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函数的单调性教学设计

单位：蓝田县玉山中学
科目：高中数学
姓名：贾娟妮
日期：二0一四年十二月

函数的单调性教学设计
【三维目标】
   1．知识与技能：使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念，初步掌握利用函数图像和单调性定义判断、证明函数单调性的方法。
2．过程与方法：通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合数学思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高学生的逻辑推理能力。
3．情感态度与价值观：通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，让学生经历从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程。
【教学重点】 函数单调性的概念、判断及证明。
【教学难点】 归纳抽象函数单调性的定义以及根据定义证明函数的单调性。.com
【教学方法】 教法启发引导式，学法合作探究学习。
【教学手段】 借助多媒体
【教学过程】
一、创设情境，引入课题
下图是兰州市今年5月1日一天24小时内气温随时间变化的曲线图。　　　　　　　
引导学生识图，捕捉信息，启发学生思考。
问题：观察图形，能得到什么信息？[来源:学+科+网]
预案：(1)当天的最高温度、最低温度以及何时达到；
(2)在某时刻的温度；
(3)某些时段温度升高，某些时段温度降低。

在生活中，我们关心很多数据的变化规律，了解这些数据的变化规律，对我们的生活是很有帮助的。
问题：还能举出生活中其它的数据变化情况吗？
预案：水位高低、燃油价格、股票价格等。
归纳：用函数观点看，其实就是随着自变量的变化，函数值是变大还是变小。
二、探究发现，形成概念
对于自变量变化时，函数值是变大还是变小，初中同学们就有了一定的认识，但是没有严格的定义，今天我们的任务首先就是建立函数单调性的严格定义。
1.借助图像，直观感知
在初中学习过一次函数、二次函数、反比例函数，我们来看几个函数的图像。
问题1：分别作出函数y=x,y=x2的图像，并且观察自变量变化时，函数值有什么变化规律？

看图跟学生一起由图形看到了什么，提问并总结。
①以上两个函数的定义域和值域分别是什么？x k b 1 . c o m
② 观察图像，分析在x变化时，y是如何变化的？
预案：
(1) 对f(x) = x函数 在整个定义域内，从左往右观察图形， y随x的增大而增大；
(2) (2)对于函数，从左往右观察图形，在上y随x的增大而减小，在上 y随x的增大而增大。
强调：明确函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，是函数的局部性质。
引导学生再次进行分类描述 (增函数、减函数)。
问题2：能不能根据自己的理解说说什么是增函数、减函数?
预案：再次分析上面两个图像得出：如果函数在定义域内的某个区间上随自变量x的增大，y也越来越大，我们说函数在该区间上为增函数；如果函数在定义域内的某个区间上随自变量x的增大，y越来越小，我们说函数在该区间上为减函数。
教师指出：这种认识是从图像的角度得到的，是对函数单调性的直观，描述性的认识。
〖设计意图〗从图像直观感知函数单调性，完成对函数单调性的第一次认识。
2．探究规律，理性认识
问题：如何从解析式的角度说明在为增函数？
预案： (1) 在给定区间内取两个数，例如1和2，因为12<22,所以在为增函数。
(2) 仿(1)，取很多组验证均满足，所以在为增函数．
(3) 任取,因为,即，所以在为增函数。
对于学生错误的回答，引导学生分别用图形语言和文字语言进行辨析,使学生认识到问题的根源在于自变量是一个集合，或是范围，有时不可能被穷举，从而引导学生在给定的区间内任意取两个自变量。
〖设计意图〗把对单调性的认识由感性上升到理性认识的高度,完成对概念的第二次认识事实上也给出了证明单调性的方法，为证明单调性做好铺垫。
3．抽象思维，形成概念
问题：你能用准确的数学符号语言表述出增函数的定义吗?
师生共同探究，得出增函数严格的定义，然后学生模拟得出减函数的定义。
(1)单调性的定义[来源:Z*xx*k.Com]
一般的，设函数的定义域为I：
如果定义域I内的一个区间A上，对于任意两个数x1、x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(X)在这个区间A上是增函数。
如果定义域I内的一个区间A上，对于任意两个数x1、x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说f(X)在这个区间A上是减函数。
(2)巩固概念
判断题：
①.
②若函数．
③若函数在区间和(2,3)上均为增函数，则函数在区间(1,3)上为增函数。
④因为函数f(x)= 在区间上都是减函数，所以
f(x)= 在上是减函数。
通过判断题，强调三点：①单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性。
②对于某个具体函数的单调区间，可以是整个定义域(如一次函数)，可以是定义域内某个区间(如二次函数)，也可以根本不单调(如常函数)。
③函数在定义域内的两个区间A,B上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在上是增（或减）函数。
思考：如何说明一个函数在某个区间上是不是单调函数?
〖设计意图〗让学生由特殊到一般，从具体到抽象归纳出单调性的定义，通过对判断题的辨析，加深学生对定义的理解，完成对概念的第三次认识。
三、 掌握证法，适当延展
例1.下图是定义在区间[-5，5]上的函数y=f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每个区间上,它是增函数还是减函数？
解:函数y=f(x)的单调区间有
[-5, -2), [-2,1), [1, 3), [3, 5].
其中y=f(x)在区间[-5, -2), [1, 3)上是减函数，
在区间[-2, 1), [3, 5] 上是增函数.

例2.证明：函数 在 上是增函数证明：在区间 上任取两个值 且
.
证明：在区间上任取两个值1 ，2且1<2 取值
则 做差
变形
且
即 断号
所以函数f(x)=3x+2在区间上是增函数 定论
2．归纳解题步骤
引导学生归纳证明函数单调性的步骤：设元、作差、变形、断号、定论。 
练习：证明函数在上是增函数。
问题：要证明函数在区间上是增函数，除了用定义来证，如果可以证得对任意的，且有可以吗?
引导学生分析这种叙述与定义的等价性．让学生尝试用这种等价形式证明函数在上是增函数。
〖设计意图〗初步掌握根据定义证明函数单调性的方法和步骤．等价形式进一步发展可以得到导数法，为用导数方法研究函数单调性埋下伏笔。
四、归纳小结，提高认识
学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受，师生合作共同完成小结。
1．小结
(1) 概念探究过程：直观到抽象、特殊到一般、感性到理性。
(2) 证明方法和步骤：取值、作差、变形、断号、定论。
(3) 数学思想方法和思维方法：数形结合，等价转化，模拟等。
2．作业
书面作业：课本第39页 习题2-3 第4，5题。
课后探究：
1.研究函数的单调性，并结合描点法画出函数的草图。
2.已知定义在R上的函数f(x)对任意实数x1、x2，满足f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+2,当x﹥0时，有f(x)﹥-2.求证：f(x)在（-∞，+∞）上是增函数。

贾娟妮
二○一四年十二月十一日