初一几何难题-练习题(含答案).docx

1、证明线段相等或角相等
两条线段或两个角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系。很多其它 问题最后都可化归为此类问题来证。证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角 形的性质，其它如线段中垂线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等也经常 用到。
例 1.己知：如图 1 所示，MBC中，ZC = 90°, AC=BC, AD= DB, AE = CF。
求证：DE=DF
图1
分析：由AABC是等腰直角三角形可知，ZA = ZB = 45°,由D是AB中点，可考虑 连结CD,易得CD= AD, ZDCF = 45° 0从而不难发现
证明：连结CD
AC= BC
:.ZA = ZB
•.•ZACB = 90。，AD= DB
CD=BD= AD, ZDCB = ZB = ZA
v AE = CF, ZA = ZDCB, AD = CD
:.AADE = \CDF
DE = DF
说明：在直角三角形中，作斜边上的中线是常用的辅助线；在等腰三角形中，作顶角的 平分线或底边上的中线或高是常用的辅助线。显然，在等腰直角三角形中，更应该连结CD, 因为CD既是斜边上的中线，又是底边上的中线。此题亦可延长ED到G,使DG = DE,连 结BG,证心。是等腰直角三角形。有兴趣的同学不妨一试。
例 2.巳知：如图 2 所示，AB = CD, AD=BC, AE=CF。
求证：ZE=ZF
4. A4BC中，ZBAC = 90°, ADJ_BC于 D,求证：人。v 人C+BC)
【试题答案】
1.证明：取CD的中点F,连结AF

AC = AD
:.AFLCD
:.ZAFC = ZCDE = 90°
又 Zi + Z4 = 90° , Zl + Z3 = 90°
Z4 = Z3
AC = CE
s.^ACF ^\CED{ ASA)
:.CF = ED
DE = -CD2
2, 分析：此题从和图形上看好象比拟简单，但一时乂不知如何下手，那么在证明一 条线段等于两条线段之和时，我们经常采用“截长补短”的手法。“截长”即将长的线段截 成两局部，证明这两局部分别和两条短线段相等；“补短”即将一条短线段延长出另一条短 线段之长，证明其和等于长的线段。

证明：延长CA至E,使CE=CB,连结ED
CB = CEZBCD = ZECD
CD=CD
:.\CBD M ACED
ZB = ZE
ZBAC = 2ZB
:.ZBAC = 2ZE
又 ZBAC=ZADE + ZE
:.ZADE = ZE, AD = AE
:.BC=CE = AC+AE= AC+AD
3. 证明：延长PM交CQ于R

v CQ1AP, BPLAP
:.BP I ICQ
:.2PBM = ZRCM
又 BM = CM, /BMP = OCMR
:.ABPM = NCRM
... PM = RM
:.QM是Rt\QPR斜边上的中线
..MP = MQ如图一，在锐角AABC中,CD垂直于AB于点D,E是AB上的一点.找出图中所有 的锐角三角形，并说明理由.

第一题：
图一中共有三角形 6 个，为△ABC,Z\AEC,ACED,Z\CBD,AACD,Z\ECB其中△CED,AACD,Z\CDB 为 RtA
AAEC 为钝角△,因为ZAEC=/ADC+ZECD=90o+ZECD>90。
AABC锐角△，己知条件。
ZCEB = 180°-钝角=锐角NB为锐角，
ZECB=ZACB-ZACE =锐角AECB为锐角△
共有两个锐角△,为AECB和ZXACB如图二AABC中,ZB大与ZC,AD是ZBAC的平分线，说明ZADB-ZADC=Z C-ZB成立的理由.
第二题：
・.・AD是NBAC的平分线AZBAD=ZDAC
.・•三角形内角和为180。
・•・ ZBAD+ZB+ZADB=ZDAC+ZADC+ZC・•・ ZB+ZADB=ZADC+ZC
・・・ ZADB-ZADC=ZC-ZB如图三， BO 平分ZCBA,CO 平分ZACB,MN II BC,AB=12,AC=18,aI<AAMN 的周长.
第三题
VMN II BC.\ZMOB=ZOBC
AZNOC=ZOCB•「BO 平分ZCBA
AZMBO=ZOBCVCO 平分 ZACB
AZNCO=ZOCB.-.ZMOB=ZMBO
/.ZNCO=ZOCBVZMOB=ZMBO
BM=OMVZNCO=ZOCB
・・・ON=NC•••AM+MN+NA = (AM+BM)+(AN+CN)=AB+AC=12+18=30
VAAMN的周长=30图五，己知AB=AC,AD=AE,匕1 =匕2,问OE=BD吗？说明理由.
G

