方程的根与函数的零点+教学设计.doc

教学基本信息
课题
方程的根与函数的零点
是否属于
地方课程或校本课程
否
学科
数学
学段： 高中
年级
高一
相关
领域
方程、函数
教材
书名：普通高中课程标准实验教科书 数学 必修1 （A版）
出版社：人民教育出版社 出版日期：2007年1月 第2版

指导思想与理论依据
1．布鲁纳的认知—发现学习理论的基本观点
学习的实质是主动形成认知结构.布鲁纳认为学习是一个积极主动的认识过程，学习者不是被动地接受知识，而是主动地获取知识，并通过把新获得的知识和已有的认知结构联系起来，积极地建构其知识体系.

2．遵循数学课程标准
坚持以教师为主导，以学生为主体，倡导自主探索、合作交流等学习方式，采取符合学生认知特点的多样的学习方法，通过教学过程的实施，帮助学生真正理解和掌握基本的数学知识和技能、数学思想和方法，促进学生学会用数学的思考方式解决问题、认识世界．课程标准中还提到要注重数学不同分支和不同内容之间的联系，通过类比、联想、知识的迁移和应用等方式，使学生体会知识之间的联系，感受数学的整体性，进一步理解数学的本质，提高解决问题的能力．
教学背景分析
教学内容：
本节课是必修1第三章《函数的应用》的第一课时，主要内容是学习函数零点的概念，发现函数与方程的联系，探究零点存在性定理并进行应用，为下一节《用二分法求方程的近似解》做准备，二分法的学习是从可求部分方程的精确解扩充至可求任意方程满足任何精确度的解，学习过程中借助了现代信息技术与数学课程的整合，渗透了算法思想，体现了数学的应用价值，可谓是高中数学学习中的一座里程碑.
零点可以看作是函数概念的一个子概念，是函数概念外延的一次扩充．它从不同的角度,将数与形,函数与方程有机的联系在一起．
从零点本身看，它为方程与函数提供了链接点，揭示了两者之间的本质联系．
从与函数相关的知识网络看，函数的零点是对函数概念的延续和拓展．
从高中数学学习看，用函数的观点解方程问题，是将局部放在整体中研究，将“静态”的结果放在“动态”的过程中研究，将确定的方程的根通过一种不确定的解来逼近，用联系的观点看待数学对象．
本节课是在学习了基本初等函数的基础上，通过对函数与方程的探究，对函数的应用进行进一步的认识，解决方程根的存在性问题，也为今后进一步学习函数与其它知识的联系奠定了基础．

学生情况：
知识基础：
在初中阶段，学生已经熟练掌握一元一次、一元二次方程的求解方法，掌握了一次函数、二次函数图象并且初步认识到方程与函数的联系 (如:可将求二次函数与x轴交点问题转化为求一元二次方程的根的问题)．在高中阶段，学生已经学习了函数概念，掌握了部分基本初等函数的图象与性质及其简单应用．
能力基础:
通过前面的学习，学生已经具备一定的看图识图能力，可将图象中的部分信息进行代数表示，这为本节课利用函数图象，推导零点存在性定理提供了一定的能力基础．
情感基础:
方程是初中数学的重要内容，但是以现有知识可解出的方程种类有限，而利用函数知识解决方程的实数解的存在性问题，进而可求方程的近似解，学生是存在内在动机的，因此学生具备了学习本节课的情感基础．
可能遇到的困难:
1.学生在高一学习函数时，在认识函数在高中数学学习中的核心地位,建立起函数与其他知识的联系上存在困难；
2.在解决函数问题时应用方程知识学生比较熟悉，而利用函数知识解决方程问题学生比较陌生；
3.由于函数的连续性，简单逻辑用语等知识还未学习，学生在借助函数图象发现零点存在性定理并进行准确表述时会遇到困难.
我任教的班级为高一年级平行班，学生思维相对活跃，但是思维的严谨性、深刻性有待进一步深化．因此在教学中我给予了学生充分的体验时间，以函数图象为桥梁引导学生自主探究.

教学方式：
教师适时引导和学生自主探究相结合

教学手段：
以培养学生探究精神为出发点，着眼于知识的形成和学生的学习体验，设置一个个问题链，由浅入深、循序渐进，给不同层次的学生提供思考、展现的机会.

