（教案）《实数》复习.doc

宝鸡龙泉中学 张斌
《实数》复习指导
　　●课程目标
　　一.知识与技能
　　1.理解一个数平方根和算术平方根的意义，会用根号表示一个数的平方根和算术平方根；
　　2.了解立方根和开立方的概念；会用根号表示一个数的立方根，掌握开立方运算；
　　3.了解数轴的概念和数轴的画法，掌握数轴的三要素；会用数轴上的点表示有理数，会利用数轴比较有理数的大小；
　　4.了解无理数和实数的意义，掌握实数的分类，能够判断一个数是有理数还是无理数；了解实数绝对值的意义；
　　5.会用计算器求数的平方根和立方根；通过用计算器求值及近似值计算，提高学生的运算能力和动手能力.
　　二.过程与方法
　　1.了解实数与数轴上的点一一对应的关系；渗透数形结合思想,提高思维能力；
　　2.通过实数的分类,使学生进一步领会分类的思想；掌握有理数的运算法则在实数运算法则中仍适用.
　　三.情感、态度与价值观
　　1.通过学习乘方和开方运算是互为逆运算，体验各事物间的对立统一的辩证关系，激发学生探索数学奥秘的热情；
　　2.通过利用计算器求值体验现代科技产品迅速、精确的功能，激发学习探索知识的兴趣.
　　●知识网络图表

　　●知识要点
　　1、平方根
　　1.1平方根概念
　　如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根(二次方根)．
　　用数学语言表达即为：若x2=a，则x叫做a的平方根．
　　求一个数a的平方根的运算，叫做开平方的运算．
　　1.2平方根的性质
　　一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根．
　　1.3算术平方根

0的平方根也叫做0的算术平方根，因此0的算术平方根是0，即
　　1.4平方根与算术平方根的区别及联系
　　区别：
　　（1）定义不同：“如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根”；“非负数a的非负平方根叫做a的算术平方根”.
　　（2）个数不同：一个正数有两个平方根，而一个正数的算术平方根只有一个.
　　（3）表示方法不同：正数a的平方根表示为±，正数a的算术平方根表示为.
　　（4）取值范围不同：正数的算术平方根一定是正数；正数的平方根则一正一负，两数互为相反数.
　　联系：
　　（1）具有包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根中的一种.
　　（2）存在条件相同：平方根和算术平方根都只有非负数才有.
　　（3）0的平方根、算术平方根均为0.
　　2.立方根
　　2.1　立方根的概念：
　　如果一个数的立方等于a，这个数就叫做a的立方根．(也称数a的三次方根)
　　用数学式表示为：
　　若x3=a，则x叫做a的立方根，或称x叫做a的三次方根．
　　2.2　求一个数的立方根的运算，叫做开立方．开立方运算与立方运算互为逆运算．
　　2.3　立方根的表示方法：
　　类似于平方根德表示方法，数a的立方根我们用符号来表示.读作“三次根号下a”，其中a叫做被开方数，3叫做根指数.
　　2.4　4立方根的性质：正数的两方法供是一个正数，负数的立方根是一个负数，0的立方根是0.
　　3、实数的运算
　　3.1实数加、减法法则
　　(1)同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．
　　(2)绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0．
　　(3)一个数同0相加，仍得这个数．
　　(4)减去一个数，等于加上这个数的相反数．
　　3.2实数乘法法则
　　(1)两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．
　　(2)几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．
　　(3)几个数相乘，有一个因数为0，积就为0．
　　3.3实数除法法则
　　(1)除以一个数等于乘上这个数的倒数．
　　(2)两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．
　　(3)除数不能等于0．
　　3.4实数的乘方法则
　　(1)实数的乘方运算是利用实数的乘法运算进行的．
　　(2)正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数．
　　3.5实数的混合运算
　　实数的运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的．
　　4、实数的运算性质
　　加法的交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变．即：．
　　加法的结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或先把后两个数相加，和不变．即：．
　　乘法的交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变．即：．
　　乘法的结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变．即：．
　　乘法对加法的分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．即：．
　　5、数轴
　　规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴．一般规定从原点方向向右为正方向．
　　有了数轴，数和形得到了初步结合，这有利于对数学问题的研究，数形结合是理解数学、学好数学的重要思想方法，本课知识要点如下表：
定义
三要素
应用
数形结合
规定了原点、正方向、单位长度的直线叫数轴
原 点

