北京市海淀区2013-2014年海淀高三上学期期中考试数学理试题.doc

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海淀区高三年级第一学期期中练习
数学(理科) 2013.11
本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.已知集合，，则( )
A.
B.
C.
D.
2.下列函数中，值域为的函数是( )
A.
B.
C.
D.
3. 在中，若，则=( )
A.
B.
C.
D.
4. 在平面直角坐标系中，已知点，若，则实数的值为( )
A.
B.
C.
D.
5.若，则“”是“”的（B）
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
6. 已知数列的通项公式，则数列的前项和的最小值是（ ）
A.
B.
C.
D.
7.已知，函数若，则实数的取值范围为（ ）
A.
B.
C.
D.
8.已知函数，在下列给出结论中：
①是的一个周期；
②的图象关于直线对称；
③在上单调递减.
其中，正确结论的个数为（ ）
A. 0个
B.1个
C. 2个
D. 3个
二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分。
9.___________.
10. 已知数列为等比数列，若，则公比____________.
3
1
11. 已知，则的大小关系为____________.
12.函数的图象如图所示，则_______，_______.
13.已知是正三角形，若与向量的夹角大于，则实数的取值范围是__________.
14.定义在上的函数满足：①当时，；②.设关于的函数的零点从小到大依次为.若，则；若，则________________.

三、解答题: 本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程。
15.（本小题满分13分）
在中，角的对边分别为,,.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的值.

16. （本小题满分14分）
已知函数.
（I）求的最小正周期；
（II）求在区间上的取值范围.

17.（本小题满分13分）
如图，已知点，直线与函数的图象交于点，与轴交于点，记的面积为.
（I）求函数的解析式；
（II）求函数的最大值.

18.（本小题满分13分）
已知数列满足：①；②对于任意正整数都有成立.
（I）求的值；
（II）求数列的通项公式；
（III）若，求数列的前项和.

19.（本小题满分14分）
已知函数.
（I）当时，求曲线在点处的切线方程；
（II）求的单调区间；
（III）若在区间上恒成立，求实数的取值范围.

20.（本小题满分13分）
已知数列的首项其中，令集合.
（I）若是数列中首次为1的项，请写出所有这样数列的前三项；
（II）求证：；
（III）当时，求集合中元素个数的最大值.

海淀区高三年级第一学期期中练习
一、选择题 ACBCBBDC
二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分。
9.2
10. 2
11.
12..,
13.
14；
三、解答题: 本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程。
15.（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）由和可得, ---------------------------2分
所以， --------------------------------------3分
又
所以. ------------------------------------5分
（Ⅱ）因为,,
由余弦定理可得 ------------------------------------7分
，即. ------------------------------------9分
由正弦定理可得------------------------------------11分
，------------------------------------12分
所以.------------------------------------13分
16. （本小题满分14分）
解：（I）------------------------------------2分
------------------------------------4分
------------------------------------6分
最小正周期为，------------------------------------8分
（II）因为，所以-----------------------------------10分
所以-----------------------------------12分
所以， -----------------------------------13分
所以取值范围为. ------------------------------------14分
17.（本小题满分13分）
解：（I）由已知 -------------------------------------1分
所以的面积为. ---------------------4分
（II）解法1.
-------------------------------------7分
由得， -------------------------------------8分
函数与在定义域上的情况下表：

3

+
0

↗
极大值
↘
-----------------------------------12分
所以当时，函数取得最大值8. ------------------------------------13分
解法2.由
设， -------------------------------------6分
则.-------7分
函数与在定义域上的情况下表：

3

+
0

↗
极大值
↘
------------------------------------11分
所以当时，函数取得最大值， -----------------------------------12分
所以当时，函数取得最大值.------------------------------------13分

18.（本小题满分13分）
解：（I）由②可得， -------------------------------2分
由①可得. -------------------------------3分
（II）由②可得， ------------------------------6分
所以数列的通项公式. ------------------------------7分
（III）由（II）可得，
易得分别为公比是4和2的等比数列，------------------------------8分
由等比数列求和公式可得.--13分

19.（本小题满分14分）
解：（I）因为，,
所以, ------------------------------1分
，, ------------------------------3分
所以切线方程为. ------------------------------4分
(II）, ----------------------------5分
由得, ------------------------------6分
当时，在或时，在时,
所以的单调增区间是和，单调减区间是； ---------------7分
当时，在时，所以的单调增区间是；-----8分
当时，在或时，在时.
所以的单调增区间是和，单调减区间是. ---------------10分
(III）由（II）可知在区间上只可能有极小值点，
所以在区间上的最大值在区间的端点处取到，-------------------------12分
即有且,
解得. ---------------------14分
20.（本小题满分13分）
解：（I）27,9,3；8,9,3；6,2,3. --------------------------------------3分
（II）若被3除余1，则由已知可得,；
若被3除余2,则由已知可得,,；
若被3除余0，则由已知可得,；
所以，
所以
所以，对于数列中的任意一项，“若，则”.
因为，所以.
所以数列中必存在某一项（否则会与上述结论矛盾！）
若,则；若,则,若,则,
由递推关系易得. ---------------------------------------8分
（III）集合中元素个数的最大值为21.
由已知递推关系可推得数列满足：
当时，总有成立，其中.
下面考虑当时，数列中大于3的各项：
按逆序排列各项，构成的数列记为，由（I）可得或9，
由（II）的证明过程可知数列的项满足：
，且当是3的倍数时，若使最小，需使，
所以，满足最小的数列中，或7，且，
所以，所以数列是首项为或的公比为3的等比数列，
所以或，即或，
因为，所以，当时，的最大值是6，
所以，所以集合重元素个数的最大值为21.---------------13分