线＝1，若其与轴一交点为B（3，0），则
由图象可知，不等式＞0的解集是

8．根据下表中的二次函数的自变量与函数的对应值，可判断该二次函数的图象与轴（ ）．

…

…

…

…
A．只有一个交点 B．有两个交点，且它们分别在轴两侧
C．有两个交点，且它们均在轴同侧 D．无交点

9．如图，抛物线与轴的一个交点A在点（-2，0）和（-1，0）之间（包括这两点），顶点C是矩形DEFG上（包括边界和内部）的一个动点，则
(填“”或“”)；
的取值范围是

10（本小题满分6分）
如图二次函数的图象经过和两点，且交轴于点．
（1）试确定、的值；
（2）过点作轴交抛物线于点点为此抛物线的顶点，试确定的形状．
0
x
y
A
B
C

参考公式：顶点坐标

11如图，抛物线与x轴正半轴交于点A（3，0）.以OA为边在x轴上方作正方形OABC，延长CB交抛物线于点D，再以BD为边向上作正方形BDEF.
（1）求a的值.（2分）
（2）求点F的坐标.（5分）

12．（本题满分10分）
如图，在平面直角坐标系中，，且，点的坐标是．
（1）求点的坐标；
y
O
B
A
x
1
1

（2）求过点的抛物线的表达式；
（3）连接，在（2）中的抛物线上求出点，使得．

13．（本小题满分 10 分）
已知一元二次方程的一根为 2．
（1）求关于的关系式；
（2）求证：抛物线与轴恒有两个交点；

14．（10分）鞋子的“鞋码”和鞋长（cm）存在一种换算关系，下表是几组“鞋码”与鞋长换算的对应数值：［注：“鞋码”是表示鞋子大小的一种号码］
鞋长（cm）
16
19
21
24
鞋码（号）
22
28
32
38
（1）设鞋长为x，“鞋码”为y，试判断点（x，y）在你学过的哪种函数的图象上？
（2）求x、y之间的函数关系式；
（3）如果某人穿44号“鞋码”的鞋，那么他的鞋长是多少？

1
2
3

1
2
3

x
y
（第22题）
15．（满分8分）阅读材料，解答问题．
例 用图象法解一元二次不等式：．
解：设，则是的二次函数．
抛物线开口向上．
又当时，，解得．
由此得抛物线的大致图象如图所示．
观察函数图象可知：当或时，．
的解集是：或．
（1）观察图象，直接写出一元二次不等式：的解集是____________；
（2）仿照上例，用图象法解一元二次不等式：．（大致图象画在答题卡上）

以下是二次函数和相似结合的几道经典题：

16、（9分）如图11，抛物线与轴相交于A、B两点（点A在点B右侧），过点A的直线交抛物线于另一点C，点C的坐标为（-2，6）.
(1)求a的值及直线AC的函数关系式；
(2)P是线段AC上一动点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点M，交x轴于点N.
①求线段PM长度的最大值；
②在抛物线上是否存在这样的点M，使得△CMP与△APN相似？如果存在，请直接写出一个M的坐标（不必写解答过程）；如果不存在，请说明理由.

17.如图，二次函数的图象经过点D(0，)，且顶点C的横坐标为4，该图象在x 轴上截得的线段AB的长为6.
⑴求二次函数的解析式；
⑵在该抛物线的对称轴上找一点P，使PA+PD最小，求出点P的坐标；
⑶在抛物线上是否存在点Q，使△QAB与△ABC相似？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．

18．（本题满分10分）
如图，抛物线的顶点为A（2，1），且经过原点O，与x轴的另一个交点为B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上求点M，使△MOB的面积是△AOB面积的3倍；
（3）连结OA，AB，在x轴下方的抛物线上是否存在点N，使△OBN与△OAB相似？若存在，求出N点的坐标；若不存在，说明理由．
y
x
O
A
B

19．（本题满分10分）
如图，已知抛物线y＝x2＋bx＋c与坐标轴交于A、B、C三点， A点的坐标为（－1，0），过点C的直线y＝x－3与x轴交于点Q，点P是线段BC上的一个动点，过P作PH⊥OB于点H．若PB＝5t，且0＜t＜1．
（1）填空：点C的坐标是_▲_，b＝_▲_，c＝_▲_；
（2）求线段QH的长（用含t的式子表示）；
（3）依点P的变化，是否存在t的值，使以P、H、Q为顶点的三角形与△COQ相似？若存在，求出所有t的值；若不存在，说明理由．

