北京市海淀区2014-2015学年九年级上期期中考试数学试卷及答案.doc

2014——2015学年海淀初三数学第一学期期中测试2014.11
一、选择题（本题共32分，每小题4分）
下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
1．下列图形是中心对称图形的是（　　）

A B C D
2．将抛物线向上平移1个单位，得到的抛物线的解析式为（ ）
A. B. C. D.

3.袋子中装有4个黑球、2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，即除颜色外无其他差别．在看不到球的情况下，随机从袋子中摸出1个球.下面说法正确的是（ ）
A.这个球一定是黑球 B.这个球一定是白球
C.“摸出黑球”的可能性大 D.“摸出黑球”和“摸出白球”的可能性一样大

4.用配方法解方程时，配方后得到的方程为（　　）
A. B. C. D.
5．如图，为正五边形的外接圆，的半径为2，则的长为（　　）
A. B. C. D.

6．如图，是的直径，是的弦，，则等于（　　）
A. B. C. D.

7．已知二次函数（为常数）的图象与轴的一个交点为，则关于的一元二次方程的两个实数根是（　　）
A. B.
C. D.

8．如图，C是半圆O的直径AB上的一个动点（不与A，B重合），过C作AB的垂线交半圆于点D，以点D，C，O为顶点作矩形DCOE．
若AB=10，设AC=x，矩形DCOE的面积为y，则下列图象中能表示y与x的函数关系的图象大致是（　　）

A B C D
二、填空题（本题共16分，每小题4分）
9.如图，，分别与相切于点，，连接AB.，
，则的长是 ．

10．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
则的值为_________．
11．在平面直角坐标系中，函数的图象经过点，两点，若，，则 .（用“”，“=”或“>”号连接）

12．如图，正方形ABCD中，点G为对角线AC上一点，AG=AB．
∠CAE=15°且AE=AC，连接GE．将线段AE绕点A逆时针旋转得到
线段AF，使DF=GE，则∠CAF的度数为____________．

三、解答题（本题共30分，每小题5分）
13．解方程：．

14．如图，∠DAB=∠EAC，AB=AD，AC=AE．
求证：BC=DE．

15．已知二次函数的图象经过点，且顶点坐标为，求此二次函数的解析式．

16．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=130°，求∠OAC的度数．

17．若是关于x的一元二次方程的根，求代数式的值．

18.列方程解应用题：
某工厂废气年排放量为450万立方米，为改善空气质量，决定分两期治理，使废气的排放量减少到288万立方米．如果每期治理中废气减少的百分率相同，求每期减少的百分率．

四、解答题（本题共20分，每小题5分）
19．下图是某市某月1日至15日的空气质量指数趋势图，空气质量指数不大于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．
空气质量指数

（1）由图可知，该月1日至15日中空气重度污染的有 天；
（2）小丁随机选择该月1日至15日中的某一天到达该市，求小丁到达该市当天空气质量优良的概率．

20．已知关于x的方程.
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有两个不相等的负整数根，求整数a的值．

21．如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，CD⊥AB于点E，点G在直径DF的延长线上，
∠D=∠G=30．
（1）求证：CG是⊙O的切线；
（2）若CD=6，求GF的长．

22．阅读下面材料：
小丁在研究数学问题时遇到一个定义：对于排好顺序的三个数：，称为数列．计算，，，将这三个数的最小值称为数列的价值．例如，对于数列，，，因为，，，所以数列，，的价值为．
小丁进一步发现：当改变这三个数的顺序时，所得到的数列都可以按照上述方法计算其相应的价值.如数列，，的价值为；数列，，的价值为；…．经过研究，小丁发现，对于“，，”这三个数，按照不同的排列顺序得到的不同数列中，价值的最小值为．
根据以上材料，回答下列问题：
（1）数列，，的价值为______；
（2）将“，，”这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列，这些数列的价值的最小值为______ ，取得价值最小值的数列为___________（写出一个即可）；
（3）将，，这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列．
若这些数列的价值的最小值为1，则的值为__________．

