圆与圆的位置关系教学设计.docx

圆与圆的位置关系
崔世轮 绥德中学
本节课的教学内容选自北师大普通高中课程标准实验教科书数学必修2 第二章2.3.2《圆与圆的位置关系》是第2课时．

教学内容分析
1、《圆》的地位与作用
《课程标准》指出：在“解析几何初步”这个单元, “学生将在平面直角坐标系中建立直线和圆的代数方程，运用代数方法研究几何性质，体会数形结合的思想”。
第四章《圆》是在学生学习了第三章《直线方程》之后，对“解析法”的思想的进一步学习。初中的教学中已经初步介绍了圆的基础知识，再次学习的时候，不仅要让学生能够使用“解析法“的工具，更要体会这种方法的优越性和必要性。
2、本节课的地位与作用
“圆与圆的位置关系”位于“解析几何初步”这个单元的末尾，应该起到三个作用：
（1）完善圆的知识体系；
（2）升华数形结合思想；
（3）为后续教学做准备。
教学目标设置
1.学生掌握判断两个圆的位置关系的方法，能够根据给定的圆的方程判断圆与圆的位置关系
2.学生理解两种判断方法的数学本质与不同的适用范围，从而进一步感受“几何问题代数化”得以
实现的数学本质，也就是曲线与方程的关系。
其中教学的重点是：圆与圆的位置关系的两种判定方法的操作步骤；教学的难点是：两种判断方法的数学本质与适用范围
学生学情分析
此时的学生处于从初中到高中的转型期，常常感觉旧的学习方法不适于学习更加抽象的高中知识，所以，他们不仅需要透彻理解数学原理，而且，对学习方法也有渴求。
在本节课之前，学生已经学习了直线和圆的方程，直线与圆的位置关系，初步了解了“坐标法”的特征。
教学策略分析
为了实现教学目标，我设计了“三层四段五问”教学模式。
1、准备阶段，包括预习、复习、目标展示等环节；
2、探究阶段。这是课堂的主体，解决是什么、怎么用、何时用的问题。
3、运用阶段，包括模仿练习、比较练习、巩固练习等。我将它们穿插在问题解决的过程中 。
4、建构阶段，包括为什么学和怎样发展两个问题，使得新知识融入旧的知识体系，并促进知识体系的再生长。
“是什么、怎么用、何时用、为什么学和怎样发展”等五个问题，对应着数学知识学习的三个层次：数学工具品质、认知品质和研究品质。这样，可以使得不同水平的学生均能有所收获。

教学流程框图
本节课希望以清晰的脉络，让学生体会知识产生发展的过程，逐步培养适合新知识的学习方式。教学的主要过程设计如下：

（一）预习候课
（二）概念复习
（三）明确任务
复习引入阶段

第一部分：怎么用
（一）怎样判断两圆关系？
策略一：d-r比较法
（二）怎样判断两圆关系？
策略二：联立方程法
（三）强化练习
第二部分：何时用
（四）两种策略比较
（五）核心思想深化
（六）逆向练习

问题解决阶段

（一）为什么再次学习“圆与圆的位置关系“？
（二）学完了这节课之后，你还能提出哪些与两圆位置关系相关的新问题？
（三）布置作业

问题生成阶段

教学过程设计
第一阶段 ——复习引入阶段 （计划用时4分钟）
分为四个步骤：（一）侯课阶段、（二）概念复习、（三）明确任务
预计时间
教学内容
教师活动
学生活动
教学评价

0分钟

预习候课
操作：展示本节课题和课前预习问题：
1、圆与圆的位置关系有哪几种情况？你还记得初中课本中是如何定义的吗？
2、通过学习课本中例题3，归纳利用两种方法判断圆与圆的位置关系的步骤。
3、回答例3旁注中的问题“两圆方程作差之后的直线有什么特征？为什么？”

1、预知教学内容，逐渐进入教学状态。
2、准备与本节课相关的教材及其它工具。
我们经常见到当老师开始上课后，学生才匆匆忙忙寻找相关书籍或作业的情景。所以，在侯课阶段，屏幕上投影一些暗示教学内容的材料，会有很好的效果。