技术准备：
多媒体课件、笔记本电脑、移动小黑板

教学目标(内容框架)
知识与技能：
1．能针对具体方程（如二次方程），说明方程的根、相应函数图象与轴的交点以及相应函数零点的关系；
2．能借助具体函数的图象，发现零点存在性定理，并能利用函数的图象与性质判断某些函数的零点个数和求出零点所在区间；
过程与方法：
通过研究具体的二次函数到研究一般的函数，经历“类比→归纳→应用”的过程，提高观察、分析、概括的能力，初步形成从具体到抽象，从特殊到一般的思维习惯；
情感态度价值观：
通过函数与方程的联系，体验数形结合思想和转化思想的意义和价值，体会函数的核心作用，感受对立与统一的辩证观点．
教学重点：方程的根与函数的零点的等价关系，零点存在定理
教学难点：零点存在性定理的过程中把“图象特征”转化为“代数表示”

教学过程(文字描述)
（一）复习引入，铺垫新课
活动1.1求下列方程的根．（1） （2）
活动1.2分别画出函数和的图象，并观察函数图象与所对应的方程的根联系.
设计意图：从学生最熟悉的问题入手，从 “最近发展区”提问，为学生归纳方程的根与函数的图象的联系打下基础．设置两个学生熟悉的方程进行铺垫，方便学生迅速展开问题的研究.

（二）初步探索，概念形成
结合二次函数和一元二次方程，初步提出零点的概念：既是方程的根，又是函数图象与轴交点的横坐标，也是函数在时的值．在方程中称为实数根，在函数中称为零点．
活动2.1 阅读零点定义，并回答问题．
零点：对于函数，我们把使的实数叫做函数的零点.
问题：零点是点吗？零点是什么？零点定义中的关键词有哪些？
零点不是点，是一个实数，，实数
设计意图：以学生熟悉二次函数图象和一元二次方程为研究对象，观察方程和函数形式上的联系，从代数式和图形两个角度进行研究，从而得到方程实数根与函数图象之间的关系，进而得到零点的概念.再借助一次函数图象和一元一次方程，进一步体会零点的定义.

活动2.2 分析下列一元二次方程和其对应的二次函数，分别说出方程的根、函数与轴的交点和函数的零点，并找到其中的关系．
方程

函数

函数的图象

判断方程有无实数根，若有，求出实数根

函数的图象与x轴的交点个数

判断函数有无零点，若有，求出零点

三者关系：
方程有实数根函数的图象与轴有交点
函数有零点
设计意图：这个环节的设计遵循从特殊到一般的认识规律，从熟悉的函数入手，建立函数零点与方程实数根的联系，从而理解有些方程问题可以转化为函数问题来求解．利用已有知识发现新知识，认识和剖析新知识，并建立起与已有知识的练习，进而利用新知识解决问题.

.

（三） 探究定理，完善辨析
活动3.1 所有函数都有零点吗？

如图所示：函数在R上存在零点.

在区间（4,5）函数不存在零点，那么在哪个区间上会有零点呢？学生活动结果：
，：
，；
，.
设计意图：以“所有函数都有零点吗？”为起点，引出对于函数零点存在性的研究.这个环节的设计遵循从特殊到一般的认识规律，以熟悉的二次函数入手，从“函数在区间内没有零点”出发，激发学生寻找存在零点的区间，进而归纳出在存在零点的区间上函数的代数特征，再将得到的结论进一步概括，初步识别函数在某区间上存在零点的条件.

.

活动3.2 根据以上的分析，你认为在什么条件下，函数在区间内一定有零点？
设计意图：以学生的探究过程为基础，结合小组讨论交流，展示结论.

.

