最短路径问题教案.doc

13．4 课题学习 最短路径问题

能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．

利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题．

探索发现“最短路径”的方案，确定最短路径的作图及说理．
一师一优课　一课一名师　(设计者：　　　)

一、创设情景，明确目标
如图所示，从A地到B地有三条路可供选择，走哪条路最近？你的理由是什么？

前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题．现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”．
二、自主学习，指向目标
自学教材第85 页至87 页，思考下列问题：
1．求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求，其依据是两点的所有连线中，线段最短．
2．求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，则与该直线的交点即为所求．
3．在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变化把已知问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径的选择．
三、合作探究，达成目标
　探索最短路径问题
活动一：相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：
从图中的A地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？

精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的 知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马问题”．你能将这个问题抽象为数学问题吗？
追问1　这是一个实际问题，你打算首先做什么？答：将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直线．

追问2　你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？
答：(1)从A 地出发，到河边l 饮马，然后到B 地； (2)在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A，B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从A 地到饮马地，再回到B 地的路程之和；(3)现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点．设C 为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小(如图)．问题2：如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC与CB的和最小？

追问1：对于问题2，如何将点B“移”到l的另一侧B′处，满足直线l 上的任意一点C，都保持CB 与CB′的长度相等？
追问2：你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条件的点B′吗？

展示点评：作法：
(1)作点B 关于直线l 的对称点B′；
(2)连接AB′，与直线l 交于点C.
则点C 即为所求．
问题3　你能用所学的知识证明AC ＋BC最短吗？

证明：如图，在直线l上任取一点C′(与点C 不重合)，连接AC′，BC′，B′C′.由轴对称的性质知，
BC ＝B′C，BC′＝B′C′.
∴ AC ＋BC＝ AC ＋B′C ＝ AB′，
AC′＋BC′＝ AC′＋B′C′.
在△AB′C′中， AB′＜AC′＋B′C′，
∴ AC ＋BC＜AC′＋BC′.即 AC ＋BC 最短.
小组讨论：证明AC ＋BC 最短时，为什么要在直线l 上任取一点C′(与点C 不重合)，证明AC ＋BC ＜AC′＋BC′？这里的“C′”的作用是什么？
反思小结：运用轴对称变换及性质将不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，然后用“两点之间线段最短”解决问题．利用三角形的三边关系，若直线l上任意一点(与点C 不重合)与A，B 两点的距离和都大于AC ＋BC，就说明AC ＋BC 最小. C′的代表的是除点C以外直线l上的任意一点．
针对训练：
1．如图， A、B是河流 同侧的两个村庄，现要在河边修一个抽水站向两村供水，问抽水站修在什么地方才能使所需的管道最短？请在图中表示出来．

答：如下图，作点B关于l的对称点B′，连接AB′交l于点P，点P即为所求．

2．如图，一个旅游船从大桥AB的P处前往山脚下的Q处接游客，然后将游客送往河岸BC 上，再返回P处，请画出旅游船的最短路径．

答：作Q关于直线BC的对称点Q′，连接PQ′交BC于R，
∴旅游船线路：P—Q—R—P.

　选址造桥问题
活动二：(造桥选址问题)如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？(假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直．)

展示点评：从A到B要走的路线是A→M→N→B，如图所示，而MN是定值，于是要使路程最短，只要AM＋BN最短即可．

解：在直线a上取任意一点M′，作M′N′⊥b于点N′，平移AM，使点M′移动到点N′的位置，点A移动到点A′的位置，连接A′B交直线b于点N，过点N作MN⊥a于点M，则路径AMNB最短．
理由如下：如图，点M′为直线a上任意一点(不与点M重合)，
∵线段A′N′是线段AM平移得到的
∴AA′＝MN′，A′N′＝AM
∴AM′＋MN′＋BN′＝A′N′＋AA′＋BN′
∵MN平行AA′且MN＝AA′
∴MN可以看作是AA′经过平移得到的
∴A′N＝AM
∴AM＋NB＝A′N＋NB
∵根据两点之间线段最短，得A′N＋NB＝A′B<A′N′＋BN′
∴AM＋NB＝A′N＋NB
∵根据两点之间线段最短，得A′N＋NB＝A′B<A′N′＋BN′
∴AM＋NB<AM′＋BN′
∵MN＝MN′
∴AM＋MN＋NB<AM′＋M′N′＋N′B，即路径AMNB最短．
小组讨论：回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的过程、借助什么解决问题的？
反思小结：解决连接河两岸的两个点的最短路径问题时，可以通过平移河岸的方法将河的宽度为零，转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题．由两点之间线段最短(或三角形两边之和大于第三边)可知，求距离之和最小问题，就是运用等量代换的方式，把几条线段的和想办法(如利用轴对称或平移等)转化在一条线段上，从而解决这个问题．
针对训练：
3．如图，台球桌上有一个黑球，一个白球，如何用球杆去击白球使其撞到AB边反弹后再撞到黑球？

答：
4．某中学八(2)班举行文艺晚会，桌子摆成如图a所示两直排(图中的AO，BO)，AO桌面上摆满了橘子，OB桌面上摆满了糖果，站在C处的学生小明先拿橘子再拿糖果，然后到D处座位上，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？

解：如图b.
(1)作C点关于OA的 对称点C1，作D点关于OB的对称点D1，(2)连接C1D1，分别交OA，OB于P，Q，那么小明沿C→P→Q→D的路线行走，所走的总路程最短．
四、总结梳理，内化目标
1．本节课研究问题的基本过程是什么？
2．轴对称在所研究问题中起什么作用？
五、达标检测，反思目标
1．要在河边修建一个水泵，分别向张村、李庄送水，修在河边什么地方，可使所用水管最短？

2.如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上分别找一点F，使△AEF周长最小，求∠AEF＋∠AFE的度数．

答案：如图，分别作点A关于CD、BC的对称点A1，A2，连接A1A2，分别交CD、BC于点F，E，即此时△AEF周长最小．由对称可知∠A1＝∠DAF，∠A2＝∠BAE，因为∠A1＋∠A2＝180°－∠BAD＝60°，所以∠DAF＋∠BAE＝∠A1＋∠A2＝60°，所以∠EAF ＝60°，所以∠AEF＋∠AFE＝180°－∠EAF＝120°.

1．上交作业　教科书复习题13第15题.
2．课后作业　见《学生用书》