3分钟

概念复习
1、导言：今天我们学习的内容是圆与圆的位置关系。那么，圆与圆的位置关系一共有多少种呢？
（学生齐答：五种）
在自学作业中，同学们已经归纳了位置关系，我选择两个同学的作业来展示。
2、操作：展示两名学生对自学问题1（圆与圆的位置关系有哪几种情况？你还记得初中课本中是如何定义的吗？）的回答。
3、点评：第一名同学不仅给出了位置关系分类，而且画出了示意图。但是，在名称中有一处错误，同学们看出来了吗？
此外，第一名同学给出的定义实际上是判定方法，而第二名同学的定义才与教材相符。
4、操作：展示初中教材内容以及思维导图，教师进行讲解。
1、展示预习作业，回忆两圆位置关系的定义
2、发现屏幕中投影的作业中存在的问题，完善“相离包含外离和内含”这一认识。

通过展示作业发现学生中存在的问题，使得讲解更有针对性；利用初中的知识创造先行组织者，也为课堂后期的对比打下伏笔。

1分钟

明确任务
1、导言：今天，我们再一次来学习圆于圆的位置关系，我想重点说明三个问题：第一个，怎样判断位置关系；第二个，不同判断方法的本质与适用范围；第三个，我们为什么要再次学习两个圆的位置关系？
2、操作：投影本节课的教学任务。

感知本节课的教学内容
由于本节课的内容学生初中学过，又经过了课前预习，学生很可能自我感觉良好，产生倦怠情绪。这时，明确告诉学生这节课要讲什么，他会意识到，原来还有这么多问题我们没有想到啊。
第二阶段——问题解决阶段 （计划用时34分钟）
第一部分：怎么用
分为三个步骤：（一）怎样判断两圆关系？策略一：d-r比较法（二）怎样判断两圆关系？策略二：联立方程法（三）强化练习

预计时间
教学内容
教师活动
学生活动
教学评价

8分钟

怎样判断两圆关系？
策略一
1、导言：首先，我们来探索怎样判断两个圆的位置关系。
教材中仅仅有一个例题，讲了两种方法。同学们在自学作业中也进行了归纳。这两种判断方法各是怎样的呢？
2、操作：展现例题
（教材例3）已知圆，圆。试判断圆和圆的位置关系。
3、操作：展现两名学生对自学问题2（通过学习课本中例题3，归纳利用两种方法判断圆与圆的位置关系的步骤。）的回答。

4、点评：我能感受到同学们基本掌握了判断两圆位置关系的方法，但是，如果更加条理分明一些是不是更好呢？
5、操作：展示“d-r比较法”的解答步骤，并实际板演解题过程。在此过程中，特别要讲解如何比较的大小关系，否则，会有一些学生明明知道如何判断，却不能得出最后结果。
方法1：平方比较
方法2：中间值比较
（注意到而）
5、归纳：与学生共同归纳出利用“d-r比较法”的解题流程。
6、操作：利用《几何画板》直观演示不同的关系，列表展示其判断条件。

与教师共同归纳利用“d-r比较法”的解题流程
第一步：化成标准形式
第二步：计算圆心距离d以及
第三步:比较d与的关系

通过“展现学生解答——展现教师解答——共同总结归纳——动态演示”等环节，帮助学生牢固的掌握知识技能。归纳简洁的判断流程，就可以加强教学效果，又可以为不久之后要学习的“算法”埋下伏笔。