G
如图四，△ ABC中,AD是BC边上的高线,AE是ZB AC的平分线,假设设匕 EAD=a,求匕C—NB.（用a的代数式表示）

第四题ZC=90°-ZDAC = 90°-[(1/2)ZBAC-a]
ZB=ZAEC-ZBAE = 90°- a-ZBAE = 90°- a-(1/2)ZBACZC-ZB
=90°-[( 1 ⑵ Z BAC-a]-(90°- a-(1 ⑵ Z BAG}=2a
如图六，由正方形ABCD边BC、CD向外作等边三角形BCE和CDF,连结AE、 AF、EF,求证：Z\AEF为等边三的形。
第六题
.・•正方形ABCD
AB=AD=BC=CDVACDF和左BCE为等边△
•.・FD=DC,・・・BE=AB,
・・・FD=BE•.・ ZADF=ZADC+ZFDC=90+60=150
ZABE=ZABC+ZCBE=90+60=150・.・ ZDFA=ZDAF= ZBAE=ZBEA=15
.\ZADF=ZABEAAADF^AABE
・.・AF=AE.•.△AFE为等腰三角形
•.・ ZFAE = ZDAB-ZDAF-ZEAB =90。-15。-15。=60。
A AAFE为等边三角形
E

图2
证明：连结AC
在脱剧？和△COA中，
v AB = CD, BC= AD, AC = CA
MBC 三 \CDA (SSS)
:.ZB = ZD
v AB = CD, AE = CF
:.BE = DF
在 ABCE■和 AZMF 中，
BE = DF= ZD
BC = DA
\BCE M \DAF (SAS)
ZE = ZF
说明：利用三角形全等证明线段求角相等。常须添辅助线，制造全等三角形，这时应注 意：
(1) 制造的全等三角形应分别包括求证中一量；
(2) 添辅助线能够直接得到的两个全等三角形。
2、证明直线平行或垂直
在两条直线的位置关系中，平行与垂直是两种特殊的位置。证两直线平行，可用同位角、 内错角或同旁内角的关系来证，也可通过边对应成比例、三角形中位线定理证明。证两条直 线垂直，可转化为证一个角等于90。，或利用两个锐角互余，或等腰三角形“三线合一” 来证。
例3.如图3所示，设BP、CQ是A43C的内角平分线，AH、AK分别为A到BP、CQ 的垂线。
A

分析：由，BH平分匕ABC,又BH_LAH,延长AH交BC于N,那么BA = BN, AH = HNo同理，延长AK交BC于M,那么CA=CM, AK = KM。从而由三角形的中位线定理,知 KH〃BC。
证明：延长AH交BC于N,延长AK交BC于M
VBH 平分 ZABC
ZABH = /NBH
又 BH±AH
... ZAHB = ZNHB = 90°
BH = BH
^ABH = ANBH (ASA)
BA = BN, AH = HN
同理，CA=CM, AK = KM
:.KH是MMV的中位线
:.KH//MN
艮[]KH//BC
说明：当一个三角形中出现角平分线、中线或高线重合时，那么此三角形必为等腰三角形。
我们也可以理解成把一个直角三角形沿一条直角边翻折(轴对称)而成一个等腰三角形。
例 4.己知：如图 4 所示，AB=AC, Z.A = 90° , AE = BF, BD = DC。
求证：FD1ED
图4
证明一：连结AD
v AB= AC, BD= DC
Z1+ Z2 = 90°, A DAE = ZDAB
•.•NR4C = 90。，BD= DC
:.BD = AD
ZB= ZDAB= ZDAE
在M座和尸中，
AE = BF, ZB = ZDAE, AD = BD
:.AADE = \BDF
:.Z3 = Z1
Z3 + Z2 = 90°
FDLED
说明：有等腰三角形条件时，作底边上的高，或作底边上中线，或作顶角平分线是常用 辅助线。
证明二：如图5所示，延长ED到M,使DM = ED,连结FE, FM, BM
M
BD = DC
ZBDM = ZCDE, DM = DE
ABDM 三 NCDE
:.CE = BM,= ZCBM
:.BM //AC
ZA = 90°
ZABM = 90°= ZA
AB = AC, BF = AE
AF = CE = BM
:.\AEF = \BFM
:.FE = FM
DM = DE
:,FDLED
说明：证明两直线垂直的方法如下：
（1）首先分析条件，观察能否用提供垂直的定理得到，包括添常用辅助线，见此题证
（2）找到待证三直线所组成的三角形，证明其中两个锐角互余。
（3）证明二直线的夹角等于90° °3、证明一线段和的问题
（一）在较长线段上截取一线段等一较短线段，证明其余局部等于另一较短线段。（截 长法）
例5.己知：如图6所示在 中，ZB = 60p, ZB AC. ZBCA的角平分线AD、CE相交于O°
求证：AC = AE+CD

