《圆锥曲线中的定点与定值问题)教学设计.doc

课题名称：《圆锥曲线中的定点与定值问题》
教学内容分析
圆锥曲线在高考中占有重要的位置，也是高考命题的热点之一.由于圆锥曲线内容的丰富性，与其他章节知识交叉的综合性，决定了圆锥曲线在高考中地位的特殊性. 定点、定值问题与运动变化密切相关，这类问题常与函数，不等式，向量等其他章节知识综合，是学习圆锥曲线的一个难点，这就要求我们在圆锥曲线的复习中，要重视基础知识和方法的学习，理解和掌握圆锥曲线中的基本知识与方法，帮助学生自我构架圆锥曲线思维导图，实现对圆锥曲线的整体把握.
学情分析
在学习本节课以前，学生对圆锥曲线中的基础知识和基本方法有了一定的理解和掌握，学生具备一定的探究问题、分析问题和解决问题的能力，但对圆锥曲线中的定点和定值等综合问题的解决缺乏一个明确的“主线”，正确解答这类问题既要有较强的分析问题能力、几何直观能力还要有较强的运算能力，是对学生数学能力的综合体现，但这几方面学生都比较欠缺，这也是本节课需要对学生数学素养进行培育的重要着眼点.
教学目标
（1）掌握圆锥曲线中定点与定值问题的分析方法和解题策略；
（2）通过师生互动探究的过程，理解和掌握圆锥曲线中的基本知识与方法在处理定点和定值综合问题中的应用，帮助学生自我构架圆锥曲线思维导图，实现对圆锥曲线章节的整体把握；
（3）通过合作学习，让学生在团队协作中，自我探究，进一步让学生学会思考问题的方法，培养学生计算能力，严谨的推理能力和多角度思考问题的数学素养。
教学重点
掌握圆锥曲线中定点与定值问题的分析方法；参变量的选取原则
教学难点
对圆锥曲线基本知识与方法的综合运用；分析问题的能力和运算能力的突破
教学方法
启发式、讨论探究式.
教学过程设计
教学
环节
师生活动
设计意图
（一）
课
题
引
入

提问学生：前面我们主要学习了圆锥曲线的哪些内容？

这节课我们来利用这些知识和方法一起研究圆锥曲线中的一些综合问题.
通过提问，让学生总结归纳之前学习的圆锥曲线的基础知识和基本方法，为接下来的定点和定值问题的探究作铺垫.
（二）
范
例
讲
解
例1：已知椭圆，过点的直线与椭圆交于两点，点关于轴的对称点为，求证：直线横过一定点.

教师活动：让学生思考，小组讨论解决这一问题的策略.
分析：直线是变化的，本质是由于过点的直线的变化引起的，所以可以设过点的直线的斜率为参变量，将直线的方程用斜率加以表示，由于定点是与参变量的变化是无关的，然后通过代数变形，将参变量分离出来，令参变量的系数为零，即可求出定点.
解法1：设，，
则，联立，得

，
，代入上式，得
，
不妨设，上式化为

因为定点与的变化无关，所以，即
直线恒过点，
经检验，当直线的斜率为时，结论也成立
综上，直线横过定点
进一步提问：这个定点能否通过分析，提前确定下来呢？
解法2：
根据椭圆的对称性，再结合几何直观感受，猜想直线很可能过轴上一定点.
在直线方程中，令，得

将代入上式，
化简得
所以，直线横过定点
深入分析解题过程，与学生一起归纳定点问题的解决策略：
（1）找到变化的根源，探究这一变化是由哪些量的变化引起的；进而引进参变量，根据题意建立这些参变量与已知量之间的关系；要使参变量的变化对建立的关系没有影响，其系数或整个代数结构就应满足一定的条件，而恰恰是这些条件决定了我们要探究的定点，这是解决定点问题的基本思路。
（2）特殊到一般的思想
可以先通过特殊情况找到这个定点，明确解决问题的目标，然后就一般的情形进行推理计算证明.

