八年级下期中复习教案.doc

八年级下数学期中复习
二次根式
学习目标要求：
1． 了解二次根式的概念，理解是一个非负数，会求被开方数中字母的取值范围。
2．.理解和掌握二次根式的性质,正确区分与。
3. 利用二次根式的概念与性质解决实际问题．
学习重点：二次根式的概念与性质．
考点一．正确理解二次根式的概念：（a≧0）.
例一 下列式子一定是二次根式的是（ C E）
A． B. C. D. E.
方法规律：被开方数是以式子形式出现的，要对式子进行分析，挖掘出哪些隐含条件是非负数，然后根据定义进行判断。
巩固练习：
1. 下列各式中哪些是二次根式？哪些不是？为什么？
, , , ,
, ，。
2. 判断下列二次根式是否是最简二次根式,并说明理由.
,,,,,.
考点二．正确理解二次根式的概念：≧0 。
例三：
答案：
方法归纳：根据的性质，得到非负数相加等于0，只有每一个非负数等于0，从而把问题转化为解方程组或不等式组。
巩固练习：

1.若，求的值.

2. 若与互为相反数，则.

3. 已知为实数，且，求的值.

考点三.二次根式的计算
二次根式乘除
目标要求：会利用等式和对二次根式进行化简。

1．化简求值：
已知 求的值。

二次根式加减
目标要求：理解掌握同类二次根式和最简二次根式的概念，能正确地合并同类二次根式，熟练地进行二次根式的四则混合运算。

1.化简求值：
（1）、

2.已知的小数部分为a，整数部分为b，求b-的值。

3..

勾股定理
知识点一：勾股定理
　　如果直角三角形的两直角边长分别为：a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2．即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．

　　要点诠释：（1）勾股定理揭示的是直角三角形平方关系的定理。
　　　　　　　 （2）勾股定理只适用于直角三角形，而不适用于锐角三角形和钝角三角。
　　　　　　　 （3）理解勾股定理的一些变式： 　　　　　　　　
　　　　　　　　　　c2=a2+b2, a2=c2-b2， b2=c2-a2 ，　　c2=(a+b)2-2ab

练习1.如图，已知：，，于P. 求证：.

　思路点拨: 图中已有两个直角三角形，但是还没有以BP为边的直角三角形. 因此，我们考虑构造一个以BP为一边的直角三角形. 所以连结BM. 这样，实际上就得到了4个直角三角形. 那么根据勾股定理，可证明这几条线段的平方之间的关系.

知识点二：勾股定理的实际应用
　　（一）用勾股定理求两点之间的距离问题
　　3、如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60°方向走了到达B点，然后再沿北偏西30°方向走了500m到达目的地C点。
　　（1）求A、C两点之间的距离。
　　（2）确定目的地C在营地A的什么方向。

　　思路点拨：把实际问题中的角度转化为图形中的角度，利用勾股定理求解。

知识点三：勾股定理及其逆定理的基本用法
例题。若直角三角形的三边长分别是n+1，n+2，n+3，求n。
　　思路点拨：首先要确定斜边（最长的边）长n+3，然后利用勾股定理列方程求解

知识点四：勾股定理的应用
例题2、如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN＝30°，点A处有一所中学，AP＝160m。假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？

平行四边形
知识点讲解：
1．平行四边形的性质（重点）：
ABCD是平行四边形Þ

2.平行四边形的判定（难点）：
.

3. 矩形的性质：
因为ABCD是矩形Þ
(4)是轴对称图形，它有两条对称轴．
4矩形的判定：
矩形的判定方法：(1)有一个角是直角的平行四边形；
　　　　　　　　　　(2)有三个角是直角的四边形；
　　　　　　　　　　(3)对角线相等的平行四边形；
　　　　　　　　　　(4)对角线相等且互相平分的四边形． Þ四边形ABCD是矩形.
5. 菱形的性质：
因为ABCD是菱形Þ

6. 菱形的判定：
Þ四边形四边形ABCD是菱形.

7.正方形的性质：
ABCD是正方形Þ

8. 正方形的判定：
Þ四边形ABCD是正方形.

