优质课:任意角的三角函数教学设计.doc
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任意角的三角函数教学设计 福建师大附中 张春晓 一、教学内容解析 三角函数是描述客观世界中周期性变化规律的重要数学模型,在其它学科领域也有着广泛的应用.任意角的三角函数是函数的下位概念,它建立在《数学1》中函数概念的基础上,是对锐角三角函数概念的扩张. 引入锐角三角函数的概念,目的是为了研究三角形中的边角关系,定义侧重于从几何的角度,在直角三角形中得到角与边的比值之间的确定关系.而引入任意角三角函数的概念,是为了研究周期变化现象,定义侧重于从代数的角度,以单位圆为工具,得到角和其终边与单位圆交点坐标的确定关系.在弧度制下,是数集到数集的映射. 本节课是在学习完“任意角和弧度制”后的第一节新授课,教材中对任意角的三角函数的定义有两种——单位圆定义法和终边定义法.从研究任意角的三角函数作用看,单位圆定义法显得更为简单直观,为后续研究三角函数性质埋下伏笔;从数学史发展看,单位圆定义法对描述周期性变化规律模型起到推动作用.因此,本教学设计从学生已有的反映周期现象变化的日常经验出发,以数学实际应用为线索,完成任意角的三角函数的建构过程. 二、教学目标 知识与技能:理解任意角三角函数的定义,树立映射观点,正确理解三角函数是以实数为自变量的函数. 过程与方法:经历单位圆定义法,培养合情猜测的能力,体会函数模型的作用. 情感、态度与价值观:通过学生积极参与知识“发现”与“形成”的过程,加深对数学概念本质的理解,感悟数学概念的严谨性与科学性. 重点: 任意角三角函数的定义. 难点:任意角三角函数概念的建构过程. 三、教学流程 1.复习 通过对任意角的概念的学习,你认为它与初中角的概念有什么区别? 设计意图 对任意角概念的理解是学习本节课的基础. 2.创设情境、引出主题 问题:已知摩天轮的中心离地面的高度为,它的直径为,逆时针方向做匀速转动,转动一周需要 秒,若现在你坐在座舱中,从初始位置点出发,求相对于地面的高度与时间的函数关系式. 师:让我们一起分析一下,在整个运动过程中,高度是怎样变化的? 师生:开始高度先渐渐增高至最高点,再渐渐降低至最低点,再渐渐升高, 最后回到初始位置;第二周,第三周,…,周而复始,呈现周期现象. 设计意图 以解决实际问题为背景,引入任意角三角函数概念,突出研究问题 的“周期性”特点. 师:我们该用怎样的函数模型来刻画这种运动呢? 让我们先从特殊情形入手.例如,过了20s后,人距离地面的高度是多少? 生:. 师:你能对这个式子做一解释吗? 生:表示水平位置距离地面的高度,表示距离水平位置的高度,即. 师:如果过了s呢?对上面式子做怎样修改? 师生:将换成,即:.一般地,过了秒呢?猜想: 师:这样猜想合情,但合理吗?随着摩天轮的转动,从最初的锐角被推广到了任意角.对任意角, 该如何定义呢?这就是这节课我们要学习的内容,任意角的三角函数. 设计意图 为引出任意角的三角函数做准备,按照从特殊到一般地策略来探究,让学生感受到接下来学习 新知识的必要性. 3.概念生成 师:当在水平但位置上方时,;当在水平位置下方时,,即: 与相比较,要想两者和谐统一,必须有:,即:. 师生小结:当点在圆周上运动时,随之变化,任一个,对应着唯一点,进而有唯一 ,得到:. 师:不过这样表述时,还是不够简洁,何时取正值,何时取负值?能否用一个量去代替, 使上述表示形式更简单?它的绝对值与的长度相等,符号在上方表示正的,下方表示负的. 生:引入直角坐标系,用点的纵坐标来替代或. 设计意图 让学生感受到任意角三角函数定义中,坐标系的引入是自然的,有必要的. 师:接下来,我们把角放在平面直角坐标系中,以原点为圆心,半径为做圆,与角的终边交于点, 假设点坐标为,利用我们刚才对上述问题的分析,这里,. 师:当是锐角时,此规定与初中规定是否吻合? 生:吻合,利用初中对锐角三角函数定义,,即,即. 师:三角函数只有这一个吗? 生:还有余弦,正切. 师:你能仿照正弦给出它们的类似定义吗? 生:, 师:从高中函数定义来看,他们是真正意义上的函数吗? 生:是的,任意给定角,其终边唯一确定,终边与圆的交点就唯一确定,比值随之唯一确定. 师:比值会随着点在终边上的变化而变化吗? 生:不会,由相似三角形知识,比值是唯一确定的. 师:很好,任意给定唯一确定比值.那如果是任意角呢,我们不妨 假设此时终边落在第二象限,终边与圆的交点仍然是,坐标为, 显然,我们已经不能把放在一个锐角三角形内,但是我们同样可以发现,当给定后,终边唯一确定, 其与圆的交点唯一确定,仍然符合函数的定义. 师:这种比值形式能进一步简化吗? 生:另,则,, 师:此时点具有什么特点? 生:点即是角终边与单位圆的交点. 师:它们是函数吗? 生:是的,当给定时,点即定,函数值唯一确定. 师:既然是函数,则有三要素,它们的定义域是什么? 生:,的定义域均为,的定义域是 师:很好,我们就把上面这三个函数称为任意角的三角函数.其实,我们可以发现,任意角的三角函数是 以角作为自变量,以坐标或者坐标的比值为函数值的函数,即从角的集合到实数集的一种对应关系. 设计意图 这里采用概念同化的学习方式,让学生理解定义的合理性,理解概念的背景和生成过程. 4.概念运用 例1.(口算)求下列三角函数值: (1); (2); (3). 变式:若已知,你能写出的一个角吗? 例2.角的终边经过点,求它的三角函数值. 设计意图 让学生熟悉定义,从中概括出用定义解题的步骤.. 例3.设且,确定是第几象限的角. 设计意图 通过定义的应用,让学生了解三种定义域及函数值在各象限的符号的变化规律,并从中进一步理解三角函数的概念,体会数形结合的思想. 例4.不求值,判断下列三角函数值的符号. (1) ; (2) ; (3). 设计意图 引出公式一,,,突出函数周期变化的特点,以及数形结合的思想. 5.探究发现 在如图所示的单位圆中,角的顶点在原点,始边与轴的非负半轴重合,终边为,则有向线段 分别称为角的正弦线,余弦线,正切线,余切线,正割线和余割线.图中的 正弦线,余弦线均为圆上的弦的一段.如是圆的弦上的一段,是圆的弦 上的一段.图中正切线,余切线均为圆上的切线段.图中正割线,余割线均为圆上的割 线段.你能否据此给出三角函数名称的一种几何解释,并说明理由? 设计意图 针对学生素质差异,设计有层次的思考题,留给学生课后自主探究, 也为即将介绍“三角函数线”埋下伏笔. 6.小结反思 通过本节课的学习,谈谈你对三角函数有哪些新的认识?在认知过程中有哪些体会? 设计意图 让学生回顾所学内容,体会任意角三角函数是刻画圆周运动的重要数学模型,它实质上就是以 角为自变量,以角的终边与单位圆交点坐标或坐标比为函数值的函数.体会数形结合、化归等思想方法的 应用. 4- 配套讲稿:
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