分析：在 AC 上截取 AF=AEo 易知 A4EO = AAFO, /. Z1 = Z2 o 由 Z^ = 60p, 知 Z5 + Z6 = 60°, Z1 = 60° , Z2 + Z3=120°o Z1 = Z2 = Z3 = Z4 = 6(F , W：
AFOC M 3D0C, :. FC = DC 证明：在AC上截取AF=AE
v ZBAD = ACAD, AO= AO
:.A4EO 三△ArO(SAS)
Z4 = Z2
又 ZB = 60°
Z5 + Z6 = 60°
Z1 = 60°
Z2 + Z3 = 120°
Zl = Z2 = Z3=Z4 = 60°
\FOC \DOC (AAS)
:.FC = DC
即 AC=AE + CD（二）延长一较短线段，使延长局部等于另一较短线段，那么两较短线段成为一条线段，证明 该线段等于较长线段。（补短法）
例6.己知：如图7所示，正方形ABCD中，F在DC上，E在BC上，ZE4F = 45° o 求证：EF=BE + DF
G

分析：此题假设仿照例1，将会遇到困难，不易利用正方形这一条件。不妨延长CB至G, 使 BG = DF。
证明：延长CB至G,使BG = DF
在正方形 ABCD 中，ZABG = ZD = 90° , AB=AD
:.AABG = \ADF (SAS)
:.AG= AFf Z1 = Z3
又 ZE4F = 45°
Z2 + Z3 = 45°
Z2 + Z1 = 45°
即 ZGAE=ZFAE
GE = EF
:.EF = BE + DF4、中考题：
如图8所示，己知AABC为等边三角形，延长BC到D,延长BA到E,并且使AE=BD,连结 CE、DEo
求证：EC = ED

证明：作DF//AC交BE于F
AABC是正三角形
:.\BFD是正三角形
又AE=BD
AE = FD = BF
:.BA = AF= EF
艮f] EF=AC
AC//FD
:.ZEAC = ZEFD
NEAC M NDFE (SAS)
:.EC = ED题型展示：
证明几何不等式：
例题：己知：如图9所示，Z1 = Z2, AB>ACO
证明一：延长AC到E,使AE=AB,连结DE
在A4DE和M庞中，
AE = AB, Z2 = Z1, AD= AD
:.MDE = MDB
BD= DE, 4 = ZB
ZDCE > ZB
ZDCE > ZE
DE > DC, BD > DC
证明二：如图10所示，在AB」•.截取AF=AC,连结DF
图］0
那么易证 AA£>F^A4£>C
Z3= Z4, DF= DC
•; BFD> Z3, Z4> ZB
:.ZBFD > ZB
:.BD > DF
:.BD > DC
说明：在有角平分线条件时，常以角平分线为轴翻折构造全等三角形，这是常用辅助线。
【实战模拟】
1. 己知：如图11所示，中，ZC = 90°, D是AB±一点，DEJ_CD于D,交BC 于E,且有AC=AD=CE.求证：DE = 】C。

2. 己知：如图12所示，在中，ZA = 2ZB, CD是匕C的平分线。
求证：BC=AC + AD

3. 己知：如图13所示，过A4BC的顶点A,在NA内任引一射线，过B、C作此射线的 垂线BP和CQ。设M为BC的中点。
求证：MP=MQ
图］3