正方向

单位长度
帮助理解有理数的概念，每个有理数都可用数轴上的点表示，但数轴上的点并非都是有理数
比较有理数大小，数轴上右边的数总比左边的数要大
　　在理解并掌握数轴概念的基础之上，要会画出数轴，能将已知数在数轴上表示出来，能说出数轴上已知点所表示的数，要知道所有的有理数都可以用数轴上的点表示，会利用数轴比较有理数的大小.
　　●中考考点例析
　　近年中考考查实数内容的题型较多，多以填空和选择题的形式出现，还有判断、比较大小、求绝对值等题型也比较常见.重点考查：
　　①相反数、倒数、绝对值、平方根、算术平方根、有理数、无理数等概念的掌握情况.
　　②实数大小的比较、简单的实数运算等内容.
　　③把一个数科学记数，正确把握近似数的精确度和有效数字之间的关系.
　　④利用数轴，靠直观判断给出实数的特点，进行根式的化简与计算.
　　考点1　实数的混合运算
　　典例1　计算：.
　　【解析】　　原式＝－1＋4×1－2＝1.
　　【中考指导】
　　该题是实数的混合运算，包括绝对值，0指数幂、负整数指数幂，正整数指数幂.只要准确把握各自的意义，就能正确的进行运算，其结果为1.本题易错点：忘记负整数指数(0指数)幂的意义，而使()–2=－，()0=0.
　　考点2　无理数的意义
　　典例2　下列计算正确的是　　　　　　　(　　)
　　A、(–2)3×(–3)2=65　　　B、x6÷x2=x3
　　C、(3–π)0+2–1=　　　　D、=－
　　【解析】本题的答案C.
　　【中考指导】该题是运算法则的考查，可用排除法.A：因为底数不同，指数不能相加；B：指数不应相除而是应该相减，C：(3–π)0=1，2–1=，所以1+=是正确的；D：左边是一正数，而右边是负数，所以不相等；故选C.
　　此类问题有一定的普遍性，在解答时，必须准确把握各种运算法则.
　　典例3　在3，2.3，，π四个数中，无理数的个数是(　　)
　　A、1　　B、2　　C、3　　D、4
　　【解析】答案B，即、π是无理数.
　　【中考指导】这类考题只要弄明白无理数的意义及类型就能准确选出答案.
　　无理数有很多，开方开不尽的数是其中的一种，也是我们计算中经常接触到的.要进一步理解无理数的概念，弄清“无限不循环小数”与“无限循环小数”的联系和区别，前者不能化为分数，后者可以化为分数.
　　考点3　绝对值化简
典例4　已知三个数a、b、c满足|a|＋a=0，|ab|=ab,|c|－c=0，化简|b|－|c－b|－|a＋b|＋|a－c|.
　　【解析】由|a|＋a=0，得|a|=－a，所以a≤0由|ab|=ab,得ab≥0，所以b≤0由|c|－c=0,得|c|=c,所以c≥0.所以c－b≥0,a＋b≤0,a－c≤0.
　　故原式=－b－(c－b)－〔－(a＋b)〕－(a－c)=－b－c＋b＋a＋b－a＋c=b.

　　【中考指导】(1)正数及负数的绝对值都是正数，零的绝对值还是零，即任何一个数的绝对值都是非负数，也就是，若a为实数，则|a|≥0；
　　(2)任何两个互为相反数的绝对值总相等，即，若a为实数，则|a|=|－a|；
　　(3)任何一个实数都不大于它的绝对值，即，若a为实数，则a≤|a|.