名称
定义
性质
判定
面积
平
行
四
边
形
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
① 对边平行；
②对边相等；
③对角相等；
④邻角互补；
⑤对角线互相平分；
⑥是中心对称图形
①定义；
②两组对边分别相等的四边形；
③一组对边平行且相等的四边形；
④两组对角分别相等的四边形；
⑤对角线互相平分的四边形。
S=ah(a为一边长，h为这条边上的高)
矩
形
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
除具有平行四边形的性质外，还有：①四个角都是直角；②对角线相等；③既是中心对称图形又是轴对称图形。
①有三个角是直角的四边形是矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形；③定义。
S=ab(a为一边长，b为另一边长)
菱
形
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
除具有平行四边形的性质外，还有①四边形相等；②对角线互相垂直，且每一条对角线平分一组对角；③既是中心对称图形又是轴对称图形。
①四条边相等的四边形是菱形；②对角线垂直的平行四边形是菱形；③定义。
①S=ah(a为一边长，h为这条边上的高)；
②(b、c为两条对角线的长)
正
方
形
有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形
具有平行四边形、矩形、菱形的性质：①四个角是直角，四条边相等；②对角线相等，互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角；③既是中心对称图形又是轴对称图形。
①有一组邻边相等的矩形是正方形；②有一个角是直角的菱形是正方形；③定义。
①(a为边长)；
②(b为对角线长)
例题1如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点E、O，连接CE，则CE的长为（ ）
A. 3 B.3.5 C.2.5 D.2.8
A
B
C
D
E
O

【解析】设CE的长为x,因为EO垂直平分AC，所以AE=CE=x,所以ED=4-x, 在Rt△CED中，由勾股定理得CD2+ED2=CE2，22+（4-x）2=x2,解得x=2.5.
【答案】C.
【点评】本题在矩形中综合考查了线段垂直平分线的性质、勾股定理等知识，用方程的思想解几何问题是一种行之有效的思想方法。

2.如图，P是矩形ABCD内的任意一点，连接PA、PB、PC、PD，得到△PAB、△PBC、△PCD、△PDA，设它们的面积分别是S1、S2、S3、S4，给出如下结论：
①S1+S2=S3+S4 ② S2+S4= S1+ S3
③若S3=2 S1，则S4=2 S2 ④若S1= S2，则P点在矩形的对角线上
其中正确的结论的序号是_________________（把所有正确结论的序号都填在横线上）.

解析：过点P分别向AD、BC作垂线段，两个三角形的面积之和等于矩形面积的一半，同理，过点P分别向AB、CD作垂线段，两个三角形的面积之和等于矩形面积的一半. =,又因为，则=,所以④一定成立
答案：②④．
点评：本题利用三角形的面积计算，能够得出②成立，要判断④成立，在这里充分利用所给条件，对等式进行变形.不要因为选出②，就认为找到答案了，对每个结论都要分析，当然感觉不一定对的，可以举反例即可.对于 ④这一选项容易漏选.
3.如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，将△ABE沿AE折叠，使点B落在AC上的点B`处，又将△CEF沿EF折叠，使点C落在直线EB`与AD的交点C`处.则BC∶AB的值为 ▲ .

【解析】连接CC′，根据题意可知∠AEF=90°，又C、C′关于EF对称，所以CC′⊥EF，所以AE∥CC′，又AC′∥EC，所以四边形AECC′是平行四边形，又∠B=∠AB′E=90°，所以四边形AECC′是菱形，所以∠EAC=∠ECA，又∠EAC=∠BAE，所以∠EAC=∠ECA=∠BAE=30°，在Rt△ABC中，BC：AB=．
【答案】

（2012北京，19，5）如图，在四边形中，对角线交于点，
．求的长和四边形的面积．
【解析】利用特殊的度数解直角三角形，并求其面积。
【答案】过点D作DF⊥AC
∵∠CED=45°，DF⊥EC，DE=
∴EF=DF=1
又∵∠DCE=30°
∴DC=2
∵∠AEB=45°，∠BAC=90°，BE=
∴AE=2
∴AC=2+1+=3+
∴S四边形ABCD=
【点评】本题考查了已知特殊角（如45°、30°）和其邻边的长度，利用这些条件构造直角三角形，求出其它边的长度。
（2012，黔东南州，10）点P是正方形ABCD边AB上一点（不与A、B重合），连结PD并将线段PD绕点P顺时针旋转90º，得线段PE，连结BE，则∠CBE等于（ ）