活动3.3：你的结论对任意一个函数都成立吗？
不成立，以下函数图象符合上述特征，但没有零点.
学生活动结果：

通过比较，修改猜想.
初步认识判定方法：连续函数和两个条件.
一般地，我们有：
如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线并且有，那么函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是方程的根．
设计意图：证明函数在某个区间内存在零点，是一个从图象的直观到抽象的代数证明的理性思维过程.从学生现有的知识看，目前教学应立足于从图象直观来认识.学生通过观察、分析、讨论，根据所给的函数图象，初步得到函数有零点的图象特征，再结合自己已有的对函数图象的认识和理解，通过举反例的方式进一步完善猜想，认识到函数存在零点的条件，让学生亲身体验从特殊到一般，从形到数的探究过程．

活动4：思考辨析（可以举出具体的示例进行说明）．
（1）若，函数在区间上一定没有零点吗？
（2）若，函数在区间上只有一个零点吗？ 可能有几个？
（3）若时，增加什么条件可确定函数在区间在上只有一个零点？
学生通过利用几何画板、移动小黑板画图，小组讨论，找寻问题答案．
演示各种零点存在情况：

设计意图：通过这三个问题，从存在到唯一对定理进行了深入理解，并得到结论．当连续函数在两端点处的函数值异号且单调时，函数存在唯一零点.

（四）应用定理，问题解决
判断函数在区间上是否存在零点？
引导学生利用零点存在性定理确定零点存在区间．
预案:
学生计算以下函数值，； ，此时不能判断函数在区间上是否存在零点，遇到困难.从本节课讲过的图象入手，得到启发，将区间缩小，计算，再应用零点存在性定理，判断所给区间上是否存在零点.
设计意图：体会本节课内容的价值，即方程问题转化为函数问题，应用函数的性质及零点存在性定理解决方程根的存在性问题.

（五）课堂小结，布置作业
课堂小结：
（1）本节课我们学习的知识有哪些？这些知识之间如何联系？
（2）在方程的根与函数的零点的等价关系和零点存在定理的探究上，我们用了哪些研究问题的手段，从中可以得到那些有益的思考方法？
（3）如果你遇到了一个不会解的方程，可以怎么做？

设计意图：再次明确这节课所解决的问题，并希望通过这样的提问帮助学生将所学新知识内化为解决问题的方法．

布置作业：
1. 目标P37页；
2. 选做：求方程的解的大致区间，并与其他同学的结果进行比较．
板书设计：

[键入文档的引述或关注点的摘要.您可将文本框放置在文档中的任何位置.请使用“绘图工具”选项卡更改引言文本框的格式.]

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方程的根与函数的零点

数形结合
图象
一元一次方程与一次函数
二元一次方程与二次函数
零点（新概念）
关系（新方法）
零点存在定理
（新原理）
从特殊到一般
方程的根与函数的零点

学习效果评价设计
评价方式
（1）过程性评价：使用激励性语言肯定学生在数学学习中的发展和进步，特点和优点；
（2）学习结果评价：通过课堂提问、学生板演、笔记本展示、作业反馈等方式评价学生学习结果．

评价量规
（1）是否能够用恰当的数学语言准确表达数学内容，能否举出能够说明问题的正例和反例，是否能够把握数学知识的结构；
（2）是否有独立思考的习惯、合作交流的意识、学好数学的自信心以及克服困难的毅力，是否能够在学习中不断反思，改进学习方法．

本教学设计与以往或其他教学设计相比的特点(300-500字数)
本节课采用启发与探究相结合的教学方式，有如下两个突出特点：
1．学生经历完整的“归纳猜想，完善猜想，形成定理，运用定理”的数学活动，体验知识形成过程
在学习零点存在性定理的过程中，概括图象特征，把“图象特征”转化为“代数表示”是本节课的难点．在定理探究时，我创设了较大的思维空间，让学生结合二次函数图象，任意确定区间，研究在存在零点的区间上函数的图象特征及代数特征，再从特殊到一般，利用几何画板、和移动小黑板作图，探究推广的可能性，进而不断完善结论，整个环节留给学生充足的时间体验知识的形成过程，让学生进行全面深入的思考，经历完整的定理探究过程．
2．移动小黑板使课堂互动更加及时、有效
在本节课中，学生展示环节不但采用实物投影，而且使用了移动小黑板，让学生将探究的过程和结果以动态的形式展现.在探究中，应当关注的不仅是画图的结果，还要关注学生绘制的过程；在问题解决中可能会产生分歧，因此还需要即时地反映学生思维变化和小组讨论的过程，这些都是传统的方式无法展现的，学生大家都积极动手在小黑板上留下自己的想法，提高了课堂的效率和学生的参与度，还激发了学生的表现欲.

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