20．(本题满分12分)
如图，已知二次函数 的图象与x轴的正半轴相交于点A、B，与y轴相交于点C，且．
(1)求c的值；
(2)若△ABC的面积为3，求该二次函数的解析式；
(3)设D是(2)中所确定的二次函数图象的顶点，试问在直线AC上是否存在一点P使△PBD的周长最小?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

21．（本小题满分15分）
如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为，，，将此三角板绕原点顺时针旋转，得到．
（1）如图，一抛物线经过点，求该抛物线解析式；
3
2
1
1
2

A
O

B
x
y
（2）设点是在第一象限内抛物线上一动点，求使四边形的面积达到最大时点的坐标及面积的最大值．

22．如图，已知直线与轴交于点A，与轴交于点D，抛物线与直线交于A、E两点，与轴交于B、C两点，且B点坐标为(1，0)。
⑴求该抛物线的解析式；

⑵动点P在轴上移动，当△PAE是直角三角形时，求点P的坐标P。
⑶在抛物线的对称轴上找一点M，使的值最大，求出点M的坐标

23． (本小题满分12分)
如图，已知抛物线交轴于A、B两点，交轴于点C，抛物线的对称轴交轴于点E，点B的坐标为（，0）．
（1）求抛物线的对称轴及点A的坐标；
（2）在平面直角坐标系中是否存在点P，与A、B、C三点构成一个平行四边形？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
O
D
B
C
A

E

（3）连结CA与抛物线的对称轴交于点D，在抛物线上是否存在点M，使得直线CM把四边形DEOC分成面积相等的两部分？若存在，请求出直线CM的解析式；若不存在，请说明理由．

24．(本题满分10分)
B
O
A
·
x
y

如图，抛物线的顶点为A，与y 轴交于点B．
（1）求点A、点B的坐标．
（2）若点P是x轴上任意一点，求证：．
（3）当最大时，求点P的坐标．

25．（13分）如图，等腰梯形花圃ABCD的底边AD靠墙，另三边用长为40米的铁栏杆围成，设该花圃的腰AB的长为x米.
(1)请求出底边BC的长（用含x的代数式表示）；
（2）若∠BAD=60°, 该花圃的面积为S米2.
①求S与x之间的函数关系式（要指出自变量x的取值范围），并求当S=时x的值；
②如果墙长为24米，试问S有最大值还是最小值？这个值是多少？

26．（本题满分10分）
如图，已知抛物线（）与轴的一个交点为，与y轴的负半轴交于点C，顶点为D．
（1）直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与轴的另一个交点A的坐标；
（2）以AD为直径的圆经过点C．
①求抛物线的解析式；
O
x
y
A
B
C
D

②点在抛物线的对称轴上，点在抛物线上，且以四点为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标．

27．（12分）如图，在平面直角坐标系中，将一块腰长为5的等腰直角三角板ABC放在第二象限，且斜靠在两坐标轴上，直角顶点C的坐标为（，0），点B在抛物线上．
（1）点A的坐标为 ，点B的坐标为 ；
（2）抛物线的关系式为 ；
（3）设（2）中抛物线的顶点为D，求△DBC的面积；

（4）将三角板ABC绕顶点A逆时针方向旋转90°，到达的位置．请判断点、是否在（2）中的抛物线上，并说明理由．

28.如图11，已知二次函数的图象与轴相交于两个不同的点、，与轴的交点为．设的外接圆的圆心为点．
（1）求与轴的另一个交点D的坐标；
（2）如果恰好为的直径，且的面积等于，求和的值．

29．如图，直线分别与x轴、y轴交于A、B两点；直线与AB交于点C，与过点A且平行于y轴的直线交于点D.点E从点A出发，以每秒1个单位的速度沿x轴向左运动.过点E作x轴的垂线，分别交直线AB、OD于P、Q两点，以PQ为边向右作正方形PQMN.设正方形PQMN与△ACD重叠部分（阴影部分）的面积为S（平方单位），点E的运动时间为t（秒）.
（1）求点C的坐标.（1分）
（2）当0<t<5时，求S与t之间的函数关系式.（4分）
（3）求（2）中S的最大值.（2分）
（4）当t>0时，直接写出点（4，）在正方形PQMN内部时t的取值范围.（3分）
【参考公式：二次函数y=ax2+bx+c图象的顶点坐标为（）.】

30．（本小题满分12分）
已知二次函数（）的图象经过点，，，直线（）与轴交于点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）在直线（）上有一点（点在第四象限），使得为顶点的三角形与以为顶点的三角形相似，求点坐标（用含的代数式表示）；
（3）在（2）成立的条件下，抛物线上是否存在一点，使得四边形为平行四边形？若存在，请求出的值及四边形的面积；若不存在，请说明理由．

y
x
O

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