A、75º B、60º C、 45º D、 30º
解析：过点E作EF⊥AF，交AB的延长线于点F，则∠F=90°，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD=AB，∠A=∠ABC=90°，
∴∠ADP+∠APD=90°，
由旋转可得：PD=PE，∠DPE=90°，
∴∠APD+∠EPF=90°，
∴∠ADP=∠EPF，
在△APD和△FEP中，
∵，
∴△APD≌△FEP（AAS），
∴AP=EF，AD=PF，
又∵AD=AB，
∴PF=AB，即AP+PB=PB+BF，
∴AP=BF，
∴BF=EF，又∠F=90°，
∴△BEF为等腰直角三角形，
∴∠EBF=45°，又∠CBF=90°，
则∠CBE=45°．
答案：C．
点评：本题考查了三角形知识的综合应用，学生需要具备一定的推理能力，难度较大.

一次函数
1、一次函数的定义
一般地，形如（，是常数，且）的函数，叫做一次函数，其中x是自变量。当时，一次函数，又叫做正比例函数。
⑴一次函数的解析式的形式是，要判断一个函数是否是一次函数，就是判断是否能化成以上形式．
⑵当，时，仍是一次函数．
⑶当，时，它不是一次函数．
⑷正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数．

2、正比例函数及性质
一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.
注：正比例函数一般形式 y=kx (k不为零) ① k不为零 ② x指数为1 ③ b取零
当k>0时，直线y=kx经过三、一象限，从左向右上升，即随x的增大y也增大；当k<0时，直线y=kx经过二、四象限，从左向右下降，即随x增大y反而减小．
(1) 解析式：y=kx（k是常数，k≠0）
(2) 必过点：（0，0）、（1，k）
(3) 走向：k>0时，图像经过一、三象限；k<0时，图像经过二、四象限
(4) 增减性：k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x增大而减小
(5) 倾斜度：|k|越大，越接近y轴；|k|越小，越接近x轴
3、一次函数及性质
一般地，形如y=kx＋b(k,b是常数，k≠0)，那么y叫做x的一次函数.当b=0时，y=kx＋b即y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.
注：一次函数一般形式 y=kx+b (k不为零) ① k不为零 ②x指数为1 ③ b取任意实数
一次函数y=kx+b的图象是经过（0，b）和（-，0）两点的一条直线，我们称它为直线y=kx+b,它可以看作由直线y=kx平移|b|个单位长度得到.（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）
（1）解析式：y=kx+b(k、b是常数，k0) （2）必过点：（0，b）和（-，0）
（3）走向： k>0，图象经过第一、三象限；k<0，图象经过第二、四象限
b>0，图象经过第一、二象限；b<0，图象经过第三、四象限
直线经过第一、二、三象限 直线经过第一、三、四象限
直线经过第一、二、四象限 直线经过第二、三、四象限
（4）增减性： k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x增大而减小.
（5）倾斜度：|k|越大，图象越接近于y轴；|k|越小，图象越接近于x轴.
（6）图像的平移： 当b>0时，将直线y=kx的图象向上平移b个单位；
当b<0时，将直线y=kx的图象向下平移b个单位.
一次
函数

，
符号

图象

性质
随的增大而增大
随的增大而减小

4、一次函数y=kx＋b的图象的画法.
根据几何知识：经过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线即可.一般情况下：是先选取它与两坐标轴的交点：（0，b），.即横坐标或纵坐标为0的点.

b>0
b<0
b=0
k>0
经过第一、二、三象限
经过第一、三、四象限
经过第一、三象限

图象从左到右上升，y随x的增大而增大
k<0
经过第一、二、四象限
经过第二、三、四象限
经过第二、四象限

图象从左到右下降，y随x的增大而减小
5、正比例函数与一次函数之间的关系
一次函数y=kx＋b的图象是一条直线，它可以看作是由直线y=kx平移|b|个单位长度而得到（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移