五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）
23．在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求点A的坐标；
（2）当时，求该抛物线的表达式；
（3）在（2）的条件下，经过点C的直线l:与抛物线的另一个交点为D. 该抛物线在直线l上方的部分与线段CD组成一个新函数的图象. 请结合图象回答：若新函数的最小值大于，求的取值范围．

24．将线段AB绕点A逆时针旋转60°得到线段AC，继续旋转得到线段AD，连接CD．
（1）连接BD，
①如图1，若=80°，则∠BDC的度数为 ；
②在第二次旋转过程中，请探究∠BDC的大小是否改变．若不变，求出∠BDC的度数；若改变，请说明理由．
（2）如图2，以AB为斜边作直角三角形ABE，使得∠B=∠ACD，连接CE，DE．
若∠CED=90°，求的值．

25．如图，在平面直角坐标系xOy中，点在第一象限．以P为圆心的圆经过原点，与y轴的另一个交点为A．点Q是线段OA上的点（不与O，A重合），过点Q作PQ的垂线交⊙P于点，其中．
备用图

（1）若，则点A坐标是________________；
（2）在（1）的条件下，若OQ=8，求线段BQ的长；
（3）若点P在函数的图象上，且△BQP是等腰三角形.
①直接写出实数a的取值范围：__________________；
②在，，这三个数中，线段PQ的长度可以为 ，并求出此时点B的坐标．

海淀区九年级第一学期期中练习
2014.11
数学试卷答案及评分参考
阅卷须知:
1. 为便于阅卷,本试卷答案中有关解答题的推导步骤写的较为详细,阅卷时,只要考生将主要过程正确写出即可.
2. 若考生的解法与给出的解法不同,正确者可参照评分参考相应给分.
3. 评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数.
一、选择题（本题共32分，每小题4分）
题 号
1
2
3
4
5
6
7
8
答 案
B
A
C
A
D
B
D
A

二、填空题（本题共16分，每小题4分）
9． 5 ； 10． 4 ；
11． > ； 12． 30°或60°．（注：每个答案2分）

三、解答题（本题共30分,每小题5分）
13.（本小题满分5分）

解：∵， …………………………………………………………………1分
∴． … ……………………………………………………2分
∴．
∴． ……………………………………………………5分
14．（本小题满分5分）
证明：∵∠DAB=∠EAC，
∴∠DAB+∠BAE=∠EAC+∠BAE．
∴∠DAE=∠BAC． ………………………………………………………………1分
在△BAC和△DAE中，

∴△BAC≌△DAE． ………………………………………………………………4分
∴BC=DE． ………………………………………………………………………5分
15.（本小题满分5分）
解：设二次函数的解析式为 ．……………………………1分
∵二次函数的图象经过点．
∴．………………………………………………………………2分
∴． …………………………………………………………………………4分
∴二次函数的解析式为．………………………………………5分

16. （本小题满分5分）
解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ADC+∠ABC =180°． …………………………………………………………1分
∵∠ABC=130°，
∴∠ADC =180°∠ABC=50°． …………………………………………………2分
∴∠AOC=2∠ADC =100°． ………………………………………………………3分
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA． ……………………………………………………………4分
∴∠OAC=． ……………………………………………… 5分
17. （本小题满分5分）
解：依题意,得 . ……………………………………………………2分
∴． ………………………………………………………………3分
∴． …………5分

18. （本小题满分5分）
解：设每期减少的百分率为x．…………………………………………………… ……1分
由题意，得． ……………………………………………… ………2分
解方程得 ，． ………………………………………………… ……3分
经检验，不合题意，舍去； 符合题意． ……………… …………4分
答：每期减少的百分率为20%． ……………………………………………… ………5分

四、解答题（本题共20分，每小题5分）
19. （本小题满分5分）
解：（1）3． …………………………………………………………………………… 2分
（2）小丁随机选择该月1日至15日中的某一天到达该市，则到达该市的
日期有15种不同的选择，在其中任意一天到达的可能性相等． ……………3分
由图可知，其中有9天空气质量优良． ………………………………… ……4分
所以，P（到达当天空气质量优良）． …………………… ………5分

