北京市房山区2020-2021学年高二上学期期末数学试题.docx

北京市房山区 2020-2021 学年高二上学期期末数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
x
2
y
2
1．椭圆 +
=1 的离心率是（
）
4 3
1
3
1
2
3
2
A．
B．
C．
D．
2
2
2．在空间若把平行于同一平面且长度相等的所有非零向量的起点放在同一点，则这些
向量的终点构成的图形是（ ）
A．一个球
B．一个圆
C．半圆
D．一个点
y2
- x =1
的渐近线方程为(
)
3．双曲线
2
4
1
2
2
= ±2x
A． y
B． = ±
2x
C． y
= ±
x
D． = ±
y
y
x
2
( )
= 2,-3,5
(
)
4．已知向量a
A．﹣1
与向量 = 4, ,-1 垂直，则实数 x 的值为（
）
b
x
B．1
C．﹣6
D．6
x
2
y
2
- =
5．已知双曲线
1 的焦点为 F ，F ，P 为其上一点.若点 P 到 F 的距离为 15，
64 36
1
2
1
则点 到 的距离是（
F
）
P
2
A．31
B．1
C．﹣1
D．﹣1 或 31
(
)
a
(
)
a
6．已知直线l 的方向向量a = -1,2,1 ，平面 的法向量b = -2,4, 2 ，则直线l 与平面
的位置关系是(
)
//
B．l ^a
C．l Ì a
Î
A．l a
D．l a
7．在正方体 ABCD﹣A B C D 中，向量
与向量C A 的夹角是（
1
）
AB
1 1
1
1
1
A．150°
B．135°
C．45°
D．30°
8．已知抛物线 y2 =16
=10
x 上的点 到抛物线焦点的距离m
y
，则 点 到 轴的距离
d
P
P
等于（
）
A．12
B．9
C．6
D．3
x2
y
2
+ =1
< 2
，则实数 的取值范围是
(
)
9．已知双曲线
的离心率e
k
4 k

k < 0 k > 3
或
k
-3 < < 0
A．
B．
C． -12 < < 0
D． -8 < < 3
k
k
A(-1,0)
．那
= 4x
10．如果抛物线 y2
| MF |
么
的焦点为 F ．点 M 为该抛物线上的动点，又点
的最大值是(
)
| MA |
1
2
3
A．
B．
C．
D．1
2
2
2
+ ny =1
y
表示焦点在 轴上的椭圆”的充要条件是
(
)
11．“方程mx2
2
> n > 0
n > m > 0
> 0
C． mn
mn < 0
D．
A． m
B．
12．在正方体 ABCD﹣A B C D 中，点 Q 是平面 A BCD 内的动点，且点 Q 到直线 AB
1 1
1
1
1
1
1
和直线
的距离相等，则动点 的轨迹是（
Q
）
BC
A．圆的一部分
B．椭圆的一部分
C．双曲线的一部分
D．抛物线的一部分
二、填空题
13．设 θ 是直线与平面所成的角，则角 θ 的取值范围是_____.
y
2
x
2
14．双曲线 - =1 的实轴长为_____.
16 9
15．以下三个关于圆锥曲线的命题：
| PA| - | PB |= k
①设 A， 为两个定点， 为非零常数，若
，则动点 的轨迹为双曲
P
k
B
线；
2x -5x + 2 = 0
②方程
2
的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；
x y
2
x2
2
- =1
+ y =1
有相同的焦点．
③双曲线
与椭圆
2
25 9
35
其中真命题的序号为_____（写出所有真命题的序号）.
- A B C D
16．在长方体 ABCD
AB A A
=
= 3，则二面角 A
- BC - A
的大小为
中，
1
1
1
1
1
1
_____.
( )
x2
y
2
+ =1
> >
，a b
0
F ，过点 F 的直线交椭圆
3,0
17．已知椭圆 E：
的右焦点为
a b2
2
( )
1,-1
E
，则 的方程为__________.
于 、 两点．若
A B
的中点坐标为
E
AB
三、双空题
8y
18．抛物线 x2
的准线方程是_____，焦点坐标是_____.

