分数的认识俞正强公开课教案教学设计课件案例试卷.docx

在小学数学里，每每在小学毕业考试中，都会出现如下试题：
1.比2米多是（  ）米。
2.比2米多米是（  ）米。
这组题目，每次都会有人错，学生很难掌握，数学教师最后就不会再给学生分析道理，而直接抛出一个秘诀：
后面没有米，就乘或除；
后面有米，就加或减。
如此简单的秘诀能解决问题吗？肯定不能。
这组题目之难，反映了用分数来表示量的多少与关系的紧密水平之间的混淆，即量与分率的混淆。这种混淆，一直在困扰小学数学教师们。那么，解决这个问题的良方何在？笔者认为，其不在分数问题解决，而在于“分数认识”这一环节上。

一．回顾，我们怎么教认识分数的

关于分数的认识，教材中通常会呈现如下材料：
1.把两个饼平均分成两份，每份是1个，每份占全部的二分之一，写作；
2.把一个饼平均分成两份，每份是个，每份占全部的。
在此基础上，我们得出以下结论：
把一个单位平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫分数。

现在我们来具体分析一下：
每份个，这个是量；
每份占全部的，这个是分率。
分率和量就这样直接呈现在学生面前，三年级的学生能体会两个的不同吗？显然不能，分率和量一开始就混淆在一起，一“纠缠”又要分开，理解起来十分困难。

在生活中会有这样的经历：
我初入某单位时，发现张某与王某十分相像，我把这种感觉告诉某单位的他人时，他人皆觉十分不解，认为张某与王某差别很大，怎会相像呢？后来我在某单位待一段时间后，方觉张某与王某殊无相像之处。
这种体验，是否可以得出一个结论：混淆，源于陌生。

我们再来讨论一下关于双胞胎的经历：
双胞胎姐妹，如果我们第一次同时见到姐妹俩，会觉得她们简直一个样，怎么都无法区分，于是一直混淆着。
但是，如果我们只与姐妹俩中的任何一个先认识，并成为闺蜜，若干年后，这个闺蜜说她有个双胞胎姐妹，同卵的，十分相像。再一见面，我们会发现两个人没有那么像，很容易分辨。

这是否可以告诉我们这样一个道理：
两个容易混淆的对象，先深刻认识其中一个后，再认识另一个，是解决混淆问题的好方法。
我们用这个道理来观察分数的认识，是否可以得出这样一个结论：
关于量与分率的混淆，可能在于我们对分数完全陌生时的同时呈现。

如果这种认识成立，那么，解决之道是让学生先深刻地经历关于量的分数的认识，谂熟之后，再经历关于分率的分数的认识，在此基础上比较两个认识的差别，以此解决量与分率的混淆问题。

二．讨论，可以这样化解学生的混淆

第一节课：分割者，作为“量”的分数认识

教学准备：饼的模型

教学流程：

【环节1】
任务一：说一说拿出了几个饼？
教师拿出，学生说两个，板书：两个；
教师拿出，学生说一个，板书：一个；
教师拿出，学生说半个，板书：半个；
教师拿出,学生说小半个，板书：小半个。
（说明：这一环节是在常识层面进行的，没有任何障碍，都是学生已有的“明白”，是经验，是我们数学学习的基础。学生在一年级时就能体会一半和半个的区别，到六年级却混淆在与个之间，实在是我们不会教书的结果。）

任务二：用数字来表示饼的个数。
两个  用2表示
一个  用1表示
问：半个  用？表示
生：0.5。
追问：小半个……用？表示
生：用0.4，0.3，遇到表示的困难了。
（说明：生活语言与数学语言是有差别的，生活中有半个、小半个、小小半个，都没问题。用数学语言来表示半个、小半个、小小半个的时候，就遇到难题了，因为数学语言要求精确，生活语言可以模糊。
在以上表示的过程中，呈现了分数产生的必要性，即整数无法表示时开始讨论分数。
分数产生的必要性不在度量，这也是教材中没有想明白的地方。在度量中，当有零头的时候，我们是用分米来解决的，如果还有零头，我们就用厘米来解决。因此，分数产生的必要性不在度量，而在数的表示。
世界上的物，凡整的物的数量，我们会用整数来表示，非整的物的数量，我们会用分数来表示。）

  核心环节：怎么表示不足“1”的量？

【环节2】
任务一：半个，小半个用哪个数来表示？
问题：以饼为例，半个是怎么得到的？
结论：把一个饼平均分成两块，每块是半个。

任务二：用数学的方法来记录半个是怎么得到的。
文字记录：把一个饼平均分成两块，每块是半个。
数学记录：平均分成→表示为“—”
      两块  →表示为“2”
      每块  →表示为“1”
      合起来为，读作二分之一。
讨论：喜欢文字记录，还是数学记录？
结论：喜欢数学记录，因为文字记录要写17个字，数学记录只要3个符号。
（说明：分数本质上是用整数来记录得到半个的过程，是一种比文字记录更便捷的数学记录。）

