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一元二次方程复习教案(2 课时)

教学目标
1．能够利用一元二次方程解决有关实际问题并能根据问题的实际意义检验结果的合理性，进一步培养学生分析问题、解决问题的意识和能力．
2．了解一元二次方程及其相关概念，会用配方法、公式法、分解因式法解简单的一元二次方程，并在解一元二次方程的过程中体会转化等数学思想．
3．经历在具体情境中估计一元二次方程解的过程，发展估算意识和能力．
教学重点
会用配方法、公式法、分解因式法解简单的一元二次方程
教学难点
根据方程的特点灵活选择解法。并在解一元二次方程的过程中体会转化等数学思想．
教学过程
一：【课前预习】
（一）：【知识梳理】
1、相关概念
（1）一元二次方程：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。
（2）一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)，
其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。
（3）一元二次方程的根：一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。
用“夹逼”法估算出一元二次方程的根的取值范围．
一次方程：一元一次方程，二元一次方程，三元方程
整式方程 二次方程：一元二次方程，二元二次方程
*（4）有理方程 高次方程：
分式方程

2、降次——解一元二次方程
（1） 配方法：通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法．
配方法是为了降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解．其步骤是:
①方程化为一般形式；
②移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；
③化二次项系数为1；
④配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方，使方程左边是完全平方式，
从而原方程化为（mx+n）2=p的形式；
⑤如果p≥0就可以用开平方降次来求出方程的解了，如果p<0，则原方程无实数根。
（2）公式法：利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．
其方法为：先将一元二次方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当⊿＝b2－4ac≥0时，
将a、b、c代入求根公式x=（b2-4ac≥0）就得到方程的根．
（3）分解因式法：先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0,从而降次．这种解法叫做因式分解法．步骤是：
①通过移项将方程右边化为0；
②通过因式分解将方程左边化为两个一次因式乘积；
③令每个因式等于0，得到两个一元一次方程；
④解这两个一元一次方程，得一元二次方程的解。

3、一元二次方程根的判别式
（1）⊿＝b2－4ac叫一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式。
（2）运用根的判别式，在不解方程的前提下判别根的情况：
①⊿=b2－4ac ＞0 方程有两个不相等实数根；
②⊿=b2－4ac =0 方程有两个相等实数根；
③⊿=b2－4ac ＜0 方程没有实数根；
④⊿=b2－4ac ≥0 　方程有两个实数根。
（3）应用：
①不解方程，判别方程根的情况；
②已知方程根的情况确定方程中字母系数的取值范围；
③应用判别式证明方程的根的状况（常用到配方法）；
注意：运用根的判别式的前提是该方程是一元二次方程，即：a≠0。

4、一元二次方程根与系数的关系
（1）如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根是，
那么
（2）应用：
①验根，不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根；
②已知方程的一个根，求另一根及未知系数的值；
③已知方程的两根满足某种关系，求方程中字母系数的值或取值范围；
④不解方程可以求某些关于的对称式的值，通常利用到：

当=0且≤0，两根互为相反数；
当⊿≥0且=1，两根互为倒数。
（重点强调：一元二次方程根与系数的关系是在二次项系数a≠0，⊿≥0前提条件下应用的，解题中一定要注意检验）
⑩用公式法因式分解二次三项式ax2+bx+c(a≠0)：
ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2）其中是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根
（二）：【课前练习】
1. 用直接开平方法解方程，得方程的根为（ ）
A. B.
C. D.
2. 方程的根是（ ）
A．0 B．1 C．0，－1 D．0，1
3. 设的两根为，且＞，则＝ 。
4. 已知关于的方程的一个根是－2，那么＝ 。
5. ＝
二：【经典考题剖析】
1. 分别用公式法和配方法解方程：
分析：用公式法的关键在于把握两点：①将该方程化为标准形式；②牢记求根公式。用配方法的关键在于：①先把二次项系数化为1，再移常数项；②两边同时加上一次项系数一半的平方。
2. 选择适当的方法解下列方程：
（1）； （2）
（3）； （4）
分析：根据方程的不同特点，应采用不同的解法。（1）宜用直接开方法；（2）宜用配方法；（3）宜用公式法；（4）宜用因式分解法或换元法。

3. 已知，求的值。
分析：已知等式可以看作是以为未知数的一元二次方程，并注意的值应为非负数。

4. 解关于的方程：
分析：学会分类讨论简单问题，首先要分清楚这是什么方程，当＝1时，是一元一次方程；当≠1时，是一元二次方程；再根据不同方程的解法，对一元二次方程有无实数解作进一步讨论。

5. 阅读下题的解答过程，请你判断其是否有错误，若有错误，请你写出正确答案．
已知：m是关于x的方程mx2 －2x＋m＝0的一个根，求m的值．
解：把x=m代人原方程，化简得m3=m，两边同时除以m，得m2 =1，所以m=l，
把=l代入原方程检验可知：m=1符合题意，答：m的值是1．

三：【课后训练】
1、在下列方程中，是一元二次方程的有________个．
①3x2+7=0 ②ax2+bx+c=0 ③（x-2）（x+5）=x2-1 ④3x2-=0
2、当m 时,关于x的方程(m+2)x|m|+3mx+1=0是一元二次方程.
3、方程3x2-3=2x+1的二次项系数为________，一次项系数为_________，常数项为_________．
4、根据下列表格的对应值：
x
3.23
3.24
3.25
3.26
ax2+bx+c
-0.06
-0.02
0.03
0.09
判断关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根x的取值范围是________。
5、已知方程5x2+mx-6=0的一个根是x=3，则m的值为________．
6、已知三角形两边长分别为2和4，第三边是方程x2-4x+3=0的解，则这个三角形的周长是_____．
7、已知x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0，则x+y+z的值是_____．
8、已知2和是关于的方程的两个根，则的值为 ，的值为 .
9、已知方程的两根为，则的值为 。
10、一个小组若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，则这个小组共_____人．
11、一个两位数等于它的个位数的平方，且个位数字比十位数字大3，则这个两位数为_______．
12、解下列方程：
⑴ ⑵
⑶ ⑷

13、若关于的一元二次方程有两个实数根，求的取值范围.

14、已知方程x2+(2k+1)x+k2-2=0的两实根的平方和等于11,求k的值。

15、k为何值时，方程x2-（k+1）x+(k-2)=0
（1）两根互为相反数；（2）两根互为倒数；（3）有一根为零，另一根不为零.

16、如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=8m，CB=6m，点P、Q同时由A，B两点出发分别沿AC、BC方向向点C匀速移动，它们的速度都是1m/s，几秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半．

17、已知△ABC的两边AB、AC的长是关于的一元二次方程
的两个实数根，第三边BC的长是5。
（1）为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形；
（2）为何值时，△ABC是等腰三角形，并求△ABC的周长。

四：【课后小结】

布置作业 见学案
教学反思