8分钟

怎样判断两圆关系？
策略二
1、导言：我们又学了一种方法，称为”联立方程法“。怎么操做呢？
2、操作：板演利用“联立方程法”的解题过程，并指导学生重新归纳解答步骤。
3、点评：教师总结解答步骤。第一步，联立方程。这时，我们对比“d-r比较法”。我们为了方程好解，是不是一般方程更好一些呀？而曾经的时候，为了得到圆心和半径，
我们化成标准式。第二步，消元变成关于x或y的方程。怎么消元呢？要看具体情况来做了。变成了一个方程之后，第三步，我们开始判断根的个数。有时可以解出来，解不出来时可以用判别式来判断
3、导言：现在，我们想一个深层次的问题，联立方程法的原理是什么？它本来是一个几何问题，结果变成了一个方程的问题，这种思想叫什么？
（学生齐答：数形结合！）
要研究的是两个圆的交点，而我们却把它变成了两个方程的解，交点的个数就等价于解的个数。这个过程，就是把几何问题代数化这是整个解析几何的基础
4、板书：

独立归纳利用“联立方程法”的解题流程。
学生可能的归纳如下：
第一步：联立方程；
第二步：消元解方程。

在上一步共同归纳的基础上，由学生独立完成解题流程的归纳，可以锻炼学生的总结分析能力。

3分钟

强化练习
1、导言：我们把例题的两种解法都学完了之后，需要大家去训练，学会这些方法。下面看练习1，要求大家用两种方法完成这道目。
2、操作：投影练习1，指导学生用两种方法解决。
已知圆，圆，试判断圆和圆的位置关系。
2、操作：投影展示两名学生的解答过程。
3、点评：指出学生解答的优点与不足。
学生自主完成强化练习。

这两种方法的讲解都是用传统的“演示——归纳——练习”模式，保证所有学生掌握两种判断方法。归纳简洁的判断流程，就可以加强教学效果，又可以为不久之后要学习的“算法”埋下伏笔。

第二部分：何时用
分为三个步骤：（一）两种策略比较（二）核心思想深化（三）逆向练习

预计时间
教学内容
教师活动
学生活动
教学评价

6分钟

两种策略对比

1、导言：这两种方法学完了，在操作实践的基础上，我想问大家一个问题。这两种方法，哪个更好一些呢？
（学生议论纷纷）
好，争论暂时停一下吧。到底哪个更好呢?我想如果有更多的经验更好一些
所以，咱们再来完成两个题目。当你把这两道题做完之后，先独立思考一下，三分钟之后，同学们可以互相交流一下自己的想法。
2、操作：展示两个练习。
练习2、已知曲线与曲线。试判断有几个交点。
练习3、已知曲线与曲线。试判断有几个交点

3、操作：教师结合学生发言，展示上述两题的示意图与解答。

4、归纳：利用表格形式，展示两种策略的适用范围及判断方法。

5、点评：判断什么好什么坏是辩证的，没有一个万能的方法解决所有的问题，我们要具体问题具体分析。针对这节课来讲，我们判断的是圆与圆的位置关系，还是用第一种方法，“d-r比较法”更好一些。
之所以“d-r比较法”看起来更好一些，是由于圆自身的完全对称性；而“联立方程法”在判断其他曲线的位置关系时更有普遍性。

1、自主完成两个练习。
2、小组交流对两种策略的比较。
3、小组代表发言，阐述观点

“一题多解”是锻炼学生发散思维的一种有效手段，但是，之后的“多解归一”更重要。“归一”常有两种方式，一是比较不同方法的特征，从中选择一种最佳的；二是从中寻找这些方法的共同本质，加深学生的认识。

6分钟

核心思想深化

1、导言：利用“联立方程法”，还有一个附加的产品。我们看自学作业中的问题3：“两圆方程作差之后的直线有什么特征？为什么？”
2、操作：展示两名同学的回答。
3、点评：回答的关键是“符合两圆方程的点的坐标必然符合直线方程” 。两圆交点代数化后是方程的解，如果这个方程的解符合直线方程，则说明直线方程过两点。这节课一直在进行代数问题和几何问题的转换。这不就是数形结合的思想吗？
4、操作：证明两圆方程作差之后的直线方程就是相交弦所在直线方程
5、板书：

