等比数列前n项和教学设计.doc

2.5 等比数列的前n项和
张浩
一、教材分析
“等比数列的前n项和”是高中数学人教版必修5第二章数列第五节内容，是这一章的一个重要内容。教学大纲显示本节课要两课时完成，本节课是第一课时，因此重点在于公式的推导过程，公式的结构特征和简单应用。
在知识的应用上，前n项和的推导中蕴含了错位相减和分类讨论等数学思想方法，错位相减法经常应用于数列的求和中。同时在现实生活中它的应用也很广泛，如储蓄、分期付款等的有关计算。
二、学情分析
学生在本节课前已经学习了等差、等比数列的概念、通项公式和等差数列的前n项和公式，具备一定的知识基础和数学思想方法，初步具有自主探究能力，能在教师的引导下解决一些问题。但学生很容易与等差数列前n项和的推导和特点进行类比，本节课的推导与等差数列前n项和的推导有所不同，这对学生是一个思维上的突破。对于这一特殊情况，学生容易忽略，这也是在后面的使用中的易错点。
三、教学目标
1. 理解用错位相减法推导等比数列前n项和的过程，掌握公式的特点，并能初步应用公式解决问题。
2. 通过对公式的推导增强学生的自主探究意识，提高分析问题和解决问题的能力，体会从特殊到一般的思想方法。
3. 通过对公式的研究，启发学生的求知欲，锻炼学生由于探索，敢于创新的品质，并从中得到成功的喜悦。
四、教学重难点
1. 重点：等比数列前n项和的推导和公式的简单应用。
2. 难点：错位相减法和公式的应用。
五、教学资源
多媒体
六、教学策略
教学模式：本节课采用“探究——发现”的教学模式。突出学生的探究、发现与交流。
七、教学过程
教学环节
教学内容
学生活动
设计意图
创设问题情境
一、 问题情境、引出课题
[多媒体演示]
灰太狼想在森林里开一家公司，但苦于资金有限，因此去找喜羊养投资，喜羊羊一口答应“行，从今天开始我连续30天向你的公司注入资金，每天注入资金10万元，但作为回报，在投资的第一天你要返还我1元钱，第二天返还我2元钱……即后一天返还的钱数是前一天的两倍，30天后我们两清。”
灰太狼一听，两眼一转，心里特别的美……
[教师提问]
1. 灰太狼占到便宜了吗？
2.怎么求②式？（引出课题）

学生：根据多媒体动画回答问题。

学生：要知道灰太狼是否占了便宜，就要计算喜羊羊和灰太狼各自支付的钱数并比较大小。
喜洋洋：
10×30=300万元 ①
灰太狼：++++…+②
①式学生很容易求出，对于②式学生仅知道是求等比数列前n项和的问题，却不知道如何计算。

通过问题情境引出问题，并调动学生学习的积极性。情境中的问题与本节课的内容密切相关。

教学环节
教学内容
学生活动
设计意图
提出问题

探究一：如何求和？
=++++…+ ②
[教师提问]
1. 能否逐项相加得到结果？
2. 有没有简单的方法？
引导学生回忆等差数列的求和方法，能否应用于等比数列求和中去？如果不行，通过等比数列各项之间的特点能否也构造一个式子，通过两式运算来解决问题呢？

通过学生作答：
②式中的数列是首项为1，公比为2的等比数列。因此，由等比数列的通项公式，②式可以写为：
=++++…+ ③
将③式两边同时乘2得到：=+++…++ ④

学生：回忆等差数列求和的重要方法——倒序相加法，尝试应用，失败后，尝试寻求新的方法。分析倒序相加发的本质，是应用等差数列项之间的特点构造一个式子，通过两式的运算解决问题。因此尝试，通过构造一个式子来解决问题。
学生分组讨论并作答。

留给学生充分的时间思考，引导学生找到②式结构特点，从而找到解决问题的方法。
教学环节
教学内容
学生活动
设计意图

③式与④式中含有很多相同的项，因此用③-④得：
=
所以，=。
[教师总结]
运用两式运算来解决问题是本节课我要给大家介绍的一种重要的求值方法：错位相减法。

类比探索
探究二：
[教师提问]
设等比数列的首相为，公比为，如何求此数列的前n项和？
注意：学生已有处理上面问题的经验，学生容易想到用错位相减法，此时教师只需顺势引导即可。应用错位相减法求和时，只需将公式两端同时乘，构造的原则的式子和原有式子相减后得到的项较少，易计算。

学生：通过上面问题的解决方法，学生通过类比、观察，动手尝试公式的推导，遇到问题小组内解决。
=+++…++
由等比数列的通项公式得，
=+++…+①
将①两边同时乘公比得，

给学生营造一个主动观察，思考，讨论的氛围，在教师的指引下让学生经历从一般到特殊，由已知到未知，逐步深入的过程，让学生体会探索的乐趣。

教学环节
教学内容
学生活动
设计意图
形成公式
学生容易忽略对的讨论，纠错后师生共同得到等比数列的前n和的公式为：

因为
所以上述公式还可以写成：

=++…++ ②
①-②，
=-=
所以，。

先不急于指出学生的错误，引导学生自己发现，自主完善公式。
公式运算 提高能力
当堂检测：
⑴选择：
++…+=
A.1- B.1- C.1-
D.
⑵填空：
…+=
⑶判断：…
⑷求和：
…
学生：自主思考，回答问题。
⑴A。
⑵，本题是对于公式的直接应用，但要注意求和的数列项数。
⑶错，应该分类讨论，分为和且两种情况讨论。
⑷解：由已知，
，
所以，

解析公式中的基本量和结构特征，同时培养学生分类讨论的数学思想。
教学环节
教学内容
学生活动
设计意图

例.已知等比中，，
，，求数列的前8项和。

教师首先让学生独立思考自主解题，然后教师提问回答，并强调易错点。

学生：
解：由，得：由，可得
又由得
所以
。

通过改编教材中的例题，深化学生对公式的认识，同时使学生注意解题规范。
回归问题情境
请学生用等比数列前n项和公式和计算器，解决情境中的问题，得出结论。

学生通过计算器操作，得到=1073741823
因此，灰太狼支出的钱数远远超过了喜羊羊支出的钱数。

回到问题情境中去，解决悬念，前后呼应。
教学环节
教学内容
学生活动
设计意图
总结归纳
[教师提问]
通过本节课的学习你有哪些收获？
教师引导学生主要从以下方面总结：⑴体会从特殊到一般的探究方法。
⑵体会用错位相减法及分类讨论的思想来求数列的前n项和。
⑶掌握等比数列及其简单应用。

学生：
在教师的引导下回顾本节课的内容谈谈自己的收获。

培养学生自我归纳、总结能力，培养学生良好的学习习惯。
作业布置
必做题：教材习题2.5A组第1题；
选做题：教材习题2.5B组第5题，并阅读63页“购房中的数学”。
学生自主完成。
通过作业布置巩固本节课所学知识并扩展学生的数学视野，了解数学在现实生活中的应用。
八、教学设计评价
本节课的教学设计站在学生的角度，重点突出学生的互动，在启发式的问题下，鼓励学生自主探索等比数列的前n项和公式。同时对重点难点的突破，让学生在错误中感悟，抓住公式的特点，以便今后能准确应用。
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