垂径定理教学设计.docx

课 题：24.1.2垂直于弦的直径

教
学
目
标
1.知识目标： (1) 经历折纸活动使学生理解圆的轴对称性；
(2)掌握垂直于弦的直径所具有的性质；
(3)能够运用垂直于弦的直径的性质解决有关的证明和计算问题．
2.能力目标：在探索问题的过程中培养学生的动手操作能力、观察能力、分析能力，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法；培养学生独立探索、相互合作交流的精神.
3. 情感目标：经历将已学知识应用到未学知识的探索过程，发展学生的数学思维，使学生领会数学的严谨性，培养学生实事求是的科学态度和积极参与的主动精神．
教学重点
垂直于弦的直径的性质、推论以及证明．
教学难点
利用垂直于弦的直径的性质解决实际问题．
教学方法
创设情境—启发探究—合作交流—应用提高．
教学手段
多媒体投影、计算机辅助教学，自制教具实验辅助.
教学过程设计
教师活动
学生活动
设计意图
一、情境导入:
引入：在1400多年前，隋朝的石匠李春设计和参加建造了一座世界闻名的桥——赵州桥.请同学们观看一段视频，这段视频中藏有一数学问题，请同学们认真观看.
播放赵州桥简介视频.
问题：你能求出赵州桥主桥拱所在圆的半径吗？
二、自主探究:
【自主探究一】
用纸剪一个圆（课前准备好若干个），沿着圆的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？
教师引导学生归纳圆的轴对称性，注意学生语言的准确性和简洁性.
【自主探究二】
请同学们按下面的步骤做一做：
第一步，把一个⊙O对折，使圆的两半部分重合，得到一条折痕CD；
第二步，在⊙O上任取一点A，过点A作CD折痕的垂线，再沿垂线折叠，得到新的折痕，其中点E是两条折痕的交点，即垂足；
第三步，将纸打开，新的折痕与圆交于另一点B，画出折痕AB、CD如图．

教师提出以下问题：
（1）在上述的操作过程中，你发现了哪些相等的线段和相等的弧？
（2）你能用一句话概括上述结论吗？（板书定理内容）
（3）你能用符号语言表达这个结论吗？（板书）
引导学生对定理的文字叙述、符号语言进行条件和结论的划分（两个条件推出三个结论）
练习：如下图，能否得到AE=BE的结论？为什么？

【合作交流】
教师引导学生分析垂径定理结构：条件：①直径CD过圆心O  ②CD⊥AB 结论: ③AE=BE ④弧AC= 弧BC ⑤弧AD=弧BD.
如果交换垂径定理的题设和结论的部分语句，会有一些什么样的新结论呢？它们成立吗？
从学生组合的新结论中挑选出：
条件：①直径CD过圆心O   ③AE=BE
结论：②CD⊥AB ④= ⑤=.
进行探讨、交流，看结论是否成立.
探究：如图，CD是⊙O的直径，AB是弦（不是直径），CD与AB交于点E.如果AE=BE，那么CD与AB垂直吗？
如果弦AB是直径，结论还成立吗？
思考：你能用一句话概括上述结论吗？
三、学以致用：
回到情境引入中求赵州桥主桥拱所在圆的半径问题：
1．解决问题:如图，用表示主桥拱，设 所在圆的圆心为O，半径为R．经过圆心O 作弦AB 的垂线OC，D为垂足，OC与AB 相交于点D，根据前面的结论，D 是AB 的中点，C是的中点，CD 就是拱高．半径R即为所求．
（幻灯片展示解题过程）

C
O
E
D
A
B

2典型例题：如图，D是⊙O的弦BC的中点，A是⊙O上一点，OA与BC交于点E，已知AO=8，BC=12.
（1）求线段OD的长；
（2）当EO=BE时，求ED的长.

四、课堂小结：学生归纳本节课的收获；

五、巩固练习：
1：判断下面的论述是否正确（在相应的题号后面正确的标“√”错误的标或“×” ）
①圆的每一条直径都是它的对称轴（ ）
②垂直于弦的直线平分这条弦（ ）
③平分弦的直径垂直于这条弦（ ）
④平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦（ ）
2：如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．

六、课后作业：
1.教材89页习题24.1第9、12题
2.拓展练习：
（1） 教材89页习题24.1第10题
（2）如图，直线AB与⊙O交于C、D两点，且OA＝OB ．AC与BD相等吗？说说你的理由．

七、板书设计：
24.1.2垂直于弦的直径
一、圆的对称性：
二、垂径定理：
定理内容：
图形：
符号语言：
推论：
三、例题：
四、小结：
学生观看视频，从中发现数学问题.

【探究1】学生通过动手操作，观察操作结果，可以发现沿着圆的任意一条直径对折，直径两旁的部分能够完全重合．由此可以发现圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴或经过圆心的直线是圆的对称轴．
【探究2】
学生通过动手操作，观察操作结果，在老师的引导下，小组合作，分析、归纳归纳垂直于弦的直径的性质．

练习旨在熟练垂径定理的基本模型．

【合作交流】学生在教师的引导下，小组合作探讨，分析、归纳垂直于弦的直径的性质推论.

老师引导学生画出图形，用垂径定理的基本模型解决问题.学生在教师的引导下理解拱高

老师引导学生结合图形，分析利用垂径定理的基本模型解决问题的方法.

学生思考、归纳总结本节课的收获．

巩固练习由小组所有成员共同完成，完成后小组交流展示．巩固练习1旨在让学生熟练掌握圆的对称性、垂径定理及其推论．巩固练习2旨在让学生熟练垂径定理的运用．

课后作业第1题为课后作业，学生课后完成．第2题为拓展练习，供学有余力的同学钻研，其中（1）题应用垂径定理求出弦心距，从而求出两平行线间的距离.注意考虑弦在圆心同侧和异侧两种情况，渗透分类讨论的思想.课堂若有时间可作为课堂中的拓展练习.
激发学生探索垂径定理的兴趣.

通过【探究1】探索圆的对称性，为【探究2】探索垂径定理做准备.
通过【探究2】学生动手操作，观察操作结果，教师通过层层递进的提问，引导学生探究出垂直于弦的直径的性质，并让学生在合作探究中对垂径定理的文字语言、符号语言、图形语言三种语言的相互转化进行探究，形成整体，进而熟练掌握.这样设计培养了学生的观察能力和归纳、概括的思维能力，并使学生领略到圆的对称美，同时发展了学生的符号感，分化了难点．

【合作交流】
垂径定理的推论较多且为考察的重点，本节主要探究垂径定理及其推论的内容和应用．通过以上三个探究活动，学生经历了实际抽象、猜想探索、一般验证的探究过程，实现了从特殊到一般的思维跨越．
通过解决这一数学实际问题，使学生感受数学的灵活与精巧，体会垂径定理中蕴含的历史和文化．

培养学生的观察能力、分析能力，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法；培养学生合作交流的精神.

让学生通过归纳总结，使知识点有机的结合在一起，培养他们思维的严谨性和深刻性，提高分析和归纳的能力．

巩固练习环节的设计，让学生深入理解并掌握定理的内在关系，并能享受到合作学习的快乐，既调动了学生的积极性，又增强了学生的参与意识。在小组展示中体现了学生的主体作用，让学生真正成为学习的主人，而且在学生讲解中能进一步领悟到转化、数形结合与方程的数学思想与方法在实际中的应用．

作业设计由易到难，符合中学生思维特点，能达到对本节所学知识巩固、掌握的目的．拓展练习的设计，对提高学生的能力有一定的效果．