高中文科数学平面向量知识点整理.doc

高中文科数学平面向量知识点整理
1、 概念
向量：既有大小，又有方向的量． 数量：只有大小，没有方向的量．
有向线段的三要素：起点、方向、长度． 单位向量：长度等于个单位的向量．
平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行．
相等向量：长度相等且方向相同的向量．
相反向量：a=-bb=-aa+b=0
向量表示：几何表示法；字母a表示；坐标表示：a＝ｘｉ＋ｙj＝（ｘ，ｙ）.向量的模：设，则有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作：.
（ 。）

零向量：长度为的向量。a＝O｜a｜＝O.

【例题】1.下列命题：（1）若，则。（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。（3）若，则是平行四边形。（4）若是平行四边形，则。（5）若，则。（6）若，则。其中正确的是_______
（答：（4）（5））
2.已知均为单位向量，它们的夹角为，那么＝_____
（答：）；

2、向量加法运算：
⑴三角形法则的特点：首尾相连．

⑵平行四边形法则的特点：共起点．

⑶三角形不等式：．
⑷运算性质：①交换律：；②结合律：；
③．
⑸坐标运算：设，，则．
3、向量减法运算：
⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．
⑵坐标运算：设，，则．
设、两点的坐标分别为，，则．

【例题】
（1）①___；②____；
③_____ （答：①；②；③）；

（2）若正方形的边长为1，，则＝_____
（答：）；

（3）已知作用在点的三个力，则合力的终点坐标是
（答：（9,1））

4、向量数乘运算：
⑴实数与向量的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作．
①；
②当时，的方向与的方向相同；
当时，的方向与的方向相反；当时，．
⑵运算律：①；②；③．
⑶坐标运算：设，则．

【例题】（1）若M（-3，-2），N（6，-1），且，则点P的坐标为_______
（答：）；
5、向量共线定理：向量与共线，当且仅当有唯一一个实数，使．设，，（）。

【例题】 (1)若向量，当＝_____时与共线且方向相同
（答：2）；
（2）已知，，，且，则x＝______
（答：4）；
6、向量垂直：.

【例题】(1)已知，若，则
（答：）；
（2）以原点O和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB，，则点B的坐标是________
（答：(1,3)或（3，－1））；
（3）已知向量，且，则的坐标是________
（答：）

7、平面向量的数量积：
⑴．零向量与任一向量的数量积为．
⑵性质：设和都是非零向量，则①．②当与同向时，；当与反向时，；或．③．
⑶运算律：①；②；③．
⑷坐标运算：设两个非零向量，，则．
若，则，或．
设，，则a⊥ba·b＝0x1x2＋y1y2＝0.
则a∥ba＝λb(b≠0)x1y2＝ x2y1.

设、都是非零向量，，，是与的夹角，则；（注）
【例题】
（1）△ABC中，，，，则_________
（答：－9）；
（2）已知，与的夹角为，则等于____ （答：1）；
（3）已知，则等于____ （答：）；
（4）已知是两个非零向量，且，则的夹角为____
（答：）
（5）已知，，如果与的夹角为锐角，则的取值范围是______ （答：或且）；
（6）已知向量＝（sinx，cosx）, ＝（sinx，sinx）, ＝（－1，0）。（1）若x＝，求向量、的夹角； （答：150°）；

8、在上的投影：即，它是一个实数，但不一定大于0。
【例题】已知，，且，则向量在向量上的投影为______ （答：)

平面向量高考经典试题
一、选择题
1．已知向量，，则与
A．垂直 B．不垂直也不平行 C．平行且同向 D．平行且反向

2、已知向量，若与垂直，则（ ）
A． B． C． D．4

3、若向量满足，的夹角为60°，则=______；

4、在中，已知是边上一点，若，则（ ）
A． B． C． D．

5、 若O、E、F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是 （ ）
　 A．　　　　　 B. 　
C. 　 D.
6、已知平面向量，则向量（　　）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．

二、填空题
1、已知向量．若向量，则实数的值是 ．

2、若向量的夹角为，，则 ．
3、在平面直角坐标系中，正方形的对角线的两端点分别为，，则 ．

三、解答题：
1、已知ΔABC三个顶点的直角坐标分别为A(3，4)、B(0，0)、C(，0)．
(1)若，求的值；
(2)若，求sin∠A的值

2、在中，角的对边分别为．
（1）求；
（2）若，且，求．

3、在中，分别是三个内角的对边．若，，求的面积．

4、设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，．
（Ⅰ）求B的大小；
（Ⅱ）若，，求b．

5、在中，，．
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）若最大边的边长为，求最小边的边长．

答案
选择题
1、A. 已知向量，，，则与垂直。
2、C ，由与垂直可得：
， 。
3、 解析：，
4、A 在∆ABC中，已知D是AB边上一点，若=2，=，则
=，∴ l=。
5、B 由向量的减法知
6、D

填空题
1、解析：已知向量．量，，则2+λ+4+λ=0，实数=－3．

2、【解析】。
3、解析：

解答题
1、解: (1)
由 得
(2)

2、解：（1）
又 解得．
，是锐角． ．
（2）， ， ．
又 ． ．
． ．

3、解： 由题意，得为锐角，，
，
由正弦定理得 ， ．

4、解：（Ⅰ）由，根据正弦定理得，所以，
由为锐角三角形得．
（Ⅱ）根据余弦定理，得．
所以，．

5、本小题主要考查两角和差公式，用同角三角函数关系等解斜三角形的基本知识以及推理和运算能力，满分12分．
解：（Ⅰ），．
又，．
（Ⅱ），边最大，即．
又，角最小，边为最小边．
由且，
得．由得：．
所以，最小边．

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