正方形和圆之间部分的面积(教学设计).doc

正方形和圆之间部分的面积
小榄镇永宁中心小学 黎艳眉
一、创设情境，导入新课。
1、前两天，我们学习了圆和圆环的面积计算，谁来说说它们的面积计算公式？
2、课件出示生活中类似外圆内方和外方内圆形状的物体。
生活中我们不但能看到许多圆形的物体，圆环这样的设计，还有很多是由圆和其他图形组成的，我们来看看这些数学影子，欣赏欣赏图形的美，感受生活处处有数学。
中国建筑中经常能见到“外方内圆”和“外圆内方”的设计。这两种图形我们在生活中经常会看到，十分美观，给人舒服、大气之感。
3、设计图中两个圆的半径都是一米，你能求出正方形和圆之间部分的面积吗？这节课我们就来探索这类问题的解决方法。
板书：正方形和圆之间部分的面积
二、探究新知识
1、多媒体出示“外方内圆”的几何图形。
（1）引导学生观察图形间的异同、联系、思考计算图中阴影部分面积的方法。
从题目中你了解到哪些数学信息？要解决什么问题？
我把这幅设计的简图画下来，观察这两幅图，你发现它们有什么特点？有什么联系和区别？
（如：都是由正方形和圆形组成的，正方形和圆形的位置不同，左图是一个正方形中有一个最大的圆，右图中是一个圆中有一个最大的正方形，求正方形和圆之间部分的面积，左图求的是正方形比圆多的面积，右图中求的是圆比正方形多的面积。左面正方形的边长等于圆的直径，右面正方形的对角线的长等于圆的直径。）
板书：外方内圆 、外圆内方
板书：阴影部分的面积=正方形的面积－圆的面积。
板书：阴影部分的面积=圆的面积－正方形的面积。
（2）先让学生独立思考，再与同桌交流自己的想法。
知道了求阴影部分面积的解题思路，让我们先来解决左边“外方内圆”的阴影部分面积吧。你能先在练习本上试试计算吗？写完后，跟同桌说说你的想法。
正方形和圆的面积都可以通过公式计算求得。
S圆：3.14×1²=3.14㎡
通过观察：正方形的边长等于圆的直径，即2m。
S正：2×2=4㎡
所以，S正－S圆：4-3.14=0.86㎡
板书：S圆：3.14×1²=3.14㎡
S正：2×2=4㎡
S正－S圆：4-3.14=0.86㎡

小结：同学们通过图形间的联系，自主找到了解决问题的办法，真了不起。
2、多媒体出示“外圆内方”的几何图形
（1）接下来，让我们尝试用“外方内圆”图形面积的计算，来求“外圆内方”图形的面积。
S圆=3.14×1²=3.14㎡
（2）求正方形的面积，遇到什么困难了吗？不知道正方形的边长，不能直接求。有没有其他方法可以求出正方形的面积呢？在数学学习过程中，我们常用 到“转化”的数学思想，没有学过的图形转化成学过的，把复杂的转化成简单的，正方形的边长不好求，正方形的面积不能直接求 ，那我们是否可以把它转化成其它学过的图形来求它的面积呢？四人小组讨论。拿铅笔来画一画，试一试，看是否能找到解决问题的方法。
引导学生思考：能与正方形发生联系的只有圆的直径或半径，而直径恰好是正方形的对角线，虽然仍然不能求出正方形的边长，但可以把正方形的面积转化为两个三角形的面积之和。这种添加辅助线的方法有时不能一下子就能找到，因此需要我们认真观察图形，找到图形之间的联系，利用问题中的可用信息“顺藤摸瓜”。把图形中的正方形看成两个三角形，则两个三角形的面积和就是正方形的面积。三角形的底和高分别是？三角形的底是圆的直径，三角形的高是圆的半径。三角形的面积怎么求？S三=½ah
板书：转化
（3）让学生根据提示先独立计算出正方形的面积
指名学生回答，老师板书。
S正=（½×2×1）×2=2（㎡）
所以，阴影部分面积为
S圆-S正=3.14-2=1.14（㎡）
小结：应用“转化”的数学思想，添加辅助线，分析理解，又为我们提供了解决问题的新途径。解决图形题，多动笔画画，你会有不一样的收获哦！

3、探讨一般化的结论，总结出解决这类问题的方法。
如果两个圆的半径都是r，那么阴影部分的面积怎么用含有r的式子表示？请试试把它写出来。
小结规律及方法：
外方内圆：（2r）²-3.14×r²=0.86r²
外圆内方：3.14×r²-（½×2r×r）×2=1.14r²
那么我们解答得对不对呢？有什么方法验证吗？
当r =1m时，和前面的结果完全一致。说明我们的结论是正确的。
小结：不管圆的大小如何改变，外切正方形与圆之间的面积都是半径平方的0.86倍，而内接正方形与圆之间的面积都是半径平方的1.14倍，对于同一个圆而言，两个正方形之间的面积是半径平方的2倍。

三、巩固练习
1、完成教材“做一做”的练习题
右图是一面我国唐代外圆内方的铜镜。铜镜的直径是24cm，外面的圆与内部的正方形之间的面积是多少？
出示两种思路，让学生优化做法。
2、右图中的铜钱直径28mm，中间的正方形边长为6mm。这个铜钱的面积是多少？
为什么不能直接用1.14r2来计算呢？对，正方形内画最大的圆，和圆内画最大的正方形才直接用这两个结论来计算。所以这题我们要用方法一：先算出圆的面积是……再算出正方形的面积是……用圆的面积减正方形的面积就得到铜钱的面积。
3、街心花园进行美化改造，打算在半径5米的圆形草坪中间修一个最大的正方形花坛。改造后草坪的面积还剩多少平方米？
先画示意图，再独立思考解决。
四、总结延伸
通过这节课的学习，你有什么收获？
1、（1）在正方形内画一个最大的圆，这个圆的( )等于正方形的（ ）。如果圆的半径为r，那么正方形和圆之间部分的面积为（ ）。
（2）在圆内画一个最大的正方形，这个正方形的( )等于圆的（ ）。如果圆的半径为r，那么圆和正方形之间部分的面积为（ ）。
2、借助示意图理解题意，把数量关系和图形结合起来分析问题和解决问题，这就是我们数学学习过程中蕴含着的“数形结合”思想，在解决图形问题中，我们还常用到“添加辅助线”的方法，寻求图形间的内在联系，并应用“转化”等数学思想，让解题过程得心应手，事半功倍！