6、正比例函数和一次函数及性质

正比例函数
一次函数
概 念
一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数
一般地，形如y=kx＋b(k,b是常数，k≠0)，那么y叫做x的一次函数.当b=0时，是y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.
自变量
范 围
X为全体实数
图 象
一条直线
必过点
（0，0）、（1，k）
（0，b）和（-，0）
走 向
k>0时，直线经过一、三象限；
k<0时，直线经过二、四象限
k＞0，b＞0,直线经过第一、二、三象限
k＞0，b＜0直线经过第一、三、四象限
k＜0，b＞0直线经过第一、二、四象限
k＜0，b＜0直线经过第二、三、四象限
增减性
k>0，y随x的增大而增大；（从左向右上升）
k<0，y随x的增大而减小。（从左向右下降）
倾斜度
|k|越大，越接近y轴；|k|越小，越接近x轴
图像的
平 移

b>0时，将直线y=kx的图象向上平移个单位；
b<0时，将直线y=kx的图象向下平移个单位.

6、直线（）与（）的位置关系
（1）两直线平行且 （2）两直线相交
（3）两直线重合且 （4）两直线垂直
练习
3 函数y=(k-1)x，y随x增大而减小，则k的范围是 ( )
A. B. C. D.
4 若m＜0, n＞0, 则一次函数y=mx+n的图象不经过 （ ）
A.第一象限 B. 第二象限 C.第三象限 D.第四象限
5 用图象法解某二元一次方程组时，在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象（如图所示），则所解的二元一次方程组是【 】

A． B． C． D．
6.若一次函数的图象经过第一象限，且与轴负半轴相交，那（ ）
A．， B．， C．， D．，
2

y
7.一次函数y=kx+b（k,b是常数，k≠0）的图象如图9所示，则不等式kx+b＞0的解集是（ ）
A．x＞-2 B．x＞0 C．x＜-2 D．x＜0

0
x
8.如图，一次函数图象经过点，且与正比例

函数的图象交于点，则该一次函数的表达式为（ ）
A． B． C． D．
O
x
y
A
B

2

第4题

9.如图表示一艘轮船和一艘快艇沿相同路线从甲港出发到乙港行驶过程随时间变化的图象.根据图象下列结论错误的是（ ）
A.轮船的速度为20千米/时 B.快艇的速度为40千米/时
C.轮船比快艇先出发2小时 D.快艇不能赶上轮船
x
y
O
3

10.一次函数与的图象如图，则下列结论①；②；③当时，中，正确的个数是（ ）
D、a＜0
11.函数y=ax+b与y=bx+a的图象在同一坐标系内的大致位置正确的是（ ）

12、一次函数y=kx＋b的自变量的取值范围是－3 ≤x ≤6，相应函数值的取值范围是
－5≤y≤－2，求这个一次函数的解析式。
13函数y=中自变量x的取值范围是___________．
14．函数y=kx+b（k≠0）的图象平行于直线y=2x+3，且交y轴于点（0，-1），则其解析式是_________ ．

四边形综合题
1.在正方形ABCD的边AB上任取一点E，作EF⊥AB交BD于点F，取FD的中点G，连接EG、CG，如图（1），易证 EG=CG且EG⊥CG．
（1）将△BEF绕点B逆时针旋转90°，如图（2），则线段EG和CG有怎样的数量关系和位置关系？请直接写出你的猜想．
（2）将△BEF绕点B逆时针旋转180°，如图（3），则线段EG和CG又有怎样的数量关系和位置关系？请写出你的猜想，并加以证明．
【考点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质。
【分析】从图（1）中寻找证明结论的思路：延长FE交DC延长线于M，连MG．构造出△GFE≌△GMC．易得结论；在图（2）、（3）中借鉴此解法证明．
【解答】 解：（1） EG=CG，EG⊥CG． （2分）
（2）EG=CG，EG⊥CG． （2分）
证明：延长FE交DC延长线于M，连MG．
∵∠AEM=90°，∠EBC=90°，∠BCM=90°，
∴四边形BEMC是矩形．
∴BE=CM，∠EMC=90°，
又∵BE=EF，
∴EF=CM．
∵∠EMC=90°，FG=DG，
∴MG=FD=FG．
∵BC=EM，BC=CD，
∴EM=CD．
∵EF=CM，
∴FM=DM，
∴∠F=45°．
又FG=DG，
∠CMG=∠EMC=45°，
∴∠F=∠GMC．
∴△GFE≌△GMC．
∴EG=CG，∠FGE=∠MGC． （2分）
∵∠FMC=90°，MF=MD，FG=DG，
∴MG⊥FD，
∴∠FGE+∠EGM=90°，
∴∠MGC+∠EGM=90°，
即∠EGC=90°，
∴EG⊥CG． （2分）