20. （本小题满分5分）
解：（1）∵，
∴原方程为一元二次方程．
∴ ………………………………………………1分
．
∵．
∴此方程总有两个实数根． …………………………………………………2分
（2）解原方程，得 ，. ……………………………………………3分
∵此方程有两个负整数根，且为整数，
∴或． …………………………………………………………………4分
∵，
∴．
∴． ………………………………………………………………………5分
21. （本小题满分5分）
（1）证明:连接OC．
∵OC=OD，∠D=30°，
∴∠OCD=∠D= 30°．…………………………………1分
∵∠G=30°，
∴∠DCG=180°∠D∠G=120°．
∴∠GCO=∠DCG-∠OCD=90°．
∴OC⊥CG．
又∵OC是⊙O的半径．
∴CG是⊙O的切线．……………………………………2分
（2）解：∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴. ………………………………………………………3分
∵在Rt△OCE中，∠CEO=90°，∠OCE =30°，
∴，．
设，则.
∴.
解得（舍负值）．
∴． ………………………………………………………………4分
∴．
在△OCG中，∵∠OCG=90°，∠G=30°，
∴．
∴． ……………………………………………………5分
22. （本小题满分5分）
答：（1）． …………………………………………………………………………………1分
（2）， ………………………………………………………………………………2分
或．（写出一个即可）…………………………………………3分
（3）或．（每个答案各1分） ……………………………………………………5分

五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）
23. （本小题满分7分）
解：（1）∵ 抛物线与x轴交于A、B两点，
∴ 令，即 ．
解得 ，． …………………………………………………1分
又∵ 点A在点B左侧，且，
∴ 点A的坐标为． …………………………………………………2分
（2）由（1）可知点B的坐标为．
∵抛物线与y轴交于点C，
A
B
C
D
∴点C的坐标为． ……………………………………………………3分
∵，
∴，．
∵，
∴．
∴或．
∵，
∴．
∴抛物线的表达式为
． ………………………4分
（3）由（2）可知点C的坐标为．
∵直线l：经过点C，
∴. ………………………………………5分
∴直线l的解析式为．
∵，
∴当点D在抛物线顶点处或对称轴左侧时，新函数的最小值为，不符合题意．
当点D在抛物线对称轴右侧时，新函数的最小值有可能大于．
令，即．
解得 （不合题意，舍去），．
∴抛物线经过点．
当直线经过点时，可求得．…………………6分
由图象可知，当时新函数的最小值大于． ………………………7分

24．（本小题满分7分）
解：（1）①30°． …………………………………………………………………………1分
②不改变，∠BDC的度数为．
方法一：
由题意知，AB=AC=AD．
∴点B、C、D在以A为圆心，AB为半径的圆上．…………………………2分
∴∠BDC=∠BAC=．……………………………………………………3分
方法二：
由题意知，AB=AC=AD．
∵AC =AD，∠CAD =，
∴．…………………………………2分
∵AB=AD，∠BAD =，
∴．
∴．…………3分
（2）过点A作AMCD于点M，连接EM．
∴．
在△AEB与△AMC中，

∴△≌△． ………………………………………………………4分
∴，．
∴．
∴△是等边三角形．
∴． …………………………………………………………5分
∵， ，
∴．
又，
∴．
∴． …………………………………………………………6分
∴点A、C、D在以M为圆心，MC为半径的圆上．
∴． …………………………………………………………7分
25. （本小题满分8分）
解： （1）（0，10）． …………………………………………………………………1分
（2）连接BP、OP，作PH⊥OA于点H．
∵PH⊥OA，
∴．
∵OQ=8，
∴．
在Rt中，．
在Rt中，．
在Rt中，．
∴．……………………………………………………………………3分
（3）①．……………………………………………………………………………4分
②． ……………………………………………………………………………5分
解：∵是等腰直角三角形，，
∴半径．
又∵，
∴．
即．解得．
∵
∴． ……………………………………………………………………………6分
∴．
如图，作轴于点，则≌．
∴，
．
∴． …………………………………7分
若点在上，由对称性可得． ……………………………8分
综上，当时，点坐标为或．