四、解答题
- A B C
= 3，BC
， ，点
= 4， AB = 5 AA = 4
19．如图，在直三棱柱ABC
中， AC
1
1
1
1
是 AB 的中点．
D
BC
所成的角；
（1）求异面直线
与
AC
1
AC //
（2）求证：
平面CDB1．
1
x
y
2
2
中，点 F ，F 分别是椭圆 E
: + =1(a > b > 0)
的左、
20．在平面直角坐标系
xOy
1
2
a
2
b
2
4 1
,
æ
ö
(0,b)
C
CF
右焦点，顶点 的坐标为
B
，且|
|= 2 ，点 ç
÷ 是椭圆 E 上一点，直线
B F2
3 3
è
ø
2
交椭圆于点 A．
（1）求椭圆 E 的方程；
（2）求DABC的面积．
: y = 2 px( p > 0)
21．已知F 为抛物线C
点，O为坐标原点．
的焦点，过点F 的直线交抛物线于 A， 两
B
2
（1）当抛物线C 过点 M(1,-2) 时，求抛物线 的方程；
C
（2）证明：OA OB
22．如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，PA⊥平面 ABCD，AB＝PA＝1，
上一点.
是定值．
= 3
， 是
中点， 为
E BC
AD
F
PB

（1）求证： ⊥平面 PBC；
AF
（2）当
为何值时，二面角 ﹣ ﹣ 为 45°.
C PE D
BE

参考答案
1．D
【解析】
【分析】
x
2
y
2
c
+ =1
c
=
方程可知 、 、 的值，由离心率e
由椭圆
a
求出结果．
b
4 3
a
【详解】
x
2
y
2
= 2
3 c =1
， ，
+ =1可知，a
=
解：由椭圆
，b
4 3
c 1
= =
\ 离心率e
，
a 2
故选： ．
D
【点睛】
a c
本题考查椭圆的标准方程，以及椭圆的简单性质的应用，求出 、 的值是解题的关键，
属于基础题．
2．B
【分析】
利用共面向量的概念及向量的模即可得答案．
【详解】
解：平行于同一平面的所有非零向量是共面向量，把它们的起点放在同一点，则终点在同一
平面内，又这些向量的长度相等，则终点到起点的距离为定值．
故在空间把平行于同一平面且长度相等的所有非零向量的起点放在同一点，则这些向量的终
点构成的图形是一个圆．
故选： ．
B
【点睛】
本题考查方程，关键是理解共面向量的概念，属于基础题．
3．A
【分析】
x
2
y
2
b
a
- =1
= ±
直接利用双曲线的标准方程
程即可．
的渐近线方程为 y
x ，求出双曲线的渐近线方
a2 b
2

【详解】
y2
y
= ±2x
- x =1
解：因为双曲线的标准方程为
2
，则它的渐近线方程为：
．
4
故选： A．
【点睛】
本题考查双曲线的渐近线方程的求法，考查计算能力，属于基础题．
4．B
【分析】
根据数量积的坐标计算公式代入可得x 的值．
【详解】
( )
= 2,-3,5
(
)
解：向量a
，与向量 = 4, ,-1 垂直，则
a b
= 0 ，
b
x
由数量积的坐标公式可得：2´ 4 + (-3)´ x + 5´(-1)= 0
解得 x
=1，
，
故选： ．
B
【点睛】
本题考查空间向量的坐标运算，以及数量积的坐标公式，属于基础题．
5．A
【分析】
直接利用双曲线的定义，转化求解即可．
【详解】
x y
2
2
- =1
F F
的焦点为 ， ， 为其上一点．
P
解：双曲线
64 36
1
2
PF - PF = 2a =16
所以
，
1
2
F
PF =15
若点 到 的距离为
P
，
1
1
\15- PF =16
，
2
PF = 31 PF = -1
（舍去），
解得
或
2
2
F
所以点 到 的距离是：31 ．
P
2
故选： A．

【点睛】
本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线的定义的应用，属于基础题．
6．B
【分析】
^ a
b a
2a ，判断 与 共线，即可得解l
由已知可求 =
．
b
【详解】
(
)
(
b
)
a
解： 直线 的方向向量 = -1,2,1 ，平面 的法向量 = -2,4,2 ，
l
a
\
\
b = 2a
，
^
则 与 共线，可得：l a ．
b a
故选： ．
B
【点睛】
本题考查满足线面平行的条件的判断，考查线面垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，
属于基础题．
7．B
【分析】
由题意利用正方体的性质，求出向量
【详解】
与向量C A 的夹角．
1
AB
1
ABCD - A B C D
AC//AC
， ，
解：如图，正方体
中，
//
AB A B
1
1
1
1
1
1
1
1
\ÐC A B 的补角即为向量
与向量C A 的夹角．
1 1
AB
1
1
1
DC A B 为等腰直角三角形，
1
1 1
\ÐC A B = 45° ，
1
1 1
\量
与向量C A 的夹角为180° - 45° =135° ，
AB
1
1
故选： ．
B