　　考点4　科学计数法
　　典例5　我国对农村义务教育阶段贫困家庭的学生实行“两免一补”政策，2005年至2007年三年内国家财政将安排约227亿元资金用于“两免一补”，这项资金用科学记数法表示为　　　　　　　　　　　　　　　（　　）
　　A、2.27元　　B、227元　　C、22.7元　　D、2.27元
　　【解析】　　227亿元＝22700000000元＝2.27元.
　　【中考指导】科学记数法这一“名不金传”的概念型“小题”，赋以时代背景，在考查知识点的同时，进行爱国主义教育，已成为近年来中考命题的一大靓点.
　　所谓科学记数法就是把一个数表示成a×10n的形式，其中1≤a＜10，n是整数.
　　当一个数的绝对值大于1时，n是整数位数减1；当一个数的绝对值小于1时，n就是左边第一个非零的数字前面0的个数，包括小数点左边的0.
　　考点5　平方根、立方根的概念
　　典例6　下列说法和式子正确的是　　　　　　　　　　　（　　）
　　A．的平方根是　　　　B．1的立方根是
　　C．　　　　　　　　　D．
　　【解析】在选项中A，，9的平方根是，选项B中，1的立方根只有1个是1；选项C中，指的是1的算术平方根，，选项D中，，所以应选A.
　　【中考指导】这道题考了平方根和立方根的概念，平方根中，正数有两个平方根，它们互为相反数，正数只有一个正的立方根；在平方根中负数是没有平方根的，而负数有一个负的立方根；平方根与立方根唯一相同之处是0的平方根，立方根都是它本身．理解并掌握平方根和算术平方根、立方根这些概念的联系和区别，是解决这类考的关键.
　　考点6　利用实数探究规律
　　典例7　设四边形ABCD是边长为1的正方形，以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以第二个正方形的对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去···.
　　（1）记正方形ABCD的边长为＝1，依上述方法所作的正方形的边长依次为，，，···，，求出，，的值.
　　（2）根据以上规律写出第n个正方形的边长的表达式．
　　【解析】（1）根据勾股定理，求出第一个正方形对角线的长，
它的一半即为的二个正方形边长；以此类推．
　　（2）在（1）的基础上猜想出更一般的情形.

　　【中考导向】猜想规律型的问题难度相对较小，经常以填空等形式出现，解题时要善于从所提供的数字或图形信息中，寻找其共同之处，这个存在于个例中的共性，就是规律．其中蕴含着“特殊——一般——特殊”的常用模式，体现了总结归纳的数学思想，这也正是人类认识新生事物的一般过程.
　　相对而言，猜想结论型问题的难度较大些，具体题目往往是直观猜想与科学论证、具体应用的结合，解题的方法也更为灵活多样：计算、验证、类比、比较、测量、绘图、移动等等，都能用到.
　　由于猜想本身就是一种重要的数学方法，也是人们探索发现新知的重要手段，非常有利于培养创造性思维能力，所以备受命题专家的青睐，逐步成为中考的又一热点.
　　典例8　给出下列算式：
　　32-12=8=8×1，
　　52-32=16=8×2，
　　72-52=24=8×3，
　　92-72=32=8×4，
　　……观察上面一系列等式，你能发现什么规律？用代数式来表示这个规律．
　　【解析】观察等式，不难发现其规律：两个相邻的奇数的平方差是8的倍数．由此，设n为自然数，则相邻的两个奇数为2n-1和2n+1，用代数式表示为(2n+1)2-(2n-1)2=2×4n=8n．
　　【中考预测】本题以实数为载体，体现了用字母表示数的简明性和普遍性，蕴含着一种数学简洁的美．同时可考查学生的观察能力和抽象概括能力，渗透从特殊到一般的辩证关系．该题是通过观察给出的运算，找到反应其规律的表达式．这是中考中的一热点问题，此类问题不仅考查学生对知识的掌握，同时考查学生观察分析的能力.猜想性问题是近年来中考的一个热点题型，它具有一定的开放性、探索性，其知识性强，思维能力要求较高．它仍将是新课标命题的方向.