江西省南昌市2017届高三第一次模拟考试(理数).doc

江西省南昌市2017届高三第一次模拟测试
数学（理科）
本试卷共4页，23小题，满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．写在本试卷上无效．
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
参考公式：
圆锥侧面积公式：，其中为底面圆的半径，为母线长。
第Ⅰ卷（选择题部分 共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知全集，集合，集合，那么（ ）
A． B． C． D．
2．若复数，其中为虚数单位，则复数的虚部是（ ）
A．-1 B． C．1 D．
3．已知均为第一象限的角，那么是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．设某中学的高中女生体重（单位：kg）与身高（单位：）具有线性相关关系，根据一组样本数据（…，），用最小二乘法近似得到回归直线方程为，则下列结论中不正确的是（ ）
A．与具有正线性相关关系
B．回归直线过样本的中心点
C．若该中学某高中女生身高增加1，则其体重约增加0.85
D．若该中学某高中女生身高为160，则可断定其体重必为50.29.
5．若圆锥曲线：的离心率为2，则（ ）
A． B． C． D．
6．执行如图所示的程序框图，输出的值为（ ）
A． B． C． D．6
7．已知函数（）的周期为，若，则（ ）
A．-2 B．-1 C．1 D．2
8．如图，在平面直角坐标系中，直线与圆相
交于两点，则=（ ）
A． B． C． D．
9．我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：今有甲乙丙三人持钱，甲语乙丙：各将公等所持钱，半以益我，钱成九十（意思是把你们两个手上的钱各分我一半，我手上就有90钱）；乙复语甲丙，各将公等所持钱，半以益我，钱成七十；丙复语甲乙：各将公等所持钱，半以益我，钱成五十六，则乙手上有（ ）钱.
A．28 B．32 C．56 D．70
10．某空间几何体的三视图如图所示（图中小正方形的边长为1），则
这个几何体的体积是（ ）
A． B． C．16 D．32
11．抛物线的焦点为，设，
是抛物线上的两个动点，若，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
12．定义在上的偶函数满足，且当时，，若函
数有7个零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．

第Ⅱ卷（非选择题部分，共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．在多项式的展开式中，项的系数为 ．
14．已知单位向量的夹角为，，则在上的投影
是 ．
15．如图，直角梯形中，，，，若将直角梯形绕边旋转一周，则所得几何体的表面积为 ．
16．已知，在这两个实数之间插入三个实数，使这五个数构成等差数列，那么这个等差数列后三项和的最大值为 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. (本小题满分12分) 已知等差数列的前项和为，且，.
（I）求数列的通项公式；
（II）令，求数列的前项和.

18. (本小题满分12分)某中学的环保社团参照国家环境标准制定了该校所在区域空气质量指数与空气质量等级对应关系如下表（假设该区域空气质量指数不会超过300）
空气质量指数

空气质量等级
1级优
2级良
3级轻度污染
4级中度污染
5级重度污染
6级严重污染
该社团将该校区在2016年100天的空气质量指数监测数据作为样本，绘制的频率分布直方图如下图，把该直方图所得频率估计为概率.
（I）请估算2017年（以365天计算）全年空气质量优良的天数（未满一天按一天计算）；
（II）该校2017年6月7、8、9日将作为高考考场，若这三天中某天出现5级重度污染，需要净化空气费用10000元，出现6级严重污染，需要净化空气费用20000元，记这三天净化空气总费用元，求的分布列及数学期望.

19. (本小题满分12分)如图，四棱锥中，平面平面，底面为等腰梯形，，，，
为正三角形.
（I）求证：平面；
（II）设的中点为，求平面与平面
所成二面角的平面角的余弦值.

20. (本小题满分12分)已知椭圆（）的左、右顶点分别为，左、右焦点分别为，离心率为,点，为线段的中点.
（1）求椭圆的方程；
（2）若过点且斜率不为0的直线与椭圆的交于
两点，已知直线与相交于点，试判断点是
否在定直线上？若是，请求出定直线的方程；若不是，请说明理由.