【点睛】
本题主要考查两个向量的夹角，正方体的性质，属于中档题．
8．C
【分析】
y
由抛物线的性质可得到焦点的距离等于到准线的距离，求出 的横坐标，即为 到 轴的
P
P
距离．
【详解】
= -4
解：由抛物线的方程可得准线方程为：x
，设 的横坐标为 ，由抛物线的性质可得
P x
0
x = 6
y
x + 4 =10
，所以
，所以 到 轴的距离为 6，
P
0
0
故选：C ．
【点睛】
考查抛物线的定义的理解，属于基础题．
9．C
【分析】
直接利用双曲线的方程，求出离心率，利用已知条件求解即可．
【详解】
x2
y
2
4 -
k
k < 0
+ =
1
解：双曲线
可知
，并且a
= 2，
c
= 4 - k
，双曲线的离心率为： =
，
e
4 k
2
1< e < 2 ，
4 - k
\ 1<
< 2，
2
解得 -12 < < 0 ，综上 -12 < < 0 ．
k
故选：C ．
【点睛】
k
本题考查双曲线的基本性质的应用，注意双曲线方程的判断，属于基础题．

10．D
【分析】
由题意可得 A在抛物线的准线上，由抛物线的性质可得抛物线上的点到焦点的距离等于到
| MF | MN
| MF |
| MA |
=
准线的距离可得
【详解】
，所 以
的最大值时，A，M ，F 三点共线，可得结果．
| MA| AM
解：由抛物线的方程可得，焦点F(1,0)
，准线方程为： x
|=| MN |
= -1， A(-1,0)
点在准线上，
| MF | | MN |
=
作
^ 准线交于 ，由抛物线的性质可得MF
，所以
，
MN
N
| MA| | MA|
| MF |
MN
MA
在三角形
中，
= cosÐMAF ，所以
的最大值时，ÐFAM
最小，
AMN
| MA |
| MF |
当 A， M ， F 上的共线时，ÐFAM
最小，所以这时
的最大值为 1，
| MA|
故选： ．
D
【点睛】
考查抛物线简单几何性质，属于基础题．
11．A
【分析】
根据椭圆的标准方程，即可得到结论．
【详解】
解：若方程表示椭圆，则m ， ¹ 0 ，
n
x
2
y
2
+ =1
1 1
则方程等价为
，
m n

y
若方程表示焦点在 轴上椭圆，
1 1
> > 0
n m
则等价为
，
> n > 0
解得： m
，
故选： A．
【点睛】
本题主要考查椭圆的定义和方程，将条件转化为标准方程形式是解决本题的关键，属于基础
题．
12．D
【分析】
由题意画出图形，证明Q 到直线
Q 的轨迹．
AB
的距离为Q 到G 点的距离，再由抛物线的定义得动点
1
【详解】
解：如图，
- A B C D
A D ^
AA B B
1
在正方体 ABCD
^ A B
中，有
平面
，则
^
，
AB
A D
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
A B Ì
A D Ì
平面
又 AB
，
= ，
平面
，
，
A BCD
1
A B A D
1
A
1
A BCD
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
\ AB ^
平面
，
A BCD
1
1
1
设
= ，连接
A B AB G
，则
^ ，垂直为G ，
QG AB
QG
1
1
1
而G 与 BC 在平面
内，且 Ï
G BC
，
A BCD
1
1
又点Q 到直线
AB
和直线
BC
的距离相等，即点Q 到G 的距离与到直线 BC 的距离相等，
1