任务三：在数学中，小半个会表示成一个怎样的数呢？
讨论：解决这个问题的关键是要知道小半个是怎么来的。
（说明：一旦学生说出这句话的时候，说明学生已经真正明白了。）
问题：小半个怎么来的呢？
生：把半个饼再切去一块，一块是小半块。
生：把一个饼平均分成三块，一块是小半块。

问题：谁能用数学方法来记录小半块怎么来的？
生：，平均分→—
          三块 →3
          一块 →1
读作三分之一。

【环节3】讨论，用分数来表示饼大小的规律
材料：

问题：用分数来表示饼的大小的关键是什么？有什么窍门吗？
结论：关键在于知道饼是怎么得到的，具体而言，包括三个关键点。
1. 是平均分的，用分数线表示；
2.  一共分成多少份，用数字来表示，写在分数线下面，叫分母；
3.  拿到多少份，用数字来表示，写在分数线上面，叫分子；得到一个分数，读作几分之一。
（说明：什么叫分数，什么叫分母，什么叫分子，是自然而然明白的，不需要去读、去背。在这个分数的认识过程中，分数用于记录饼的大小，分数的大小是由饼的大小支撑的，分数的大小比较，分数的加减运算，都可以基于饼的大小而清晰开展起来。

在这节课中，分数一直作为量的表示而存在，没有出现率的表示，这样做的目的，是让学生充分认识到分数的量的表示，如同一个锚，抓住海底，锚定不移。）

 孩子们说这堂课好玩，还提了建议，让俞特进步。

第二节课：比较者，作为“分率”的分数认识

倍，是反映两个量之间进行比较结果的一个概念，因此，用分数来表示比较结果的时候，可以倍为认识基础引入学习。

【环节1】：认识表示两个量之间关系的分数。
材料：     
知识：五角星的个数是圆圈的2倍。
常识：圆圈的个数是五角星的一半。
知识：圆圈的个数是五角星的。
认识：把五角星的个数平均分成两份，圆圈的个数相当于其中的1份。
问题：如果把五角星的个数平均分成三份，圆圈的个数相当于其中的1份，那么，圆圈的个数是五角星的几分之几？
结论：圆圈的个数是五角星的。
操作：你能用老师提供的五角星与圆圈摆出几种关系的状态？
状态一：                     
状态二： 
状态三： 

结论：操作的关键就是保证五角星的个数是圆圈个数的3倍，那么，圆圈个数便一定是五角星个数的三分之一。
（说明：此环节依托学生关于倍的认识与分数的初步认识，难度不大。）

【环节2】：认识表示部总之间关系的分数。
材料：
圆圈的个数是五角星的

改善材料：（分别变成红、黄、蓝三种颜色）

圆圈的个数是五角星的

继续改善材料： 
       是    五角星的

问题：在这组材料中，存在的关系吗？
结论：红星是全部五角星的；黄星是全部五角星的；蓝星是全部五角星的。
（说明：二年级学生在认识倍的时候，多数是从两个量来比较的，此环节是将两个量之间的比较引到部总之间的比较。）

【环节三】：练习（略）。

第三节课：辨析，分数的认识

作为量的分数认识与作为分率的分数认识两节课并非相连，其间可能相差一年。
作为量的分数认识后，学生比较分数的大小是十分确定的，而认识了作为分率的分数后，分数的大小比较就会带来干扰。
作为量的分数认识和作为分率的分数认识都分别完成之后，需要一节课将两种认识放在一起，形成一个清晰而完整的认识，便是这节课的意义。
【环节1】：说说你对下面材料中的不同理解。

问题1：左边的和右边的有什么不同？
问题2：从黑板上的这份材料中，你有什么认识与大家分享吗？
结论1：左边的表示一块饼的大小，右边的表示部分与整体之间的关系。
结论2：左边的已经是饼了，右边的还不是饼。如果要把这个变成饼的话，分别是1、2、3、4个饼。
（说明：通过这一环节，让学生充分体会到分数的两种表示功能，即表示量的大小与关系的水平。）

【环节2】：练习。区别分数在表示量还是表示关系？
①  小方跑了km
②  小方跑了全程的
③  谁跑得多？
结论：作为一个量km可以是0.8km，也可以是800m。
     全程的是表示还欠没跑。
     谁跑得多，尚不能确定。
（说明：这样的训练与思考，学生基本上在将来的分数解决问题中不会再混淆了，对分数的认识也达到了真正而完整的理解。）

三.结语

三节课中，前两节是两个锚，分别抓住锚地，第三节是对两个锚的观察与比较，从而形成完整的认识。
如果两个锚不能紧紧抓住锚地，锚绳便会缠绕在一起，教学将变得十分辛苦。
因此，我们纠结于学生的学习时，不要在末端烦恼，而要回到前面去，分数的正确认识才是分数问题得以解决的根本所在。

【视频回放（请在wifi下观看，土豪随意）】
“分数认识”第一节课（课后自述与访谈尤其精彩）

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