三角形内角和定理的证明教案.doc

§6.5 三角形内角和定理的证明
●教学目标
（一）教学知识点
三角形的内角和定理的证明.
（二）能力训练要求
掌握三角形内角和定理，并初步学会利用辅助线证题，同时培养学生观察、猜想和论证能力.
（三）情感与价值观要求
通过新颖、有趣的实际问题，来激发学生的求知欲.
●教学重点
三角形内角和定理的证明.
●教学难点
三角形内角和定理的证明方法.
●教学方法
实验、讨论法.
●教具准备
三角形纸片数张.
投影片数张
●板书设计
§6.5 三角形内角和定理的证明
一、三角形内角和定理
三角形三个内角的和等于180°

图6－48
已知，如图6－48，△ABC.
求证：∠A+∠B+∠C=180°
证明：作BC的延长线CD，过点C作射线CE∥BA，则：∠A=∠ACE（）
∠ECD=∠B（）
∵∠ECD+∠ACE+∠ACB=180°（）
∴∠A+∠B+∠ACB=180°（）
二、议一议
三、课堂练习
四、课时小结
五、课后作业

●教学过程
Ⅰ.巧设现实情境，引入新课

图6－37
当点A离BC越来越近时,∠A越来越接近180°,而其他两角越来越接近于 0°.
当点A远离BC时，∠A越来越趋近于0°,而AB与AC逐渐趋向平行，这时，∠B、∠C逐渐接近为互补的同旁内角.即∠B+∠C→180°.
请同学们猜一猜：三角形的内角和可能是多少？
实验1：先将纸片三角形一角折向其对边，使顶点落在对边上，折线与对边平行（图6－38（1））然后把另外两角相向对折，
使其顶点与已折角的顶点相嵌合（图（2）、（3）），最后得图（4）所示的结果.

（1） （2） （3） （4）
图6－38
实验2：将纸片三角形三顶角剪下，随意将它们拼凑在一起.
由实验可知：我们猜对了！三角形的内角之和正好为一个平角.
但观察与实验得到的结论，并不一定正确、可靠，这样就需要通过数学证明.那么怎样证明呢？

图6－39
这里有两个全等的三角形，我把它们重叠固定在黑板上，然后把三角形ABC的上层∠B剥下来，沿BC的方向平移到∠ECD处固定，再剥下上层的∠A，把它倒置于∠C与∠ECD之间的空隙∠ACE的上方.
这时，∠A与∠ACE能重合吗？

图6－40
已知：如图6－40，△ABC.
求证：∠A+∠B+∠C=180°
证明：作BC的延长线CD，过点C作射线CE∥AB.则
∠ACE=∠A（两直线平行，内错角相等）
∠ECD=∠B（两直线平行，同位角相等）
∵∠ACB+∠ACE+∠ECD=180°（1平角=180°）
∴∠A+∠B+∠ACB=180°（等量代换）
即：∠A+∠B+∠C=180°.
在证明过程中，我们仅仅添画了一条射线CE，使处于原三角形中不同位置的三个角，巧妙地拼凑到一起来了.为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线.
我们通过推理的过程，得证了命题：三角形的内角和等于180°是真命题，这时称它为定理.即：三角形的内角和定理.

图6－41
在证明三角形内角和定理时，小明的想法是把三个角“凑”到A处，他过点A作直线PQ∥BC.（如图6－41）他的想法可行吗？
你有没有其他的证法.
∵PQ∥BC（已作）
∴∠PAB=∠B（两直线平行，内错角相等）
∠QAC=∠C（两直线平行，内错角相等）
∵∠PAB+∠BAC+∠QAC=180°（1平角=180°）
∴∠B+∠BAC+∠C=180°（等量代换）

图6－42
［生乙］也可以这样作辅助线.即：作CA的延长线AD，过点A作∠DAE=∠C（如图6－42）.

图6－46
2.如图6－46,已知，在△ABC中，DE∥BC，∠A=60°,∠C=70°,求证：∠ADE=50°.
证明：∵DE∥BC（已知）
∴∠AED=∠C（两直线平行，同位角相等）
∵∠C=70°（已知）
∴∠AED=70°（等量代换）
∵∠A+∠AED+∠ADE=180°（三角形的内角和定理）
∴∠ADE=180°－∠A－∠AED（等式的性质）
∵∠A=60°（已知）
∴∠ADE=180°－60°－70°=50°（等量代换）
（二）读一读P197.
（三）看课本P195~196，然后小结.
Ⅳ.课时小结
这堂课，我们证明了一个很有用的三角形内角和定理.证明的基本思想是：运用辅助线将原三角形中处于不同位置的三个内角集中在一起，拼成一个平角.辅助线是联系命题的条件和结论的桥梁，今后我们还要学习它.
Ⅴ.课后作业
（一）课本P198习题6.6 1、2
（二）1.预习内容P199~200
Ⅵ.活动与探究
1.证明三角形内角和定理时，是否可以把三角形的三个角“凑”到BC边上的一点P？（如图6－47（1）），如果把这三个角“凑”到三角形内一点呢？（如图6－47（2））“凑”到三角形外一点呢？（如图6－47（3）），你还能想出其他证法吗？

（1） （2） （3）
图6－47
［过程］让学生在证明这个题的过程中，进一步了解三角形内角和定理的证明思路，并且了解一题的多种证法，从而拓宽学生的思路.
［结果］证明三角形内角和定理时，既可以把三角形的三个角“凑”到BC边上的一点P，也可以把三个角“凑”到三角形内一点；还可以把这三个角“凑”到三角形外一点.
证明略.

五、课后反思
在此设计教学内容时，我让学生自己动手探求新知识，有意识地用数学实验的方法来创设问题的情境，可以使学生在动手的体验、感受“做”数学的乐趣，培养合作交流的能力。实验情境的创设有利于学生将学习与生活经验融为一体。教师在引导学生探求新知时，通过为学生提供思维材料，调动学生主动参与新知的探究，有助于学生在操作、观察的过程中，形成渐渐清晰的数学概念与数学结论。
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