由抛物线定义可知，动点Q 的轨迹是抛物线的一部分．
故选： ．
D
【点睛】
本题考查轨迹方程的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查抛物线定义的应用，属于中
档题．
p
13．[0， ].
2
【分析】
p
q
q
当直线在平面内或直线平行于平面时， 取最小值 0，当直线与平面垂直时， 取最大值 ，
2
q
由此能求出角 的取值范围．
【详解】
q
解： 是直线与平面所成的角，
当直线在平面内或直线平行于平面时，q 取最小值 0，
p
当直线与平面垂直时，q 取最大值 ，
2
p
é
ù
q
0,
\ 角 的取值范围是
．
ê
ú
2
ë
û
p
é
ù
0,
故答案为：
【点睛】
．
ê
ú
2
ë
û
本题考查线面角的取值范围的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，
考查运算求解能力，属于基础题．
14．8.
【分析】
直接利用双曲线标准方程，求出实轴长即可．
【详解】
y
2
x
2
- =1
解：双曲线
的实轴长为：2 = 2´ 4 = 8 ．
a
16 9
故答案为：8．
【点睛】

本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，属于基础题．
15．②③.
【分析】
（1）根据双曲线的定义知①不正确，（2）解方程知两个正根，一根大于 1 作双曲线的离心
率，一根小于 1 作椭圆的离心率，判定②正确；，（3）求出双曲线的焦点与椭圆的焦点，判
定③正确．
【详解】
F F
解：①平面内与两个定点 ， 的距离的差的绝对值等于常数
k k F F
|) 的点的轨迹叫做
( <|
1
2
1
2
双曲线，当0 < k <| AB |时是双曲线的一支，当k =| AB | 时，表示射线， ①不正确；
\
1
1
2x -5x + 2 = 0
②方程
2
的两根是 2 和 ，2 可作为双曲线的离心率， 可作为椭圆的离心
2
2
率，②正确；
( )
± 34,0
x y
2
x2
2
- =1
+ y =1
③双曲线
与椭圆
的焦点都是
，有相同的焦点，③正确；
2
25 9
35
故答案为：②③．
【点睛】
本题考查了椭圆与双曲线的定义、焦点坐标和离心率等知识，属于基础题．
16．45°.
【分析】
= a
x
DC y
设 AD
，以 D 为原点， DA 为 轴，
为 轴，
DD z
为 轴，建立空间直角坐标系，
1
- BC - A
利用向量法能求出二面角 A
的大小．
1
【详解】
解：设 AD
系，
= a
x
DC y
，以D 为原点，DA 为 轴， 为 轴，
DD z
为 轴，建立空间直角坐标
1
( )
= 0,0,1
则平面 ABC的法向量m
，
( )
C
( ) ( )
0,3,0
，
A a,0,3 ， B a,3,0 ，
1
-3 3)
0)
BC = (-a
，0， ， BA1= (0 ， ， ，
( )
n
= x, y, z
A BC
1
设平面
的法向量
，

ì ·
ïn BC = -ax =
0
y =1
，取
则 í
，得 = (0 ，1，1) ，
n
ïn BA = -3y + 3z = 0
·
î
1
- BC - A
设二面角 A
的大小为q ，
1
| m n |
2
cosq =
=
则
，
| m | | n |
2
\ = 45°
q
．
45°．
- BC - A
\ 二面角 A
的大小为
1
45°
故答案为：
【点睛】
本题考查二面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算
求解能力，属于中档题．
x
2
y
2
17． + =
1
18 9
【解析】
【分析】
y - y b
( ) ( )
( )
3,0
2
A x , y
B x , y
1
2
=
设
，
，采用“点差法”，得
，再根据直线过点 F
，
x
- x
a2
1
1
2
2
1
2
- y
1
2
( ) y
1,-1
=
和AB的中点坐标
，得
1
2
，结合椭圆中a，b，c 的关系，可求得b2 = 9 ，a2 =18 ，
x - x
1
2
即可得 的方程.
E
【详解】