【点评】此题综合考查了旋转的性质及全等三角形的判断和性质，如何构造全等的三角形是难点，因此难度较大．

2. 以四边形ABCD的边AB．BC．CD．DA为斜边分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为E．F．G．H，顺次连接这四个点，得四边形EFGH．
（1）如图1，当四边形ABCD为正方形时，我们发现四边形EFGH是正方形；如图2，当四边形ABCD为矩形时，请判断：四边形EFGH的形状（不要求证明）；
（2）如图3，当四边形ABCD为一般平行四边形时，设∠ADC=α（0°＜α＜90°），
①试用含α的代数式表示∠HAE；
②求证：HE=HG；
③四边形EFGH是什么四边形？并说明理由．

考点：正方形的判定；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；菱形的判定与性质．
专题：证明题．
分析：（1）根据等腰直角三角形得到角都是直角，且边都相等即可判断答案；
（2）①∠HAE=90°+a，根据平行四边形的性质得出，∠BAD=180°﹣a，根据△HAD和△EAB是等腰直角三角形，得到∠HAD=∠EAB=45°，求出∠HAE即可；
②根据△AEB和△DGC是等腰直角三角形，得出AE=AB，DC=CD，平行四边形的性质得出AB=CD，求出∠HDG=90°+a=∠HAE，证△HAE≌△HDC，即可得出HE=HG；
③由②同理可得：GH=GF，FG=FE，推出GH=GF=EF=HE，得出菱形EFGH，证△HAE≌△HDG，求出∠AHD=90°，∠EHG=90°，即可推出结论．
解答：（1）答：四边形EFGH的形状是正方形．
（2）解：①∠HAE=90°+a，
在平行四边形ABCD中AB∥CD，
∴∠BAD=180°﹣∠ADC=180°﹣a，
∵△HAD和△EAB是等腰直角三角形，
∴∠HAD=∠EAB=45°，
∴∠HAE=360°﹣∠HAD﹣∠EAB﹣∠BAD=360°﹣45°﹣45°﹣（180°﹣a）=90°+a，
答：用含α的代数式表示∠HAE是90°+a．

②证明：∵△AEB和△DGC是等腰直角三角形，
∴AE=AB，DC=CD，
在平行四边形ABCD中，AB=CD，
∴AE=DG，
∵△HAD和△GDC是等腰直角三角形，
∴∠HDA=∠CDG=45°，
∴∠HDG=∠HDA+∠ADC+∠CDG=90°+a=∠HAE，
∵△HAD是等腰直角三角形，
∴HA=HD，
∴△HAE≌△HDC，
∴HE=HG．

③答：四边形EFGH是正方形，
理由是：由②同理可得：GH=GF，FG=FE，
∵HE=HG，
∴GH=GF=EF=HE，
∴四边形EFGH是菱形，
∵△HAE≌△HDG，
∴∠DHG=∠AHE，
∵∠AHD=∠AHG+∠DHG=90°，
∴∠EHG=∠AHG+∠AHE=90°，
∴四边形EFGH是正方形．

点评：本题主要考查对正方形的判定，等腰直角三角形的性质，菱形的判定和性质，全等三角形的性质和判定，平行线的性质等知识点的理解和掌握，综合运用性质进行推理是解此题的关键．

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