21. (本小题满分12分)已知函数（,是自然对数的底数）.
（1）若是上的单调递增函数，求实数的取值范围；
（2）当时，证明：函数有最小值，并求函数最小值的取值范围.

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22. (本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，曲线过点，其参数方程为（为参数，），以为极点，轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（2）已知曲线与曲线交于两点，且，求实数的值.

23. (本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲
已知函数，.
（1）若不等式有解，求实数的取值范围；
（2）当时，函数的最小值为3，求实数的值.

数学（理科）参考答案
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
C
D
D
C
B
B
D
B
A
D
A
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分，满分20分．
13．; 14. ; 15. ; 16.
三、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤.
17. 【解析】（Ⅰ）设等差数列的公差为，由可得，
即，所以，解得．
．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：.

．
18.【解析】（Ⅰ）由直方图可估算年（以天计算）全年空气质量优良的天数为
（天）．
（Ⅱ）由题可知，的所有可能取值为：，，，，，，，
则：，

．
的分布列为

（元）．
19.【解析】（Ⅰ）在等腰梯形中，过点作于点，
如图所示：有
∴在中，有，即
又因为平面平面且交线为，∴平面.

（Ⅱ） 由平面平面，且为正三角形,为的中点，
∴，得平面．
如图所示，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过点平行于所在直线为轴，建立空间直角坐标系.

由条件，则，，．
则，，，．------- 6分
在等腰梯形中，过点作的平行线交延长线于点
如图所示：
则在中，有，，∴．
（另解:可不做辅助线，利用求点坐标）
∴，，设平面的法向量
则 ，取，则，，
∴面的法向量．
同理有，，设平面的法向量
则 ，
取，则，，∴面的法向量．--10分
设平面与平面所成二面角的平面角为，
∴．
即平面与平面所成二面角的余弦值为．
20.【解析】（Ⅰ）设点，由题意可知：，即 ①
又因为椭圆的离心率，即 ②
联立方程①②可得：，则
所以椭圆的方程为．
（Ⅱ）方法一：根据椭圆的对称性猜测点是与轴平行的直线上．
假设当点为椭圆的上顶点时，直线的方程为，此时点，
则联立直线和直线可得点
据此猜想点在直线上，下面对猜想给予证明：
设，联立方程可得：
由韦达定理可得， （*）
因为直线，，
联立两直线方程得（其中为点的横坐标）即证：，
即，即证
将（*）代入上式可得
此式明显成立，原命题得证．所以点在定直线上上．
方法二：设，两两不等，
因为三点共线，所以，
整理得：
又三点共线，有： ①
又三点共线，有： ② 将①与②两式相除得：

即，
将即代入得：
解得（舍去）或，所以点在定直线上．
方法三：显然与轴不垂直，设的方程为，.
由得.
设，两两不等，
则，，
由三点共线，有： ①
由三点共线，有： ②
①与②两式相除得：

解得（舍去）或，所以点在定直线上．
21.【解析】（Ⅰ），
依题意：当时，函数恒成立，即恒成立，
记，则，
所以在上单调递增，所以，所以，即；
（Ⅱ）因为，所以是上的增函数，
又， ，所以存在使得
且当时，当时，所以的取值范围是．
又当，，当时，，
所以当时，．且有
∴．
记，则，
所以，即最小值的取值范围是．
22.【解析】（Ⅰ）曲线参数方程为,∴其普通方程，
由曲线的极坐标方程为,∴
∴,即曲线的直角坐标方程.
（Ⅱ）设、两点所对应参数分别为，联解得
要有两个不同的交点，则,即，由韦达定理有
根据参数方程的几何意义可知，
又由可得，即或
∴当时，有，符合题意．
当时，有，符合题意．
综上所述，实数的值为或．
23.【解析】（Ⅰ）由题，即为．
而由绝对值的几何意义知，------- 2分
由不等式有解，∴，即．
实数的取值范围．------- 5分
（Ⅱ）函数的零点为和，当时知
------- 7分
如图可知在单调递减，在单调递增，
，得（合题意），即．

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