( ) ( )
x
2
2
y
2
1
2
x
2
2
2
y
2
= 3，设 A x
, y
，
B x , y
，则
①，
+ =1
+ =1
②，
2
已知c
1
1
1
2
2
a
b
a
b
2
( )
1,-1 ，? 则x + x = 2 y + y = -2
已知
的中点坐标为
，
，
AB
1
2
1
2
( )( ) (
)( )
x + x x - x
y + y y - y
+
= 0
，
①－②得
1
2
1
2
1
2
1
2
a
2
b
2
y - y
b
x + x
b
2
2
( ) b
2
2
= - ×
= - ´ -1 =
∴
∵
1
2
1
2
，
x - x
a
y + y
1
a
a
2
2
1
2
2
y - y
0 +1 1
b
a
2
2
1
2
=
=
=
= 2
，即a2 b ，
1
2
，∴
2
x - x
3-1 2
1
2
又 a = b + c = b + 9 ，
2
2
2
2
x
2
y
2
∴b = 9 ， a2 =18 ，即 E 的方程为
+ =1
.
2
18 9
【点睛】
本题考查了求椭圆的标准方程，考查了弦的中点有关问题；在中点弦或弦的中点问题中，常
采用“点差法”和中点坐标公式、斜率的计算公式求解.
18．y＝2
（0，﹣2）.
【分析】
由抛物线的方程直接可得 p 的值及焦点所在轴，求出结果．
【详解】
8y 可得：2p = 8
4
，且焦点在 轴的负半轴上，所以焦点
解：由抛物线 x2
，所以
p
=
y
æ
p ö ( )
p
0,-
0,-2
2
，准线 y = = ，
ç
÷ 即：
2
2
è
ø
( )
0,-2
．
= 2
故答案分别为： y
；
【点睛】
考查抛物线的标准方程求焦点坐标及准线方程，属于基础题．
p
19．（1） （2）证明见解析
2
【分析】
（1）因 为 AC
，
= 3，BC = 4 AB = 5，利用勾股定理的逆定理可得DABC是直角三角形，

- A B C
C C ^
AC ^ BC
．因为三棱柱 ABC
为直三棱柱，可得
平面 ABC，建立空间直角
1
1
1
1
坐标系，利用向量夹角公式即可得出．
（2）建立空间直角坐标系，利用直线方向向量、平面的法向量关系即可得出．
【详解】
解：（1）因为 AC
，
= 3， BC = 4 AB = 5，
，所以
DABC是直角三角形，
+ BC = AB
所以 AC
2
2
2
p
所以
= ，所以
^
AC BC
ACB
2
- A B C
C C ^
因为三棱柱 ABC
为直三棱柱，所以
平面 ABC，
1
1
1
1
^ AC
所以C C
，
C C BC
^
1
1
以 为原点，分别以CA、CB 、
C
为 x 轴、 轴、 z 轴，建立空间直角坐标系，
y
CC1
(0 0 0) A(3 0 0) B(0 4 0)
则C ， ， ， ， ， ， ， ， ，
(0 0 4)
， ，
C1
= (0,-4,4)
所以直线 AC 的方向向量为CA = (3,0,0) ，直线 BC 的方向向量为 BC
，
1
1
设异面直线 AC 与 BC 所成的角为q ，
1
因为CA BC = 0 ，
1
cos = 0
，
所以
q
p
所以异面直线 AC 与 BC 所成的角为 ．
1
2
3
2
3
æ
ç
è
ö
÷
ø
æ
ö
÷
ø
（2）由（1）可知 D
,2,0
，
(0 4 4)
， ， ，则
CD = ,2,0
，CB = (0,4,4)
B
1
ç
2
è
1
3
ì
ì · 0
ïCD n =
+ 2 = 0
ï x y
2
设平面CDB 的法向量为n = (x, y, z) ，则í
，所以í
·n = 0
ïCB
î
1
ï
4y + 4z = 0
1
î
= 4，则 y = -3
， z
= 3
，所以 = (4,-3,3)
令 x
n
= (-3,0,4)
直线 AC1的方向向量为 A C1
，
Ë
AC // 平面CDB
因为
= 0 ， AC
平面CDB
， 所以
．
AC n
1
1
1
1
1

【点睛】
本题考查了空间位置关系、线面面面平行与垂直的判定性质定理、三角形中位线定理、法向
量的应用、向量夹角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
4
x
2
20．（1） + y = （2）
1
2
2
3
【分析】
（1）根据椭圆的性质，将C 代入椭圆方程，即可求得 的值，求得椭圆方程；
b
| AB |
（2）由（1）可知，求得直线CF
的方程，代入椭圆方程，求得 点坐标，求得
A
，即
2
可求得
DABC的面积．
【详解】
(0,b)
解：（1）因为顶点 的坐标为
B
，| B F2|= 2 ，
所以|
|
2 ，
BF = b2 + c2 = a =
2
16
÷ 在椭圆上，所以 9
1
4 1
æ
ö
C ,
因为点 ç
9
，解得 2 1，
b =
3 3
+
=1
è
ø
a
2
b2
x2
故所求椭圆的方程为 + =1.
y2
2
4 1
,
æ
ö
(1,0)
（2）因为点C 的坐标为ç
÷，点 的坐标为
F
，
3 3
2
è
ø
1
3
所以直线CF
的斜率 k
=
=1，所以直线CF
的方程为 y
= x -1，
4
3
2
2
-1