例2：设点分别是双曲线的左顶点和右焦点,点是双曲线右支上的动点.问：是否存在常数,使得对于任意的动点恒成立？证明你的结论.
教师活动：引导学生类比例1的解题策略进行分析，大小的变化是由于动点在双曲线右支上移动导致的，若存在满足条件的常数，则其值与动点的变化无关，所以可以设点的坐标为参变量；进一步引导学生通过观察图形，可以把探究的倍数关系，转化为探究直线与直线斜率间的关系；
解：由题意知：,
（1）当直线与轴垂直时，易知，所以

（2）以下证明当直线与轴不垂直时，即可，设，，
直线的斜率；
直线的斜率，

而
又得代入上式，得

综上，存在常数,使得对于任意的动点恒成立.
回顾分析解题过程，归纳定值问题的解决策略：
与解决定点问题类似，首先寻找变化的根源，引入合适的参变量，建立参变量与其他已知量的关系；其次，把几何定值用引入的参变量表示；最后，利用代数恒等变形进行化简或消参变量，求得定值。可根据特殊情形，先确定定值，这对一般情形的推理指明了解决方向.
教师补充总结：定值问题的含义比较丰富：可以是一些几何量：线段长度，三角形面积，向量的数量积、线段的比例系数等，但都有有个共同特征，即：在变化过程中表现出来的不变量。

立足于学生现有认知水平，通过此中等难度的例题，与学生一起探究分析解决圆锥曲线中的定点问题的主线，并对解决策略和通性通法加以梳理，体会特殊到一般思想的运用，培养学生的逻辑推理和数学运算核心素养.
与学生一起板书解决例1，学生能够对例1的分析和解决有清楚的梳理.

通过对例1的探究，再分析此例可知，定值问题本质上与例1中的定点问题是类似的，即这两个问题都是寻求运动变化过程中的不变性，而这些不变性常常反映了数学对象的本质属性，通过类比思想，探究定值问题的解决策略.学生的难点在于把代数恒等式进行变形化简或消参
（三）
课
堂
练
习
1、（2017上海春考20改编）已知双曲线，过点的直线与双曲线交于两点，为关于轴的对称点，是否存在一个定点，使得直线总经过此定点？若存在，求出该定点的坐标，若不存在，请说明理由。

2、过抛物线上一点作倾斜角互补的两条直线，它们分别交抛物线于两点，求证：直线的斜率为定值.

通过前面两道例题的分析和策略总结，学生对解决圆锥曲线中的定点与定值问题有了整体把握，利用这两道题，当堂检验学生的课堂学习效果；并让学生在亲自的解题体验中感悟“解决圆锥曲线的定点定值问题关键在于寻找产生变化的本质原因”.通过与学生一起尝试找出突破圆锥曲线的定点定值问题之“难”的对策，从而实现对圆锥曲线内容的“整体把握”.
（四）
小
结
结合本节课所学内容，谈谈你的收获，与学生一起总结：
1、数学知识：
2、思想与方法：
特殊到一般、类比、化归、设参的原则

（五）
布
置
作
业
1、（2016格致三模22）
已知抛物线，过点与轴不垂直的直线与交于、两点。设关于轴的对称点为，求证：直线过定点。

2、（2017金山一模19） 已知椭圆C以原点为中心，左焦点的坐标是，长轴长是短轴长的倍，直线与椭圆C交于点与，且都在轴上方，满足
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）对于动直线，是否存在一个定点，无论如何变化，直线总经过此定点？若存在，求出该定点的坐标，若不存在，请说明理由。

x
y
3、（2017黄浦二模20）
设椭圆M:的左顶点为、中心为，若椭圆M过点，且．
（1）求椭圆M的方程；
（2）若△APQ的顶点Q也在椭圆M上，试求△APQ面积的最大值；
（3）过点作两条斜率分别为的直线交椭圆M于两点，且，求证：直线恒过一个定点．

4、（2017虹口一模20） 椭圆（）过点，且右焦点为，过的直线与椭圆相交于、两点，设点，记、的斜率分别为和；
（1）求椭圆的方程；
（2）探讨是否为定值？如果是，求出该定值，如果不是，求出的取值范围；

5、（2017奉贤一模20）过双曲线的右支上的一点作一直线与两渐近线交于、两点，其中是的中点. 求证：是一个定值．

6、 （2017青浦一模19）如图，、分别是椭圆（）的左、右焦点，且焦距为，动弦平行于轴，且；
（1）求椭圆的方程；
（2）若点是椭圆上异于点、的任意一点，且直线、分别与轴交于点、，若、的斜率分别为、，求证：是定值；

这六道作业题分别选自上海各区模拟考，有很强的代表性，一方面，让学生练习课上分析问题的思路和计算能力，另一方面，通过这些题目的选取，让学生感受圆锥曲线中的这类问题在高考中的重要地位，并对学生的数据分析，直观想象，数学运算，逻辑推理的数学素养的培养大有裨益.
板书设计
《圆锥曲线中的定点与定值问题》
一、 复习归纳

二、 例题讲解
例1

例2

三、 策略总结

四、小结

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