完善课前预习问题3的回答，体会数与形相互转化的过程。
这一部分既解决了教材中提出的问题，又体现了“多解归一”的第二种方式：从中寻找这些方法的共同本质。

3分钟

逆向训练

1、导言：经过比较我们已经知道，用“d-r比较法”比用“联立方程法”对圆来讲更适合一些。所以，既然我们选它就要用好它。第二组练习都是已知了它们的关系或者说能判断出关系，反过来求参数的取值范围

2、操作：要求学生完成两个巩固性的逆向训练：
练习4：集合，，其中，若中有且仅有一个元素，则的值是_____.
练习5：已知圆与没有公共点，求正数a的取值范围。
3、操作：教师点名选择两名同学回答 ，要求说出结果和简要思维过程。
注意，每道题都是两种情况。练习4答案，；练习5答案，。

1、自主完成练习
2、回答结果和思维过程
学生通过这两个练习，在已经学会了判断两圆关系的基础上，从逆向掌握“已知两圆关系，求参数“的问题。同时，强化了严密的思维习惯。

第三阶段——问题生成阶段 （计划用时7分钟）
分为三个步骤：（一）为什么再次学习“圆与圆的位置关系“？（二）学完了这节课之后，你还能提出哪些与两圆位置关系相关的新问题？（三）布置作业

预计时间
教学内容
教师活动
学生活动
教学评价

3分钟

再次学习的原因

1、导言：初中我们已经学过了圆与圆的位置关系，那么，高中为什么要在学一次呢？请结合本节课乃至本章的学习，谈谈你的观点。
2、操作：引导学生举手回答问题。
3、点评：初中学习两圆位置关系，注重的是直观特征；高中再次学习，是在引入坐标系的基础上，侧重于量的的计算。从这个意义上说，我们今天所学的d-r比较法与联立方程的方法本质上是同一种方法——坐标法。
利用坐标法研究几何问题，不仅仅是一种看起来“高大上”的手段，而且，它确实能够起到细致入微的作用。这再一次证明了华罗庚先生的名言：“数缺形时少直观，形少数时难入微。数形结合百般好，隔离分家万事休。“

思考并表达个人观点。
这部分内容可以起到很好的分层教学的效果。确实有一些学生，不满足于仅仅会做题，而希望清楚地知道知识的来龙去脉；教师所能做的，就是通过自己的引领示范，让这样的学生不断增多。同时，这部分起到了小结的作用，但比传统的小结更能吸引学生。
此外，“日全食”的例子再次出现，具有前后呼应的效果。

3分钟

提出新问题
1、导言：这节课我们学习了利用“d-r比较法”和“联立方程法“判断两个圆的位置关系的方法。接下来的时间交给同学们，你还能提出哪些与两圆位置关系相关的新问题？
2、操作：提供给学生样例
例如:相交弦的长度怎样求？
例题：已知圆，圆。求两圆相交所得弦的长度。
3、预案：
(1)对于学生提出的“怎样求相离两圆的最近距离”这类基础性的问题以及“怎样求两个圆的公切线方程”这类综合性的问题，都可作为研究型的作业，要求学生合作完成。
(2)可能有同学提出“若两个不相交的圆的方程相减，所得是什么？”这是非常漂亮的问题，但是解决方法已经超出了《课程标准》的要求，教师应建议有兴趣的同学在课下利用网络搜索“圆的根轴”。同时，可以对学生进行态度与价值观引导：“提出问题比解决问题更重要，质疑与创新才是一个民族不断进步的核心动力！”
(3)如果学生提出问题较少，可以让学生短暂展示教师整理得的知识体系。

积极提出与两圆位置关系相关的新问题。
让学生提出问题，可以锻炼他们的发散思维和类比思维能力，也对培养学生的研究精神有益。同时，我想潜移默化的告诉学生：任何一节课都不是知识的结束，而是一个新的开始。

1分钟
布置作业
独立作业：习题4.2 A组第4、9、10、11题，B组第5题
合作作业：整理与两圆位置关系相关的题目类型，并编写例题，探索解决策略。

板书设计
标题

投影区

解答区1

解答区2

演算区

11