4
3
1
3
ì
x =
y =
ï
ìy = x -1
ì
í
î
x = 0
ï
由 í
得，3x2 - 4x = 0，所以
或
í
ï
，
x
2
+ 2y - 2 = 0
2
y = -1
î
ï
î
所以点 A的坐标为(0,-1)
，所以
AB
| |= 2
，
1
4 4
= ´ 2´ = ．
3 3
所以
S
2
DABC
【点睛】
本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，直线的斜率公式，考查转化思想，计算
能力，属于中档题．
21．（1）y2＝4x（2）证明见解析
【分析】
（1）将 M 点代入抛物线方程，即可求得 p 的值，求得抛物线方程；
（2）分类讨论，当直线的斜率存在时，设直线 的方程，代入抛物线方程，根据韦达定理
l
及向量的坐标运算，即可证明OA OB
【详解】
是定值．
: y = 2 px( p > 0)
(1,-2)
，
解：（1）因为抛物线C
过点 M
2
4 = 2p
2
，
=
所以
， p
2 = 4x
所以抛物线 的方程 y
C
；
p
p
y = k(x - )
2
( ,0)
（2）证明：当直线l 斜率存在时， F
，设直线l 的方程为
，则
2
ì
p
= k(x - )¼(1)
ïy
í
2
，
ï
2 = 2 ¼(2)
px
y
î
2
æ
ç
è
kp ö
k2 p
将（1）代入（2）得，
-
px
= 2 ，化简得
kx2 k2 p
- (
p x
+ 2 ) +
= 0 ，
kx
÷
2
4
ø
( ) ( )
p2
x , y
x , y
=
设 A， 的坐标分别为
，
，则 x x
，
B
1
1
2
2
4
1 2
= 2 px
= 2
= 2
因为点 A， 都在抛物线 y
上，所以 y
2
px ， y
1
2
px ，
2
2
B
1
2
所以
= 2p2
，所以
=
，
p4
y
2
1
y
2
2
x x
1
y
2
1
y
2
2
2

x
y y < 0
，所以
A
y y = - p
2 ，
1 2
因为点 ， B 分布在 轴的两侧，所以
1
2
3
OA = (x , y ) OB = (x , y )
所以
，
，所以OA OB = x x + y y = - p ，是定值．
2
4
1
1
2
2
1
2
1 2
p
F( ,0)
2
p
(x
x = x =
A
当直线l 无斜率时，
，设 ，B 的坐标分别为 ，y ) ，(x ，y ) ，则
，
1
2
2
1
2
1
2
y = 2 px
得， y = p ， y = p ，
代入抛物线方程
2
2
1
2
2
2
2
x
y y < 0
，所以
A
y y = - p
2 ，
1 2
所以 y y = p ，因为点 ， B 分布在 轴的两侧，所以
2
1
2
4
1
2
2
3
OA = (x , y ) OB = (x , y )
所以
，
，所以OA OB = x x + y y = - p ，是定值．
2
4
1
1
2
2
1
2
1 2
3p2
综上，OA OB = -
，是定值．
4
【点睛】
本题考查抛物线的标准方程及简单几何性质，直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理，考
查分类讨论思想，计算能力，属于中档题．
5 3
22．（1）证明见解析（2）BE =
6
【分析】
y
x
为 轴，
A
AD
AB
AP 为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向
为 轴，
（1）以 为原点，
量法能证明
AF ^平面 PBC ．
( )
BE = a E a
，
,1,0
，求出平面PDE
PCE
（2）设
的法向量和平面
的法向量，利用向量法
5 3
6
能求出当 BE =
时，二面角C - PE - D 为
45°．
【详解】
y
为 轴，
x
为 轴，
A
解：（1）证明：以 为原点，
AD
AB
AP
为 z 轴，建立空间直角坐标系，
AD = 3
PB
中点，
AB = PA=1，
， F 是
( )
D 3,0,0
\ A(0
0) P(0
，0， ，
1) B(0
，0， ，
0) C( 3
，1， ，
0)
，1， ，
，
1
1
F(0
， ， ) ，
PB = (0,1,-1)， PC = ( 3,1,-1)，
2
2
1
1
AF = (0 ， ， ) ，
2
2
，
AF PB = 0 AF PC = 0
，
\AF ^ PB
AF ^ PC
，
，

\AF ^
平面
．
PBC
= a \ ( 0)
， E a ，1， ，
（2）设 BE
= ( - 3,1,0) ，
PD
= ( 3,0, -1)，
DE
a
设平面
的法向量 = ( , , ) ，
x y z
PDE
n
ì
í
ïn DE = (a - 3)x + y = 0
·
则
，
ïn PD = 3x - z = 0
·
î
取 x
=1，得 n = (1，
， 3) ，
3 - a
1 1
平面 PCE 的法向量为
= (0, , ) ，
AF
2 2
二面角 -
- 为
45°，
C PE D
1
2
，
2
2
\ cos < n, AF > =
=
2
2
2 - 2 3 + 7
a
a
5 3
解得 =
，
a
6
5 3
时，二面角C
- PE - D
为
45°．
\ 当
BE =
6
【点睛】
本题考查直线与平面垂直的证明，考查使得二面角为45°的线段长的求法，解题时要认真审
题，注意向量法的合理运用，属于中档题．

x
y y < 0
，所以
A
y y = - p
2 ，
1 2
因为点 ， B 分布在 轴的两侧，所以
1
2
3
OA = (x , y ) OB = (x , y )
所以
，
，所以OA OB = x x + y y = - p ，是定值．
2
4
1
1
2
2
1
2
1 2
p
F( ,0)
2
p
(x
x = x =
A
当直线l 无斜率时，
，设 ，B 的坐标分别为 ，y ) ，(x ，y ) ，则
，
1
2
2
1
2
1
2
y = 2 px
得， y = p ， y = p ，
代入抛物线方程
2
2
1
2
2
2
2
x
y y < 0
，所以
A
y y = - p
2 ，
1 2
所以 y y = p ，因为点 ， B 分布在 轴的两侧，所以
2
1
2
4
1
2
2
3
OA = (x , y ) OB = (x , y )
所以
，
，所以OA OB = x x + y y = - p ，是定值．
2
4
1
1
2
2
1
2
1 2
3p2
综上，OA OB = -
，是定值．
4
【点睛】
本题考查抛物线的标准方程及简单几何性质，直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理，考
查分类讨论思想，计算能力，属于中档题．
5 3
22．（1）证明见解析（2）BE =
6
【分析】
y
x
为 轴，
A
AD
AB
AP 为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向
为 轴，
（1）以 为原点，
量法能证明
AF ^平面 PBC ．
( )
BE = a E a
，
,1,0
，求出平面PDE
PCE
（2）设
的法向量和平面
的法向量，利用向量法
5 3
6
能求出当 BE =
时，二面角C - PE - D 为
45°．
【详解】
y
为 轴，
x
为 轴，
A
解：（1）证明：以 为原点，
AD
AB
AP
为 z 轴，建立空间直角坐标系，
AD = 3
PB
中点，
AB = PA=1，
， F 是
( )
D 3,0,0
\ A(0
0) P(0
，0， ，
1) B(0
，0， ，
0) C( 3
，1， ，
0)
，1， ，
，
1
1
F(0
， ， ) ，
PB = (0,1,-1)， PC = ( 3,1,-1)，
2
2
1
1
AF = (0 ， ， ) ，
2
2
，
AF PB = 0 AF PC = 0
，
\AF ^ PB
AF ^ PC
，
，

\AF ^
平面
．
PBC
= a \ ( 0)
， E a ，1， ，
（2）设 BE
= ( - 3,1,0) ，
PD
= ( 3,0, -1)，
DE
a
设平面
的法向量 = ( , , ) ，
x y z
PDE
n
ì
í
ïn DE = (a - 3)x + y = 0
·
则
，
ïn PD = 3x - z = 0
·
î
取 x
=1，得 n = (1，
， 3) ，
3 - a
1 1
平面 PCE 的法向量为
= (0, , ) ，
AF
2 2
二面角 -
- 为
45°，
C PE D
1
2
，
2
2
\ cos < n, AF > =
=
2
2
2 - 2 3 + 7
a
a
5 3
解得 =
，
a
6
5 3
时，二面角C
- PE - D
为
45°．
\ 当
BE =
6
【点睛】
本题考查直线与平面垂直的证明，考查使得二面角为4